1、考研数学三（中值定理与一元函数微分学的应用）模拟试卷 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 曲线 的渐近线有( )（A）1 条（B） 2 条（C） 3 条（D）4 条2 函数 f(x)=x3 一 3x+k 只有一个零点，则 k 的范围为( )（A）|k|1（B） |k|1（C） |k|2（D）k23 设 f(x)在 x=0 的邻域内有定义，f(0)=1，且 则 f(x)在 x=0 处( )（A）可导，且 f(0)=0（B）可导，且 f(0)=一 1（C）可导，且 f(0)=2（D）不可导4 设 则在 x=a 处( )（A）f(x)在 x=a 处可导且
2、 f(a)0（B） f(a)为 f(x)的极大值（C） f(a)不是 f(x)的极值（D）f(x)在 x=a 处不可导5 设 f(x)连续，且 则( )（A）f(x)在 x=0 处不可导（B） f(x)在,x=0 处可导且 f(0)0（C） f(x)在 x=0 处取极小值（D）f(x)在 x=0 处取极大值6 设 f(x)具有二阶连续可导，且 则( )（A）x=1 为 f(x)的极大值点（B） x=1 为 f(x)的极小值点（C） (1，f(1)是曲线 y=f(x)的拐点（D）x=1 不是 f(x)的极值点，(1，f(1)也不是 y=f(x)的拐点7 设 f(x)二阶连续可导，f(0)=0，且
3、 则( )（A）x=0 为 f(x)的极大值点（B） x=0 为 f(x)的极小值点（C） (0，f(0)为 y=f(x)的拐点（D）x=0 不是 f(x)的极值点，(0，f(0)也不是 y=f(x)的拐点二、填空题8 设 f(x)=ln(1+x)，当 x0 时，f(x)=f(x)x ，则9 函数 f(x)=xe-2x 的最大值为_10 设 f(x)=ex，f(x)一 f(0)=f(x)x，则11 设 f(x)一阶可导，且 f(0)=f(0)=1，则12 设函数 y=y(x)由 e2x+ycosxy=e 一 1 确定，则曲线 y=y(x)在 x=0 处的法线方程为_三、解答题解答应写出文字说明
4、、证明过程或演算步骤。13 设 f(x)在0，2上连续，在 (0，2)内可导，且 3f(0)=f(1)+2f(2)，证明：存在(0， 2)，使得 f()=014 设 f(x)三阶可导， 证明：存在 (0，1)，使得 f“()=015 设 f(x)在0，1上连续，在 (0，1)内可导，且 f(1)=0，证明：存在 (0，1)，使得f()sin+f()cos=016 设 f(x)二阶可导，f(1)=0，令 (x)=x2f(x)，证明：存在 (0，1)，使得 f“()=017 设 f(x)二阶可导，且 证明：存在 (0，1)，使得 f“()+2f()=018 设 f(x)二阶可导， f(1)=1，证
5、明：存在 (0，1)，使得 f“() 一f()+1=019 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导(a0)，证明：存在 (a，b)，使得 20 设 f(x)二阶连续可导，且 f(0)=f(0)=0，f“(0)0 ，设 u(x)为曲线 y=f(x)在点(x，f(x)处的切线在 x 轴上的截距，求21 证明曲线 上任一点的切线的横截距与纵截距之和为 222 设 验证 f(x)在0，2上满足拉格朗日中值定理的条件，求(0，2) 内使得 f(2)一 f(0)=2f()成立的 23 设函数 f(x)在区间0， 3上连续，在(0，3)内可导，且 f(0)+f(1)+f(2)=3，f(3)=1证明
6、：存在 (0，3)，使得 f()=024 设函数 f(x)和 g(x)在区间 a，b上连续，在区间(a，b)内可导，且 f(a)=g(b)=0，g(x) 0 ，试证明存在 (a，b)使25 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导(a0)，证明：存在 (a，b)，使得 26 设 f(x)，g(x) 在a，b 上连续，在(a ，b)内可导，且 g(x)0证明：存在 (a，b)，使得 27 设 f(x)在0，1上连续，证明：存在 (0，1)，使得28 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导，且 f(a)f(b)0， 证明：存在 (a，b) ，使得 f()=f()29 设 f(x)
7、在0，1上连续，在 (0，1)内可导，且 f(0)=f(1)，证明：存在 ，(0，1)，使得f()+f()=030 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导(a0)证明：存在 ， (a，b)，使得 31 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内二阶可导，f(a)=f(b)，且 f(x)在a，b上不恒为常数证明：存在 ，(a ，b)，使得 f()0，f()032 设 ba 0，证明：33 设 f(x)在a，b上满足|f“(x)|2 ，且 f(x)在(a，b)内取到最小值证明：|f(a)|+|f(b)|2(b 一 a)考研数学三（中值定理与一元函数微分学的应用）模拟试卷 1 答案与解析
8、一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由 得 x=0 为铅直渐近线；由 为水平渐近线，显然该曲线没有斜渐近线，又因为 x1 及 x一 2 时，函数值不趋于无穷大，故共有两条渐近线，应选(B)【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用2 【正确答案】 C【试题解析】 令 f(x)=3x2 一 3=0，得x=1，f“(x)=6x， 由 f“(一 1)=一 60，得 x=一 1 为函数的极大值点，极大值为 f(-1)=2+k， 由 f“(1)=60，得 x=1 为函数的极小值点，极小值为 f(1)=一 2+k， 因为f(x)=x33x+k
