1、考研数学三（多维随机变量的分布）模拟试卷 2 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且都服从区间(0，1)上的均匀分布，则下列服从相应区间或区域上均匀分布的是（A）X 2（B） X-Y（C） X+Y（D）(X，Y)2 设随机变量 X 与 Y 相互独立，其分布函数分别为 FX(x)与 FY(y)，则Z=maxX，Y的分布函数 FZ(z)是（A）maxF X(z)，F Y(z)（B） FX(z)+FY(z)-FX(z)FY(z)（C） FX(z).FY(z)（D） FX(z)+FY(z)3 设随机变量 X1 与 X2 相互独
2、立，其分布函数分别为则 X1+X2 的分布函数 F(x)=4 设随机变量 X 和 Y 都服从正态分布，则（A）X+Y 一定服从正态分布（B） X 和 Y 不相关与独立等价（C） (X，Y)一定服从正态分布（D）(X，-Y)未必服从正态分布5 已知随机变量 X1 与 X2 相互独立且有相同的分布：PX i=-1=PXi=1= (i=1，2)，则（A）X 1 与 X1X2 独立且有相同的分布（B） X1 与 X1X2 独立且有不同的分布（C） X1 与 X1X2 不独立且有相同的分布（D）X 1 与 X1X2 不独立且有不同的分布6 已知随机变量(X，Y) 在区域 D=(x，y)-1x1，-1y1
3、 上服从均匀分布，则7 设随机变量 X 和 Y 的联合概率分布服从 G=(x，y)x 2+y2r2上的均匀分布，则下列服从相应区域上均匀分布的是（A）随机变量 X（B）随机变量 X+Y.（C）随机变量 Y（D）Y 关于 X=1 的条件分布 .二、填空题8 设随机变量 X 与 Y 相互独立同分布，且都服从 p= 的 01 分布，则随机变量Z=maxX，Y的分布律为_9 假设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 PX=k= (k=1，2，3)，则 a=_，b=_，Z=X+Y 的分布律为 _10 从数 1，2，3，4 中任取一个数，记为 x，再从 1，X 中任取一个数，记为Y，则 PY=2=_.11
4、设随机变量 X 和 Y 的联合分布函数为则随机变量 X 的分布函数 F(x)为_.12 设(X，Y)N(，； 2， 2；0) ，则 PXY=_.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 已知随机变量 X 与 Y 相互独立且都服从参数为 的 01 分布，即 PX=0=PX=1=求 Z 的分布；(X，Z)的联合分布；并问 X 与 Z 是否独立14 假设随机变量 X 与 Y 相互独立，如果 X 服从标准正态分布，Y 的概率分布为PY=-1= ，求：( )Z=XY 的概率密度 fZ(z)；()V=X-Y的概率密度 fV(v)15 已知随机变量 X 服从参数为 1 的指数分布，Y 服从标准
5、正态分布，X 与 Y 独立现对 X 进行 n 次独立重复观察，用 Z 表示观察值大于 2 的次数，求 T=Y+Z 的分布函数 FT(t)16 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 X 服从参数为 p 的几何分布，即 PX=m=pqm-1，m=1 ，2，0p1，q=1-p，Y 服从标准正态分布 N(0，1)求： ()U=X+Y 的分布函数； ( )V=XY 的分布函数17 汽车加油站共有两个加油窗口，现有三辆车 A，B ，C 同时进入该加油站，假设 A、B 首先开始加油，当其中一辆车加油结束后立即开始第三辆车 C 加油假设各辆车加油所需时间是相互独立且都服从参数为 的指数分布()求第三辆车C 在
6、加油站等待加油时间 T 的概率密度；()求第三辆车 C 在加油站度过时间 S 的概率密度18 袋中有大小相同的 10 个球，其中 6 个红球，4 个白球，现随机地抽取两次，每次取一个，定义两个随机变量 X，Y 如下：试就放回与不放回两种情形，求出(X，Y) 的联合分布律19 设二维随机变量(X，Y)的联合分布为 其中a，b，c 为常数，且 EXY=-01，PX0Y2= ，记 Z=X+Y求：()a ，b，c之值；()Z 的概率分布； ()PZ=X与 PZ=Y20 假设二维随机变量(X，Y)在矩形区域 G=(x，y)0x2，0y1上服从均匀分布记 ()求 U 和 V 的联合分布；(求 U 和 V
