1、考研数学三（二次型）模拟试卷 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 为三阶非零矩阵如果二次曲面方程 在正交变换下的标准方程的图形如图，则 A 的正特征值个数为( )（A）0 （B） 1 （C） 2 （D）32 设矩阵 则 A 与 B( )（A）合同，且相似 （B）合同，但不相似（C）不合同，但相似 （D）既不合同，也不相似3 设 则 A 与 B( )（A）合同且相似 （B）合同但不相似（C）不合同但相似 （D）不合同且不相似4 若存在一组不全为 0 的数 1， 2， m 和 k1，k 2，k m 使( 1+k1)1+( m+km)+(1 一
2、k1)1+( m 一 km)m=0，则( )（A） 1， 2， 2 和 1， 2， m 都线性无关（B） 1， 2， m 和 1， 2， m 都线性相关（C） 1+1， m+m， 1 一 1， m 一 m 线性无关（D） 1+1， ， m+m， 1 一 1， m 一 m 线性相关5 若矩阵 A 经过有限次初等行变换变为 B，则下列结论中错误的是 ( )（A）A 的行向量组与曰的行向量组等价（B） A 的列向量组与刀的列向量组等价（C）秩 RA=秩 RB（D）B 可经过有限次初等行变换变为 A6 n 阶矩阵 A 和 B 有相同的特征值，且都有 n 个线性无关的特征向量，则不成立的是( )（A）A
3、 2 与 B2 相似（B） r(A+E)=r(B+E)（C） AE=B 一 E（D）A 与 B 有相同的特征向量7 设 A 为 ms 矩阵，B 为 sn 矩阵，要使 ABx=0 与 Bx=0 为同解方程组的充分条件是( )（A）RA=m（B） RA=s（C） rB=s（D）rB=n8 设线性方程组 Ax=b 有 m 个方程，n 个未知数，则( )正确（A）若 Ax=0 仅有零解，则 Ax=b 有唯一解（B）若 Ax=0 有非零解，则 Ax=b 有无穷多解（C）若 Ax=b 有无穷多解，则 Ax=0 仅有零解（D）若 Ax=b 有无穷多解，则 Ax=0 有非零解二、填空题9 已知实二次型厂(x
4、1，x 2，x 3)=a(x12+x22+x32)+4x1x2+4x1x3+4x2x3 经正交变换 x=Py可化成标准形 f=6y12，则 0=_10 n+1 阶行列式 =_，其中 ai0(i，2，n)11 矩阵 的秩为_，其中 ai012 向量组 1=(1，0，2，3)，a 2=(1，1，3，5)，a 3=(1，一 1，t+2 ，1)，ad=(1，24，t+9) 线性相关，则 t=_13 设四阶实方阵 A 满足条件 =0，且 IA l=9则 A*的一个特征值为_，A 2A-1 的一个特征值为_14 若 A 为五阶方阵，RA=4，则齐次线性方程组 A*x=0 的一个基础解系含有_个解向量15
5、与向量 1=(1，1，一 1，0)， 2=(1，2，1，3) ， 3=(一 1，1，6，6)都正交的向蛀为_考研数学三（二次型）模拟试卷 1 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 图中二次曲面为旋转双叶双曲面，其标准方程为 对于二次型 其特征值为 实对称矩阵 A 特征值的正负个数和二次型的正负惯性指数(分别是 1 和 2)对应相同，因而矩阵 A 的正特征值的个数是 1故应选 B【知识模块】 二次型2 【正确答案】 B【试题解析】 令则 A=C+3E由E C=0，C 的特征值为 1=一3， 2=3=0，则 A 的特征值为 3，3
6、，0B 的特征值为 1，1，0显然 A 与 B 不相似A 的正负惯性指数为 2，0，B 的也是这样，则 A 与 B 合同，故应选 B【知识模块】 二次型3 【正确答案】 A【试题解析】 A 是实对称矩阵，可求得特征多项式 AE= 一( 一 4)。，即A 的特征值为 1=2=3=4=0，由于实对称矩阵 A 可正交相似于对角矩阵曰，所以A 与 B 既合同又相似故正确答案为 A【知识模块】 二次型4 【正确答案】 D【试题解析】 ( 1+k1)1+( m+km)m+(1 一 k1)1+( m+km)m=0 即 1(1+1)+ m(m+m)+k1(1 一 1)+k1(m 一 m)=0 而 1， 2，
7、mk1，k 2，k m不全为 0选项 D 正确5 【正确答案】 B【试题解析】 因为 Amn 可以若干次初等变换为 Bmn，故 A、B 等价，秩 A=秩B，且存在初等矩阵 P1，P 2，P 1，使 P1P1A=B，设 P=P1P1，则 PA=B设1， m 为 A 行向量组， 1， m 为 B 的行向量组，则 所以 B 的行向量组可由 A 的行向量组线性表示又 P 可逆 故 A 的行向量组可由 B 的行向量组线性表示又 P-1=P1-1P1-1 A=P1-1P1-1 B 可经若干次初等行变换变为 A故 A、C、D 成立6 【正确答案】 D【试题解析】 由题设，A、B 均可对角化，且相似于同一对角
8、矩阵，故 AB，于是 A2 一 B2，A+E 一 B+E，A 一 E 一 B 一 E，从而有 r(A+E)=r(B+E)， A E=B 一 E，尽管 A、B 的特征值相同但特征向量不一定相同，故选 D7 【正确答案】 B【试题解析】 显然，方程组 Bx=0 的解是 ABx=0 的解，要使方程组 ABx=0 的解也是 Bx=0 的解，即由 ABx=O 推导出 Bx=0，只需方程组 Ax=0 只有零解，即秩A=s所以选 B8 【正确答案】 D【试题解析】 齐次方程组与非齐次方程组之间有如下关系：由 Ax=b 有无穷多解(唯一解) ，可以推出 Ax=0 有非零解(仅有零解)，但反之不成立因为由rA
9、故选 D二、填空题9 【正确答案】 2【试题解析】 由题设，原二次型的标准型为 f=6y，则二次型相应矩阵的秩等于1，且相应特征值为 6，0，0，设原二次型的相应矩阵为 A，则当 a2 时，可化为 此时 rA2；当 a=2 时，可化为 此时 rA=1由此得出 a=2【知识模块】 二次型10 【正确答案】 【试题解析】 由行列式性质，有11 【正确答案】 2【试题解析】 (1)埘矩阵 A 作初等行变换，因此 RA=r,B=2.12 【正确答案】 一 1 或一 2【试题解析】 【解法一】 (t+1)(t+2)，t= 一 l 或 t=一 2 时行列式为 0【解法二】当 t=一 1 或 t=一 2 时，RB=31， 2， 3， 4 线性相关13 【正确答案】 【试题解析】 因为 ，所以， 是 A 的一个特征值，于是 是 A*的一个特征值， 是 A-1 的一个特征值，从而是A 2A-1 的一个特征值14 【正确答案】 4【试题解析】 因为 RA=4=5 一 1，则根据 RA 与 r(A*)关系有 r(A*)=1，所以 A*x=0的基础解系应有 5 一 1=4 个解向量15 【正确答案】 k(3，一 3，0，1)【试题解析】 设 x=(x1，x 2，x 3，x 4)，则由正交定义应有 其基础解系为 k(3，一 3，0，1)，这就是与 1， 2， 3 都正交的全部向量
