1、考研数学三（一元函数积分学）模拟试卷 24 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 M= cos4xdx，N= (sin3x+cos4x)dr，P= (x2sin3xx 一cos4x)dx，则有 ( )（A）NPM（B） MPN（C） NM P（D）PM N2 设 f(x)= F(x)=0xf(t)dt(x0，2)，则( )3 设 f(x)，g(x) 在区间a，b上连续，且 g(x)f(x) m，则由曲线 y=g(x)，y=f(x) 及直线 x=a，x=b 所围成的平面区域绕直线 y=m 旋转一周所得旋转体体积为( )（A） ab2m 一 f(x)+g
2、(x)f(x)一 g(x)dx（B） ab2m 一 f(x)一 g(x)f(x)一 g(x)dx（C） abm 一 f(x)+g(x)f(x)一 g(x)dx（D） abm 一 f(x)一 g(x)f(x)一 g(x)dx4 在曲线 y=(x 一 1)2 上的点 (2，1)处作曲线的法线，由该法线、x 轴及该曲线所围成的区域为 D(y0) ，则区域 D 绕 x 轴旋转一周所成的几何体的体积为( )二、填空题5 =_6 sin3rcosrdr=_7 =_8 设 f(x)二阶连续可导，且 f(0)=1，f(2)=3，f(2)=5，则 01xf“(2x)dx=_9 设 f(x)连续，则 0xxf(x
3、 一 t)dt=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 求11 求arcsin 2xdx12 求13 求14 求15 16 设 x一 1，求 一 1x(1 一|t|)dt17 求 0n|sinx 一 cosx|dx18 设 f(x)=f(x 一 )+sinx，且当 x0， 时，f(x)=x，求 3f(x)dx19 设 f(x)= 求 02f(x 一 )dx20 设 f(2)= ，f(2)=0 ， 02(x)dx=1，求 01x2f“(2x)dx21 设 f(x)在a，b上连续，证明： abf(x)dx=abf(a+b 一 x)dx22 设 f(x)连续，证明： 0x0tf(u
4、)dudt=0xf(x)(xt)dt23 设 f(x)，g(x) 在a，b 上连续，证明：存在 (a，b)，使得 f()bg(z)dx=g()af(x)dx23 设 y=f（x）为区间0， 1上的非负连续函数24 证明存在 c（0，1），使得在区间 0，c上以 f（c）为高的矩形面积等于区间c， 1上以 y=f（x）为曲边的曲边梯形的面积；25 设 f（x）在（0，1）内可导，且 f（x） 证明（1）中的 c 是唯一的26 求圆 x2+y2=2y 内位于抛物线 y=x2 上方部分的面积27 设曲线 y=a+x 一 x3，其中 a0当 x0 时，该曲线在 x 轴下方与 y 轴、x 轴所围成图形的
5、面积和在 x 轴上方与 x 轴所围成图形的面积相等，求 a28 设曲线 =1(0a 4)与 x 轴、y 轴所围成的图形绕 x 轴旋转所得立体体积为 V1(a)，绕 y 轴旋转所得立体体积为 V2(a)，问 a 为何值时，V 1(a)+V2(a)最大，并求最大值考研数学三（一元函数积分学）模拟试卷 24 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 PM N ，选(D)【知识模块】 一元函数积分学2 【正确答案】 B【试题解析】 当 0x1 时，F(x)= axt2dt= ；当 1x2 时，F(x)= 01f(t)dt=01t2dt+1
6、x(2 一 t)dt= +2x 一 2 一 ，选(B) 【知识模块】 一元函数积分学3 【正确答案】 B【试题解析】 由元素法的思想，对x，x+dx a，b，d=m 一 g(x)2m一 f(x)2)dx=2m 一 f(x)一 g(x)f(x)一 g(x)dx，则 V=abd=ab2m 一 f(x)一 g(x)f(x)一 g(x)dx，选(B) 【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 D【试题解析】 过曲线 y 一(x 一 1)2 上点(2，1) 的法线方程为 y= +2，该法线与x 轴的交点为(4，0) ，则由该法线、x 轴及该曲线所围成的区域 D 绕 x 轴旋转一周所得的几何体的体积为
7、 V=12(x 一 1)4dx+24，选(D)【知识模块】 一元函数积分学二、填空题5 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学8 【正确答案】 2【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学9 【正确答案】 0xf(u)du+xf(x)【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学11 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学12 【正确答案】 【知识模块】 一元函