7、的相关系数 21 设二维随机变量(X，Y)在区域 D=(x，y)0y1，yxy+1内服从均匀分布，求边缘密度函数，并判断 X，Y 的独立性22 设随机变量 X 和 Y 的联合密度为()试求 X 的概率密度 f(x)； ()试求事件 “X 大于 Y”的概率 PXY； ()求条件概率 PY1X05 23 设二维连续型随机变量(X，Y)在区域 D 上服从均匀分布，其中D=(x，y) x+y 1，x-y1 ，求 X 的边缘密度 fX(x)与在 X=0 条件下，关于 y 的条件密度 fYX (y 0)24 已知(X，Y)的概率分布为 ()求 Z=X-Y 的概率分布； () 记 U1=XY，V 1= ，求
8、(U 1，V 1)的概率分布；()记 U2=max(X，Y)，V2=min(X，Y)，求(U 2，V 2)的概率分布及 U2V2 的概率分布25 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且都在0，1上服从均匀分布，试求： ()U=XY 的概率密度 fU(u)； ( )V=X-Y的概率密度 fV(v)26 设二维随机变量(X 1，X 2)与(X 2，Y 2)的联合概率密度分别为求：()常数 k1， k2 的值；()X i，Y i(i=1，2)的边缘概率密度； ()PX i2Y i (i=1，2)考研数学三（多维随机变量的分布）模拟试卷 2 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合
9、题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 由 Y4=X2 知，X 2 不服从均匀分布；应用独立和卷积公式可知，X+Y与 X-Y 都不服从均匀分布；由 X，Y 的独立性知，(X，Y) 的联合密度 f(x，y)=因此(X，Y)服从区域 D=(x，y)0x1，0y1上二维均匀分布，应选(D) 【知识模块】 多维随机变量的分布2 【正确答案】 C【试题解析】 F Z(x)=Pmax(X，Y)z=PXz ，Yz =PXz.PYz=F X(z).FY(z)，应选(C)【知识模块】 多维随机变量的分布3 【正确答案】 D【试题解析】 由题意知 X1 为离散型随机变量，其分布律为F(x)=PXl1+X2x=
10、PX1=0PX1+X2xX 1=0+P(X1=1PX1+X2xX1=1 故选(D)【知识模块】 多维随机变量的分布4 【正确答案】 D【试题解析】 (A) 不成立，例如，若 Y=-X，则 X+Y0 不服从正态分布(C)不成立，(X，Y) 不一定服从正态分布，因为边缘分布一般不能决定联合分布(B)也不成立，因为只有当 X 和 Y 的联合分布是二维正态分布时“X 和 Y 独立”与“X 和 Y不相关”二者等价故应选(D)，虽然随机变量 X 和-Y，都服从正态分布，但是因为边缘分布一般不能决定联合分布，故(X，-Y)未必服从正态分布【知识模块】 多维随机变量的分布5 【正确答案】 A【试题解析】 由题
11、设知 X1X2 可取-1，1，且 PX 1X2=-1=PX1=-1，X 2=1+PX1=1，X 2=-1=PX1=-1PX2=1+PX1=1PX2=-1 又 PX 1=-1，X 1X2=-1=PX1=-1，X 2=1= 所以 X1 与 X1X2 的概率分布为从而 X1 与 X1X2 有相同的分布且相互独立，故应选(A)【知识模块】 多维随机变量的分布6 【正确答案】 D【试题解析】 由题设知(X，Y)的概率密度函数为由于 Pmin(X，Y)0=PX0，Y0=故选(D)因 Pmax(X，Y)0=1-Pmax(X，Y)0=1-PX0，Y0所以选项(A)、(B)、(C)都不正确【知识模块】 多维随机
12、变量的分布7 【正确答案】 D【试题解析】 排除法依题设，由于 X，Y 对称，(A)和(C) 会同时成立，故应排除或利用计算，随机变量 X 和 Y 的联合概率密度为当Xr 时，显然 fX(x)=0；当xr 时，有因此，X 和 Y 都不服从均匀分布，即可排除(A)和(C) 而由熟知的事实知二均匀分布随机变量之和也不服从均匀分布，可见(B)也不成立，故应选(D)【知识模块】 多维随机变量的分布二、填空题8 【正确答案】 【试题解析】 显然 Z 也是离散型随机变量，只取 0，1 两个值，且 PZ=0=Pmax(X，Y)=0=PX=0 ，Y=0=PX=0PY=0= PZ=1=1-PZ=0= 于是 Z的
13、分布律为【知识模块】 多维随机变量的分布9 【正确答案】 【试题解析】 Z=X+Y的可能取值为-2，-1 ，0，1，2由于 PZ=-2=PX+Y=-2=PX=1，Y=-3=PX=1PY=-3 类似地，PZ=-1=PX+Y=-1=PX=1，Y=-2+PX=2，Y=-3 PZ=0=PX+Y=0 =PX=1，Y=-1+PX=2，Y=-2+PX=3， Y=-3 PZ=1=PX=2PY=-1+PX=3PY=-2【知识模块】 多维随机变量的分布10 【正确答案】 【试题解析】 根据乘法公式 PX=i，Y=j=PX=iPY=jX=i，i，j=1，2，3，4，容易写出(X，Y)的联合概率分布为【知识模块】 多
