1、考研数学三（一元函数积分学）模拟试卷 16 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 g(x)=0xf(u)du，其中 f(x)= 则 g(x)在区间(0，2)内( )（A）无界（B）递减（C）不连续（D）连续2 方程 根的个数( )（A）0（B） 1（C） 2（D）33 由曲线 (0x)与 x 轴围成的平面图形绕 x 轴旋转而成的旋转体体积为( )4 设一元函数 f(x)有下列四条性质 f(x)在a ，b连续f(x)在a ，b 可积 f(x)在a， b存在原函数f(x)在 a，b可导若用“ ”表示可由性质 P 推出性质 Q，则有( )5 设 f(x)=
2、0xecoste-costdt，则 ( )（A）f(x)=f(x+2)（B） f(x)f(x+2)（C） f(x)f(x+2)（D）当 x0 时，f(x) f(x+2)；当 x0 时，f(x)f(x+2)6 曲线 y=e-x sinx(0x3)与 x 轴所围成图形的面积可表示为( )（A）一 03e-xsinxdx（B） 03e-xsinxdx（C） 0e-xsinxdx-2e-xsinxdx+23e-xsinxdx（D） 02e-xsinxdx-23sinxdx7 由曲线 y=1 一(x 一 1)2 及直线 y=0 围成图形(如图 31 所示)绕 y 轴旋转而成的立体的体积 V 是( )8
3、设 F(x)=xx+2esintsintdt，则 F(x)( )（A）为正常数（B）为负常数（C）恒为零（D）不为常数9 设函数 f(x)连续，则在下列变上限积分定义的函数中，必为偶函数的是( )（A） 0xtf(t)一 f(一 t)dt（B） 0xtf(t)+f(一 t)dt（C） 0xf(t2)dt（D） 0tf(t)2dt10 曲线 y=x(x 一 1)(2 一 x)与 x 轴所围成图形面积可表示为( )（A）一 02x(x 一 1)(2 一 x)dx（B） 01x(x 一 1)(2 一 x)dx 一 12x(x1)(2 一 x)dx（C）一 01x(x 一 1)(2 一 x)dx+12
4、x(x 一 1)(2 一 x)dx（D） 02x(x 一 1)(2 一 x)dx11 设 f(x)连续，且 01f(xt)dt= ，则 f(x)等于( )（A）（B） 2+Cxsinx（C） 2+Cx（D）2+x二、填空题12 由曲线 和直线 y=x 及 y=4x 在第一象限中围成的平面图形的面积为_13 14 15 16 已知 -+ek|x|dx=1，则 k=_17 18 设函数 f(x)= 且 0，则 -+xf(x)dx=_19 设函数 f(x)= 则 y=f(x)的反函数 x=f-1(y)在 y=0 处的导数20 设 a0，则 I=21 22 23 设 则 a=_，b=_，c=_。24
5、曲线 p=1 相应于 的一段弧长 s=_25 设 f(x)=max1，x 2，则 1xf(t)dt=_26 抛物线 y2=2px，则从原点到这曲线上的一点 M(x，y)的弧长 s=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。27 设曲线 y=ax2(x0，常数 a0)与曲线 y=1 一 x2 交于点 A，过坐标原点 O 和点 A的直线与曲线 y=ax2 围成一平面图形 D，求： (1)D 绕 x 轴旋转一周所成的旋转体的体积 V(a)； (2)a 的值，使 V(a)为最大28 设 f(x)= (1)证明 f(x)是以 为周期的周期函数； (2)求 f(x)的值域29 求不定积分30 计
6、算31 设 f(x)在0，+)连续，且满足32 已知函数 f(x)满足方程 f”(x)+f(x)一 2f(x)=0 及 f”(x)+f(x)=2ex， (1)求 f(x)的表达式； (2)求曲线 y=f(x2)0xf(-t2)dt 的拐点33 设 f(x)在0，a上有一阶连续导数，证明至少存在一点 0，a，使得34 设 f(x)=-1xt|t|dt(x一 1)，求曲线 y=f(x)与 x 轴所围封闭图形的面积35 设函数 f(x)连续，且 f(0)0，求极限36 设函数 f(x)在0，上连续，且 0f(x)dx=0f(x)cos xdx=0试证明：在(0，)内至少存在两个不同的点 1， 2，使
7、 f(1)=f(2)=037 设 f(x)在0，+)连续，且 证明至少存在一点(0， +)，使得 f()+=038 设 f(x)在a，b上有二阶连续导数，证明39 设 f(x)在a，b上有连续的导数，证明考研数学三（一元函数积分学）模拟试卷 16 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 因为 f(x)在区间0 ，2上只有一个第一类间断点 (x=1 为 f(x)的跳跃间断点)，所以 f(x)在该区间上可积，因而 g(x)=0xf(u)du 在该区间内必连续，故选D【知识模块】 一元函数积分学2 【正确答案】 B【试题解析】 设 F