9、只有一个零点，所以 2+k【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用3 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用4 【正确答案】 B【试题解析】 由 根据极限的保号性，存在 0，当0|x a| 时， 有 从而有 f(x)f(a)，于是 f(a)为 f(x)的极大值，选(B)【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用5 【正确答案】 D【试题解析】 由 得 f(0)=1， 由极限的保号性，存在 0，当0|x| 时， 即 f(x)1=f(0)， 故 x=0 为 f(x)的极大值点，选(D) 【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用6 【正确答案】 C【试题
10、解析】 由 及 f(x)二阶连续可导得 f“(1)=0， 因为所以由极限保号性，存在 0，当 0|x 一 1| 时，从而 故(1，f(1)是曲线 y=f(x)的拐点，选(C)【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用7 【正确答案】 A【试题解析】 因为 所以由极限的保号性，存在 0，当0|x| 时， 注意到 x3=(x)，所以当 0|x| 时，f“(x)0， 从而 f(x)在(一 ，)内单调递减，再由 f(0)=0，得故 x=0 为 f(x)的极大值点，选(A) 【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用二、填空题8 【正确答案】 由 f(x)=f(x)得 解得故【知识模块】 中值定理与
11、一元函数微分学的应用9 【正确答案】 由 f(x)=(12x)e-2x=0 得 当 时，f(x) 0；当时，f(x)0， 则 为 f(x)的最大值点，最大值为【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用10 【正确答案】 由 f(x)一 f(0)=f(x)x 得 ex 一 1=xex，解得 故【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用11 【正确答案】 【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用12 【正确答案】 当 x=0 时，y=1 对 e2+ycosxy=e 一 1 两边关于 x 求导得 将 x=0，y=1 代入得 故所求法线方程为【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用三、解答
12、题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 因为 f(x)在1 ，2上连续，所以 f(x)在1，2上取到最小值 m 和最大值 M， 又因为 所以由介值定理，存在 c1，2，使得 即 f(1)+2f(2)=3f(c)， 因为 f(0)=f(c)，所以由罗尔定理，存在(0， c) (0，2)，使得 f()=0【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用14 【正确答案】 由 得 f(0)=1，f(0)=0； 由 得 f(1)=1，f(1)=0 因为 f(0)=f(1)=1，所以由罗尔定理，存在 c(0，1)，使得 f(c)=0 由 f(0)=f(c)=f(1)=0，根据罗尔定理，
13、存在 1(0，c) ， 2(c，1)，使得 f“( 1)=f“(2)=0， 再根据罗尔定理，存在 (1， 2) (0，1)，使得 f“()=0【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用15 【正确答案】 令 (x)=f(x)sinx，(0)=(1)=0，由罗尔定理，存在 (0，1)，使得 ()=0，而 (x)=f(x)sinx+f(x)cosx，故存在 (0，1) ，使得 f()sin+f()cos=0【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用16 【正确答案】 (0)=(1)=0，由罗尔定理，存在 1(0，1)，使得 (1)=0， 而(x)=2xf(x)+x2f(x)， (0)=( 1)
14、=0，由罗尔定理，存在 (0， 1) (0，1)，使得“()=0【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用17 【正确答案】 由 得 f(0)=1，f(0)=0， f(0)=f(1)=1，由罗尔定理，存在 c(0，1)，使得 f(c)=0(x)=x 2f(x)， (0)=(c)=0，由罗尔定理，存在(0， c) (0，1)，使得 ()=0， 而 (x)=2xf(x)+x2f“(x)，于是 2f()+2f“()=0， 再由 0 得 f“()+2f()=0【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用18 【正确答案】 由 得 f(0)=0，f(0)=1， 由拉格朗日中值定理，存在c(0，1)，使
15、得 令 (x)=e-xf(x)一 1，(0)=(c)=0 ， 由罗尔定理，存在 (0，c) (0，1) ，使得 ()=0， 而 (x)=e-xFf“(x)一 f(x)+1且 e-x0，故 f“()一 f()+1=0【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用19 【正确答案】 令 由柯西中值定理，存在 (a，b)，使得 整理得【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用20 【正确答案】 曲线 y=f(x)在点(x，f(x)的切线为 Y=f(x)=f(x)(Xx)， 令 Y=0，则 则【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用21 【正确答案】 对 两边关于 x 求导得 【知识模块】 中值定