8、数积分学13 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学14 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学15 【正确答案】 =sin2x(1 一 cosx)dx=sin2xdx 一 sin2xcosxdx= (1 一 cos2x)dx 一sin 2xd(sinx)【知识模块】 一元函数积分学16 【正确答案】 当一 1x0 时， 一 1x(1 一|t|)dt= 一 1x(1+t)dt= (1+x)2；当 x0 时，一 1x(1 一|t|)dt= 一 10(1+t)dt+0x(1 一 t)dt=1 一 (1 一 x)2，因此 一 1x(1 一|t|)dt=【知识模块】 一元函数积分学17 【正确
9、答案】 02|sinx 一 cosx|dx【知识模块】 一元函数积分学18 【正确答案】 3f(x)dx=3xf(x 一 )+sinxdx=3f(x 一 )dx+3sinxdx=2f(x)dx=0xdx+2f(x)dx= +2f(x 一 )+sinxdx= +2f(x 一 )dx+2sinxdx= +0xdx 一 2=22【知识模块】 一元函数积分学19 【正确答案】 02f(x 一 )dx=02f(x 一 )d(x 一 )=一 f(x)dx【知识模块】 一元函数积分学20 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 abf(x)dx abf(a+b 一 t)(一 dt)=a
10、bf(a+b 一 t)dt=abf(a+b 一 x)dx【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 令 F(x)=0f(t)dt，则 F(x)=f(x)，于是 0x0tf(u)dudt=0xF(t)dt， 0xf(t)(x 一 t)dt=x0xxf(t)dt 一 0xtf(t)dt=xF(x)一 0xtdF(t) =xF(x)一 tF(x)|0x+0xF(t)dt=0xF(t)dt命题得证【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 令 (x)=axf(t)dtbxg(t)dt，显然 (x)在a，b上可导，又 (a)=(b)=0， 由罗尔定理，存在 (a，b) ，使得 ()=0，而 (x
11、)=f(x)bxg(t)dt+g(x)axf(t)dt， 所以 f()bg(x)dx+g()af(x)dx=0，即 f()bg(x)dx=g()af(x)dx【知识模块】 一元函数积分学【知识模块】 一元函数积分学24 【正确答案】 S 1（c）=S 2（c），S 2（c）= c1（t）df=一 1tf（t）dt ，即证明S1（c）=S 2（c），或 cf（ c）+ 1cf（t）dt=0令 （x）=x 1xf（x）dt ，（0）=（1）=0，根据罗尔定理，存在 c（0，1），使得 （c ）=0，即 cf（c）+1cf（ t）dt=0，所以 S1（c ）=S 2（c ），命题得证【知识模块】 一
12、元函数积分学25 【正确答案】 令 h（x）=xf（x）一 1xf（t）dt，因为 h（x）=2f （x）+xf（x）0，所以 h（x）在0，1上为单调函数，所以（1）中的 c 是唯一的【知识模块】 一元函数积分学26 【正确答案】 由 所围成的面积为 A=一 11(1+ )一 x2dx=201(1+ )一 x2dx=【知识模块】 一元函数积分学27 【正确答案】 设曲线 y=a+x 一 x3 与 x 轴正半轴的交点横坐标为 ，()，由条件得一 0(a+xx3)dx 一(a+x 一 x3)dx，移项得一 0(a+x 一 x3)dx+(a+xx3)dx=0(a+x 一 x3)dx=0 4a+2 一 3)=0，因为 0 ，所以 4+2 一 3=0又因为(， 0)为曲线 y=a+x 一 x3 与 x 轴的交点，所以有 a+ 一 3=0，从而有 =一 3a a一 3a+27a3=0【知识模块】 一元函数积分学28 【正确答案】 曲线与 x 轴和 y 轴的交点坐标分别为(a，0)，(0，b)，其中 b=4一 a曲线可化为 ，对任意的x，x+dx 0，a，dV2=2xydx=2x 于是 V2 一 20ax根据对称性，有 V1= 于是 V(a)=V1(a)+V2(a)=令 V(a)= ，又 V“(2)0，所以 a=2 时，两体积之和最大，且最大值为 V(2)=【知识模块】 一元函数积分学
