1、考研数学三（一元函数积分学）模拟试卷 27 及答案与解析一、填空题1 =_2 e+ =_二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。2 求下列不定积分：3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 sin4xcos3xdx15 求16 求17 求(arccosx) 2dx18 求 0nx|cosx|dx19 20 求 一 22max1，x 2dx21 求22 设 f(x)在a，b上连续，且 f(x)0，证明：存在 (a，b)，使得 af(x)dx=bf(x)dx23 证明： sinnxcosnxdx=2 一 n sinnxdx24 求曲线 y=x2 一 2x 与直线 y=0、
2、x=1、x=3 所围成区域的面积 S，并求该区域绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积 V24 设 L:y=e 一 x(x0)25 求由 y=e 一 x、x 轴、y 轴及 x=a(a0)所围成平面区域绕 x 轴一周而得的旋转体的体积 V(a)26 设 V(c)= ，求 c27 设 C1，C 2 是任意两条过原点的曲线，曲线 C 介于 C1，C 2 之间，如果过 C 上任意一点 P 引平行于 x 轴和 y 轴的直线，得两块阴影所示区域 A，B 有相等的面积，设 C 的方程是 y=x2，C 1 的方程是 y= ，求曲线 C2 的方程28 过曲线 y=x2(x0)上某点处作切线，使该曲线、切线与 x 轴所
3、围成的面积为 ，求切点坐标、切线方程，并求此图形绕 x 轴旋转一周所成立体的体积考研数学三（一元函数积分学）模拟试卷 27 答案与解析一、填空题1 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学2 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 一元函数积分学3 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学5 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学6 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学7 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学8 【正确答案】 【知识模
4、块】 一元函数积分学9 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学10 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学11 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学12 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学13 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学14 【正确答案】 sin 4xcos3xdx=sin4x(1 一 sin2x)d(sinx)=一sin 4x 一 sin6x)d(sinx)=sin7x+C【知识模块】 一元函数积分学15 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学16 【正确答案】 =一cotxlnsinx+(csc2 一 1)dx=一 cotxlnsinx 一 cot
5、x 一 x+C【知识模块】 一元函数积分学17 【正确答案】 (arccosx) 2dx=x(arccosx)2+ =x(arccosx)2 一=x(arccosx)2 一 一 2x+C【知识模块】 一元函数积分学18 【正确答案】 0nx|cosx|dx=0x|cosx|dx+2x|cosx|dx+ (n 一 1)n|cosx|dx， 0x|cosx|dx= =， 2x|cosx|dx0(t+)|cost|dt=0t|cost|dt|0|cost|dt=+2=3， 23x|cosx|dx 0(t+2)|cost|dt=0t|cost|dt+20|cost|dt=5，则 0nx|cosx|dx
6、3+(2n 一 1)=n2【知识模块】 一元函数积分学19 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学20 【正确答案】 因为 max(1，x 2)是偶函数，所以 一 22max(1，x 2)dx=202max(1，x 2)dx=2(011dx+12x2dx)【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 令 g(x)=axf(t)dt 一 xbf(t)dt， 因为 f(x)在a，b上连续，且 f(x)0， 所以 g(a)=一 abf(t)dt0，g(b)= abf(t)dt0， 由零点定理，存在 (a，b)，使得 g()=0，即 af(x)
7、dx=bf(x)dx【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学24 【正确答案】 区域面积为 S=13|f(x)|dx=12(2x 一 x2)dx+23(x2 一 2x)dx=(x2 一 x3)|12+( x3 一 x2)|23=2；V y=213x|f(x)|dx 一 2(12x(2x 一 x2)dx+23x(x2 一 2x)dx)【知识模块】 一元函数积分学【知识模块】 一元函数积分学25 【正确答案】 V(a)= 0ae 一 2xdx= (1 一 e 一 2a)【知识模块】 一元函数积分学26 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学27 【正确答案】 由题设 C:y=x2，C 1：y= x2，令 C2：x=f(y) ，P 点坐标为(x，y)，则 SA=一0yf(y)dy，所以 一 0yf(y)dy，因为 PC，所以有 0yf(y)dy=，即 ，两边对 x 求导，得2xf(x 2)= ，即 f(x2)= 从而 C2 的方程为 x=f(y)=【知识模块】 一元函数积分学28 【正确答案】 设切点坐标为(a，a 2)(a0)，则切线方程为 y 一 a2=2a(x 一 a)，即y=2ax 一 a2，由题意得 解得 a=1，则切线方程为 y=2x 一 1，旋转体的体积为 V=01x4dx 一 (2x 一 1)2dx=【知识模块】 一元函数积分学