16、理与一元函数微分学的应用22 【正确答案】 由 f(1 一 0)=f(1)=f(1+0)=1 得 f(x)在 x=1 处连续，从而 f(x)在0，2上连续 得 f(x)在 x=1 处可导且 f(1)=一 1，从而 f(x)在(0，2)内可导， 故 f(x)在0，2上满足拉格朗日中值定理的条件 当 x(0，1)时，f(x)=-x；当x1 时， 即 当 01 时，由 f(2)一f(0)=2f()得一 1=一 2，解得 当 1 2 时，由 f(2)一 f(0)=2f()得解得【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用23 【正确答案】 因为 f(x)在0 ，3上连续，所以 f(x)在0，2上连续，
17、故 f(x)在0，2取到最大值 M 和最小值 m，显然 3mf(0)+f(1)+f(2)3M，即 m1M，由介值定理，存在 c0，2 ，使得 f(c)=1 因为 f(x)在f，3上连续，在(f，3)内可导，且 f(c)=f(3)=1，根据罗尔定理，存在 (c，3) (0，3)，使得 f()=0【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用24 【正确答案】 令 (x)在区间a，b上连续，在区间(a，b)内可导，且 因为(a)=(b)=0，所以由罗尔定理，存在 (a，b)使 ()=0，即 由于 g(b)=0 及 g(x)0，所以区间(a，b)内必有 g(x)0， 从而就有 于是有【知识模块】 中值
18、定理与一元函数微分学的应用25 【正确答案】 令 (x)=f(b)lnx 一 f(x)lnx+f(x)lna，(a)=(b)=y(b)lna 由罗尔定理，存在 (a，b) ，使得 ()=0 【试题解析】 由或f(b)lnx一 f(x)lnx+f(x)lna=0，辅助函数为 (x)=f(b)lnx-f(x)lnx+f(x)lna【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用26 【正确答案】 令 F(x)=f(x)g(b)+f(a)g(x)一 f(x)g(x)，则 F(x)在a，b上连续，在(a， b)内可导，且 F(a)=F(b)=f(a)g(b)，由罗尔定理，存在 (a，b)，使得 F()=0
19、，而 F(x)=f(x)g(b)+f(a)g(x)一 f(x)g(x)一 f(x)g(x)，所以 【试题解析】 这是含端点和含 的项的问题，且端点与含 的项不可分离，具体构造辅助函数如下：把结论中的 换成 x 得 整理得 f(x)g(b)+f(a)g(x)=f(x)g(x)一 f(x)g(x)=0，还原得 f(x)g(b)+f(a)g(x)一 f(x)g(x)=0，辅助函数为 F(x)=f(x)g(b)+f(a)g(x)一 f(x)g(x)【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用27 【正确答案】 令因为(0)=(1)=0，所以由罗尔定理，存在 (0，1)，使得 ()=0 【试题解析】 【
20、知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用28 【正确答案】 不妨设 f(a)0，f(b)0 ， 令(x)=e-xf(x)，则 (x)=e -xf(x)一 f(x) 因为 (a)0， (b)0，所以存在 使得 (1)=()=0，由罗尔定理，存在(1， 2) (a，b) ，使得 ()=0， 即 e-f()一 f()=0，因为 e-0，所以 f()=f()【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用29 【正确答案】 存在 使得 因为 f(0)=f(1)，所以 f()=一 f()，即 f()+f()=0【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用30 【正确答案】 令 F(x)=x2，F(x)=2
21、x0(axb)，由柯西中值定理，存在(a， b)，使得 整理得再由微分中值定理，存在 (a，b)，使得故【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用31 【正确答案】 因为 f(x)在a ，b上不恒为常数且 f(a)=f(b)，所以存在 c(a，b)，使得 f(c)f(a)=f(b)，不妨设 f?f(a)=f(b)， 由微分中值定理，存在 (a，c)，(c， b)，使得 【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用32 【正确答案】 方法一 令 f(t)=lnt，由微分中值定理得其中 (a，b) 因为 0a b，所以从而 即 方法二 等价于 b(lnblna)b 一 a，令 1(x)=x(lnxlna)一(x a)， 1(a)=0， 1(x)=lnxlna0(xa) 由 得 1(x)0(xa)，而 ba ，所以 1(b)0，从而 同理可证【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用33 【正确答案】 因为 f(x)在(a ，b)内取到最小值，所以存在 c(a，b)，使得 f(f)为f(x)在a，b上的最小值，从而 f(c)=0 由微分中值定理得 两式取绝对值得 两式相加得|f(a)|+|f(b)|2(ba) 【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用