8、(x)= 则 F(x)在(一，+)内连续，又F(0)= 由零点定理得 F(x)=0 至少有一个根又易知综上，F(x)=0 在( 一，+)上有且仅有一个实根，故选 B【知识模块】 一元函数积分学3 【正确答案】 B【试题解析】 由曲线 y=f(x)绕 x 轴旋转所得旋转体的体积计算公式，得故选 B【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 C【试题解析】 这是讨论函数 f(x)在区间a ，b 上的可导性、连续性及可积性与原函数存在性间的关系问题由 f(x)在a，b上可导,f(x)在a，b连续,f(x)在a，b可积且存在原函数故选C【知识模块】 一元函数积分学5 【正确答案】 A【试题解析】 考
9、查 f(x+2)一 f(x)=xx+2ecost 一 e-costdt，被积函数以 2 为周期且为偶函数，由周期函数的积分性质得因此，f(x+2)一 f(x)=0，故选 A【知识模块】 一元函数积分学6 【正确答案】 C【试题解析】 当 0x 或 2x3 时，y0；当 x2 时，y0 所以 y=e-xsinx(0x3)与 x 轴所围成的面积为 0e-xsinxdx2e-xsinxdx+23e-xsinxdx 故选 C【知识模块】 一元函数积分学7 【正确答案】 D【试题解析】 根据选项，需要把曲线表成 x=x(y)，于是要分成两部分：则所求立体体积为两个旋转体的体积之差，其中【知识模块】 一元
10、函数积分学8 【正确答案】 A【试题解析】 由分析可知，F(x)=F(0)，而 F(0)= 02esintsintdt=一 02esintdcost =一esintcost|02 +02esintcos2tdt =02esintcos2tdt0 故选 A【知识模块】 一元函数积分学9 【正确答案】 B【试题解析】 取 f(x)=x，则相应的 均为奇函数，故不选 A、C、D应选 B【知识模块】 一元函数积分学10 【正确答案】 C【试题解析】 由于所求平面图形在 x 轴上、下方各有一部分，其面积为这两部分的面积之和，所以只要考查 B、C 选项中的每一部分是否均为正即可，显然 C 正确事实上， S
11、= 02|y|dx=02|x(x 一 1)(2 一 x)|dx =01|x(x 一 1)(2 一 x)|dx+12|x(x 一 1)(2 一 x)|dx =-01x(x 一 1)(2 一 x)dx+12x(x 一 1)(2 一 x)dx?【知识模块】 一元函数积分学11 【正确答案】 C【试题解析】 令 xt=u，则上式两端对 x求导得 解方程得 y=2+Cx，故选 C【知识模块】 一元函数积分学二、填空题12 【正确答案】 4ln2【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学13 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学14 【正确答案】 【试题解析】 令 x=sint，则【知
12、识模块】 一元函数积分学15 【正确答案】 【试题解析】 利用凑微分法和牛顿一莱布尼茨公式求解【知识模块】 一元函数积分学16 【正确答案】 一 2【试题解析】 由已知条件， 已知要求极限存在，所以 k 0于是有【知识模块】 一元函数积分学17 【正确答案】 0【试题解析】 令 In=e-xsinnxdx=一 e-xsinnx+ne-xcosnxdx =一 e-xsinnxne-xcosnx一 n2In【知识模块】 一元函数积分学18 【正确答案】 【试题解析】 已知 x0 时，函数值恒为 0，因此可得 -+xf(x)=0+xe-x=-0+xd(e-x) =xe-x|0+0+e-xdx【知识模
13、块】 一元函数积分学19 【正确答案】 【试题解析】 由反函数的求导法则可知【知识模块】 一元函数积分学20 【正确答案】 【试题解析】 由题干可知，原式可化为【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 ln2【试题解析】 原式整理得【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 a1；b=0 ；c=0 或 a=1；b=0；c=一 2【试题解析】 由于那么 b=0【知识模块】 一元函数积分学24 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学25 【正确答案】 【试题解析】 由题意可知 f(x)= 当 x一 1 时，
14、当一 1x1 时， 1xf(t)dt=1x1dt=x-1当 x1 时， 所以，【知识模块】 一元函数积分学26 【正确答案】 【试题解析】 设 p0，y 0，则【知识模块】 一元函数积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。27 【正确答案】 由题意知，y=ax 2 与 y=1 一 x2 的交点为 直线OA 的方程为 (1)旋转体的体积当 a0时，得 V(a)的唯一驻点 a=4当 0a4 时，V(a)0；当 a4 时，V(a)0故a=4 为 V(a)的唯一极大值点，即为最大值点【知识模块】 一元函数积分学28 【正确答案】 故 f(x)是以 为周期的周期函数 (2)因为|sinx
