1、考研数学三（一元函数积分学）模拟试卷 20 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 (x)在a，b上连续，且 (x)0，则函数 y=abxt (t)dt 的图形在(a ，b) 内( )（A）为凸（B）为凹（C）有拐点（D）有间断点2 F(x)=x1 f(t)dt，则 ( )（A）F(x)为 f(x)的一个原函数（B） F(x)在(，+)上可微，但不是 f(x)的原函数（C） F(x)在(，+)上不连续（D）F(x)在(，+) 上连续，但不是 f(x)的原函数3 设 则在(，+)内，下列正确的是 ( )（A）f(x)不连续且不可微， F(x)可微，且为
2、f(x)的原函数（B） f(x)不连续，不存在原函数，因而 F(x)不是 f(x)的原函数（C） f(x)和 F(x)均为可微函数，且 F(x)为 f(x)的一个原函数（D）f(x)连续，且 F(x)=f(x)4 设 F(x)=xx+2esintsintdt,则 F(x) ( )（A）为正常数（B）为负常数（C）恒为零（D）不为常数5 设 f(x)是以 l 为周期的周期函数，则 a+kla+(k+1)lf(x)dx 之值 ( )（A）仅与 a 有关（B）仅与 a 无关（C）与 a 及 k 都无关（D）与 a 及 k 都有关二、填空题6 设 ，则 a=_7 设 是 f(x)的一个原函数，则 1e
3、xf(x)dx=_8 9 设 f(x)有一个原函数10 11 12 0tsintdt=_13 14 设 f(sin2x)=cos2x+tan2x(0x1)，则 f(x)=_15 设 y=y(x)，若 =1，y(0)=1，且 x+时，y0，则y=_16 设 f(x)连续，则三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 设函数 f(x)在闭区间0，1上连续，在开区间(0 ，1) 内大于零，并且满足 xf(x)=f(x)+ x2(a 为常数)，又曲线 y=f(x)与 x=1，y=0 所围的图形 S 的面积为 2求函数 y=f(x)，并问 a 为何值时，图形 S 绕 x 轴旋转一周所得的旋转
4、体的体积最小18 设函数 y(x)(x0)二阶可导且 y(x)0，y(0)=1过曲线 y=y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及 x 轴的垂线，上述两直线与 x 轴所围成的三角形的面积记为 S1，区间 0，x上以 y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为 S2，并设 2S1S 2 恒为1，求此曲线 y=y(x)的方程19 设 f(x)在( ，+)内连续，以 T 为周期，证明：(1) aa+Tf(x)dx=0Tf(x)dx(a 为任意实数)；(2) 0xf(t)dt 以 T 为周期 0Tf(x)dx=0；(3)f(x)dx(即 f(x)的全体原函数)周期为 T f(x)dx=020 计算不定
5、积分21 计算不定积分22 求定积分的值23 设常数 0a 1，求24 已知25 设 a，b 均为常数， a 2，a0，求 a，b 为何值时，使26 直线 y=x 将椭圆 x2+3y2=6y 分为两块，设小块面积为 A，大块面积为 B，求 的值27 设 f(x)= ，求曲线 y=f(x)与直线 y= 所围成平面图形绕 Ox轴旋转所成旋转体的体积28 设 g(x)= ，f(x)= 0xg(t)dt(1)证明： y=f(x)为奇函数，并求其曲线的水平渐近线；(2)求曲线 y=f(x)与它所有水平渐近线及 Oy 轴围成图形的面积29 设函数 f(x)在0，1上连续， (0，1)内可导，且 3 f(x
6、)dx=f(0)证明：在(0，1)内存在一点 c，使 f(c)=030 设 f(x)，g(x) 在a，b 上连续证明：至少存在一点 (a，b)，使得 f() bg(x)dx=g()af(x)dx31 设 f(x)在区间0，1上连续，在 (0，1)内可导，且满足 f(1)=3 f(x)dx证明：存在 (0，1)，使得 f()=2f()32 设函数 f(x)有连续导数，F(x)= 0xf(t)f(2at)dt证明： F(2a)2F(a)=f 2(a)f(0)f(2a)考研数学三（一元函数积分学）模拟试卷 20 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】
7、 B【试题解析】 先将 (x)利用 xt的分段性分解变形，有 (x)= ax(xt)(t)dt+xb(tx)(t)dt=x ax(t)dt axt(t)dt+xbt(t)dtx xb(t)dt 因为 (t)在a，b 上连续，所以 (x)可导，因而答案不可能是 (D)其余三个选项，只需求出 (x)，讨论 (x)在(a，b)内的符号即可因 (x)= ax(t)dt xb(t)dt， (x)=2(x)0，xa，b， 故 y=(x)在(a，b)内的图形为凹应选(B) 【知识模块】 一元函数积分学2 【正确答案】 D【试题解析】 请看通常的解法：求积分并用连续性确定积分常数，可得所以 F+(0)F (0
8、)根据原函数定义，F(x) 不是 f(x)在(，+)上的原函数请考生思考，我们还有更好的方法解决这个问题吗?事实上，由于 f(x)有第一类间断点，所以 F(x)必然不是其原函数，而变限积分存在就必连续，所以答案自然选择(D) 【知识模块】 一元函数积分学3 【正确答案】 A【试题解析】 可以验证x=0 为 f(x)的第二类间断点，因为不存在，故 x=0 为 f(x)的振荡间断点，可能存在原函数通过计算 故 F(x)可微即 F(x)=f(x)，故(A)正确。【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 A【试题解析】 因 esinxsinx 是以 2 为周期的周期函数，所以xx+2esintsi
9、ntdt=02esintsintdt 02esintcos2tdt又 esinxcos2x0，故选(A) 【知识模块】 一元函数积分学5 【正确答案】 C【试题解析】 因为 f(x)是以 l 为周期的周期函数，所以 a+kla+(k+1)lf(x)dx=kl(k+1)lf(x)dx=0lf(x)dx 故此积分与 a 及 k 都无关【知识模块】 一元函数积分学二、填空题6 【正确答案】 2【试题解析】 又 atetdt= atdet=tet a aetdt=aeae t a=(a1)e a，所以 ea=(a1)ea，a=2【知识模块】 一元函数积分学7 【正确答案】 【试题解析】 1exf(x)
10、dx=1exdf(x)=xf(x) 1e 1ef(x)dx由于 是 f(x)的原函数，所以 f(x)= 所以【知识模块】 一元函数积分学8 【正确答案】 1n 3【试题解析】 因 是奇函数， =0所以原积分=ln(2+x2) 02=ln6ln2=ln3【知识模块】 一元函数积分学9 【正确答案】 2+2+6【试题解析】 因 是 f(x)的原函数，f(x)= 所以【知识模块】 一元函数积分学10 【正确答案】 2arctan +C，其中 C 为任意常数【试题解析】 =2arctant+C= 2arctan+C【知识模块】 一元函数积分学11 【正确答案】 (x21)+C，其中 C 为任意常数【试
11、题解析】 【知识模块】 一元函数积分学12 【正确答案】 【试题解析】 0tsintdt= 0td(cost)=tcost 0+0costdt=【知识模块】 一元函数积分学13 【正确答案】 2(e 2+1)【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学14 【正确答案】 ln(1x)x 2+C，其中 C 为任意常数【试题解析】 f(sin 2x)=12sin 2x+ (0x1)，所以 f(x)=1 2x+ =2x+ 因此 f(x)=(2x+ )dx=x 2ln(1x)+C【知识模块】 一元函数积分学15 【正确答案】 e x【试题解析】 由已知得 ，由不定积分定义有所以ydx=y=y=y ，即
12、=y，分离变量，两边积分，再由已知条件得结果 y=ex 【知识模块】 一元函数积分学16 【正确答案】 xf(x 2)【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 【正确答案】 由题设，当 x0 时， 据此并由 f(x)在点 x=0 处的连续性，得 f(x)= x2+Cx，x0，1又由已知条件 2=01，即 C=4a因此，f(x)= ax2+(4a)x旋转体的体积为 V(a)=01f(x)2dx=( )，令 V(a)=( )=0，得 a=5又 V(A)= 0，故当 a=5 时，旋转体体积最小【知识模块】 一元函数积分学18 【正确答案】 曲线