15、|周期为 ，故只需在0，上讨论值域因为【知识模块】 一元函数积分学29 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学30 【正确答案】 令arcsinx=t，有 x=sint，t0，2)【知识模块】 一元函数积分学31 【正确答案】 先做恒等变形转化为 型极限，然后用洛必达法则【知识模块】 一元函数积分学32 【正确答案】 (1)齐次微分方程 f”(x)+f(x)一 f(x)=0 的特征方程为 r2+r 一 2=0，特征根为 r1=1，r 2=-2， 所以其通解为 f(x)=C 1ex+C2e-2x 再由 f”(x)+f(x)=2e x 得 2C1ex+5C2e-2x=2ex， 比较函数可得 C
16、 1=1，C 2=0 故 f(x)=e x令 y”=0得 x=0 为了说明 x=0 是 y”=0 唯一的解，我们来讨论 y”在 x0 和 x0 时的符号 当 x0 时， 可知 y”0；当 x0 时，可知 y”0； 因此 x=0 是 y”=0 唯一的解 同时，由上述讨论可知曲线 y=f(x2)0xf(-t2)dt，在 x=0 左右两边的凹凸性相反，可知(0，0)点是曲线 y=f(x2)02f(一 t2)dt 唯一的拐点【知识模块】 一元函数积分学33 【正确答案】 0af(x)dx=0af(x)d(x 一 a) =(x 一 a)f(x)|0a 一 0a(x 一 a)f(x)dx =af(0)一
17、0a(x 一 a)f(x)dx因为 f(x)连续，x 一 a0(x0，a)，故由积分中值定理知，至少存在一点 0，a，使得【知识模块】 一元函数积分学34 【正确答案】 因为 t|t|为奇函数，可知其原函数 f(x)=-1xt|t|dt=-10t|t|dt+0xt|t|dt 为偶函数，因此由 f(一 1)=0，得 f(1)=0，即 y=f(x)与 x 轴有交点(一 1，0)，(1，0) 又由 f(x)=x|x|，可知 x0 时，f(x)0，故 f(x)单调减少，从而 f(x)f(一 1)=0(一1x0)；当 x0 时，f(x)=x|x|0，故 x0 时 f(x)单调增加，且 y=f(x)与 x
18、 轴有唯一交点(1 ，0) 因此 y=f(x)与 x 轴交点仅有两个 所以封闭曲线所围面积 A= -11|f(x)|dx=2-10|f(x)|dx【知识模块】 一元函数积分学35 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学36 【正确答案】 令 F(x)=0xf(t)dt，0x，则有 F(0)=0，F()=0,又因为 0= 0f(x)cosxdx=0cosxdF(x) =F(x)cosx|0+0F(x)sinxdx =0F(x)sinxdx， 所以存在 (0，)，使 F()sin=0，不然，则在(0，) 内 F(x)sinx 恒为正或恒为负，与 0F(x)sinxdx=0 矛盾，但当 (0，)
19、时 sin0，故 F()=0. 由以上证得，存在满足 0 的 ，使得 F(0)=F()=F()=0 再对 F(x)在区间0， ， 上分别用罗尔定理知，至少存在 1(0，)， 2(，)，使得 F(1)=F(2)=0，即 f(1)=f(2)=0【知识模块】 一元函数积分学37 【正确答案】 作函数 F(x)=f(x)+x，有 01=F(x)dx=01f(x)+xdx=01f(x)dx+所以由积分中值定理知，存在 a0，1，使 01F(x)dx=(1 一 0)F(a)0，即 F(a)0 又 所以，由极限的保号性知，存在，即 F(b)0 因此，由零点定理知，至少存在一个 (a，b)(0， +)，使 F
20、()=0，即 f()+=0【知识模块】 一元函数积分学38 【正确答案】 连续利用分部积分法有 abf(x)dx=abf(x)d(x 一 b)=f(a)(b 一 a)一 abf(x)(x 一 b)d(x 一 a) =f(a)(b 一 a)+ab(x 一 a)df(x)(x 一 b) =f(a)(b 一 a)+ab(x 一 a)df(x)+abf”(x)(x 一 a)(xb)dx =f(a)(b 一 a)+f(b)(b 一 a)一 abf(x)dx+abf”(x)(x 一 a)(x 一 b)dx，移项并整理后得 abf(x)dx=【知识模块】 一元函数积分学39 【正确答案】 可设 =|f(x0)|，x 0(a，b)，即证 (b-a)|f(x 0)|abf(x)dx|+(b-a)ab|f(x)|dx 即 | abf(x0)dx|-|abf(x)dx|(b-a)|f(x)|dx 事实上，故得证【知识模块】 一元函数积分学