13、 y=y(x)上点 P(x，y)处的切线方程为 Yy=y(Xx)它与 x轴的交点为(x ，0) 由于 y(x)0，y(0)=1 ，从而 y(x)0，于是 S1=又 S2=0xy(t)dt，由条件 2S1S 2=1 知 0xy(t)dt=1 两边对 x 求导并化简得 yy=(y)2令 p=y，则上述方程可化为 yp =p2，从而，解得 p=C1y，即 = C1y于是 y= 注意到 y(0)=1，并由式得y(0)=1由此可得 C1=1，C 2=0，故所求曲线的方程是 y=ex【知识模块】 一元函数积分学19 【正确答案】 (1) aa+Tf(x)dx=f(a+T)f(a)=0 故 aa+Tf(x)
14、dx=aa+Tf(x)dx a=0=0Tf(x)dx(2) 0xf(t)dt 以 T 为周期 0x+Tf(t)dt 0xf(t)dt=xx+Tf(t)dt 0Tf(t)dt=0(3) 只需注意f(x)dx=0xf(t)dt+C， 0xf(t)dt 是 f(x)的一个原函数【知识模块】 一元函数积分学20 【正确答案】 设 ，右边通分后不难解得：于是【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 令 f(x)= ，对于任意的 0x ，有【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 对后者作积分变换x=t，得 ，所以【知识模块】 一元函数积分学24
15、 【正确答案】 令 I(a)=0+ dx，a0上式两边对 a 求导得 I(a)=0+dx=0+ dx令 y=2ax，则 dy=2adx，所以 I(a)=0+，上式积分可得 I(a)= a+C由于 I(0)=0，所以 C=0，令 a=1，得到I(1)=0+【知识模块】 一元函数积分学25 【正确答案】 若ba0 ，上述极限不存在，所以要使原等式成立，必须 a=b，那么所以=2ln22，解得 a=b=8e2 2【知识模块】 一元函数积分学26 【正确答案】 直线与椭圆的交点为(0，0)， ，则令 y1=sint，则【知识模块】 一元函数积分学27 【正确答案】 先求 f(x)的表达式，注意到函数
16、ex 在 x+与 x 的极限，可知 当 x0 时，y=f(x)与 y= 的交点横坐标为 x=1，且显然 0x1 时 ，所以所求旋转体体积其中，令 x=tant 得，【知识模块】 一元函数积分学28 【正确答案】 显然，g(0)=1，而当 x0 时由“1 ”型极限得 g(x)=，x0，其中， =x2，则不论 x 是否为零都有 g(x)= ，f(x)= 0x dt(1)因令 t=u 有 =f(x)，故 f(x)为奇函数因故 y=f(x)有两条水平渐近线 y= (2)由所考虑的平面图形的对称性及分部积分法得所求的面积为 其中，由洛必达法则得，而【知识模块】 一元函数积分学29 【正确答案】 由积分中
17、值定理知，在 上存在一点 c1，使 f(x)dx= f(c1)，从而有 f(c1)=f(0)，故 f(x)在区间0，c 1上满足罗尔定理条件，因此在(0，c 1)内存在一点 c，使 f(c)=0，c (0，c 1) (0，1)【知识模块】 一元函数积分学30 【正确答案】 记 G(x)=f(x)xbg(t)dtg(x) axf(t)dt，则 G(x)的原函数为 F(x)= axf(t)dtxbg(t)dt+C，其中 C 为任意常数， 因为 f(x)，g(x)在a ，b上连续，所以 F(x)：(1)在a ，b上连续；(2)在(a ，b)内可导；(3)F(a)=F(b)=C ，即 F(x)在a，b
18、上满足罗尔定理，所以，至少存在一个 (a，b)，使得 F()=0，即 f()bg(x)dx=g()af(x)dx【知识模块】 一元函数积分学31 【正确答案】 由积分中值定理，得 f(1)=e f(1)， 1 令 F(x)= f(x)，则 F(x)在 1，1上连续，在( 1，1)内可导，且 F(1)=f(1)= f(1)=F(1)由罗尔定理，在 (1，1)内至少有一点 ，使得 F()= f()2f()=0，于是 f()=2f()，( 1，1) (0，1)【知识模块】 一元函数积分学32 【正确答案】 F(2a) 2F(a)= 02af(t)f(2at)dt2 0af(t)f(2at)dt = a2af(t)f(2at)dt 0af(t)f(2at)dt，其中 a2af(t)f(2at)dt=f 2(a)f(0)f(2a)+ a2af(2at)f(t)dt，所以F(2a)2F(a)=f 2(a)f(0)f(2a)+ a2af(2at)f(t)dt 0af(t)f(2at)dt，又 a2af(2at)f(t)dt0af(u)f(2a u)du=0af(t)f(2at)dt，所以 F(2a)2F(a)=f 2(a)f(0)f(2a)【知识模块】 一元函数积分学