14、维随机变量的分布11 【正确答案】 【试题解析】 分布函数 F(x)是 F(x，y)的边缘分布函数： F(x)=F(x，+)=F(x，1) ，因此【知识模块】 多维随机变量的分布12 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 多维随机变量的分布三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 由于(X，Y)是二维离散随机变量，故由边缘分布及相互独立可求得联合分布；应用解题一般模式，即可求得 Z 及(X，Z)的分布，进而判断 X、Z 是否独立由题设知 ，则 Z、(X ，Z)的分布为 由此可知 Z 服从参数 P=的 0-1 分布；(X ，Z) 的联合概率分布为 因PX=i，Z=
15、j= =PX=iPZ=j(i，j=0 ，1) ，故 X 与 Z 独立【知识模块】 多维随机变量的分布14 【正确答案】 () 依题意 PY=-1= ，XN(0，1)且 X 与 Y 相互独立，于是 Z=XY 的分布函数为 FZ(z)=PXYz=PY=-1PXYzY=-1+PY=1PXYzY=1 =PY=-1P-XzY=-1+P=1PXz Y=1 =PY=-1PX-z+PY=1PXz 即 Z=XY 服从标准正态分布，其概率密度为 ()由于 V=X-Y只取非负值，因此当 v0 时，其分布函数 FV(v)=PX-Yv=0；当 v0 时， F V(v)=P-vX-Yv =PY=-1P-vX-YvY=-1
16、 +PyY=1P-vX-YvY=1由于 FV(v)是连续函数，且除个别点外，导数存在，因此 V 的概率密度为【试题解析】 由于 Y 为离散型随机变量，X 与 Y 独立，因此应用全概率公式可得分布函数，进而求得概率密度【知识模块】 多维随机变量的分布15 【正确答案】 由题意知 ZB(n，p)，其中 p=PX2= ，即ZB(n，e -2)，又 X 与 Y 独立，故 Y 与 Z 独立，Z 为离散型随机变量，应用全概率公式可以求得 Y=Y+Z 的分布函数 FT(t)事实上，由于 所以，根据全概率公式可得其中p=e-2， tR 【知识模块】 多维随机变量的分布16 【正确答案】 () 根据全概率公式有
17、()FV(v)=PVv=PXYv= =mPXYvX=m【知识模块】 多维随机变量的分布17 【正确答案】 首先我们需要求出 T、S 与各辆车加油时间 Xi(i=1，2，3)之间的关系假设第 i 辆车加油时间为 Xi(i=1，2，3)，则 Xi 独立同分布，且概率密度都为 依题意，第三辆车 C 在加油站等待加油时间 T=min(X1，X 2)，度过时间=等待时间+加油时间，即 S=T+X3=min(X1，X 2)+X3()由于 T=min(X1，X 2)，其中 X1 与 X2 独立，所以 T的分布函数 FT(t)=Pmin(X1，X 2)t=1-Pmin(X1，X 2)t=1-PX 1tPX 2
18、t()S=T+X 3=min(X1，X 2)+X3，T 与 X3 独立且已知其概率密度，由卷积公式求得S 的概率密度为【知识模块】 多维随机变量的分布18 【正确答案】 (X，Y) 是二维离散型随机变量，其全部可能取值为(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1) (I)有放回抽取，由于 X 与 Y 相互独立，则 PX=i，Y=i=PX=iPY=i，i，j=0 ，1， Px=0，Y=0=PX=0PY=0=0 4 2=016， PX=0，Y=1=1=PX=0PY=1=0 4.06=024， PX=1，Y=0=PX=1PY=0=06.0 4=024， PX=1，Y=1=PX=1PY=1=06 2
19、=036 ( )不放回抽取，PZ=i ， Y=j=PX=iPY=jX=i，i，j=0，1，PX=0，Y=0=PX=0PY=0X=0= PX=0，Y=1=PX=0PY=1 X=0= PX=1，Y=0=PX=1PY=0X=1= PX=1，Y=1=PX=1PY=1X=1= ()有放回 ()不放回 由此可见，无论是有放回还是不放回抽取其边缘分布律 X，Y 都相同且都服从参数为 06 的 01 分布，且当有放回抽取时 X 与Y 独立；无放回抽取时 X 与 Y 不独立【知识模块】 多维随机变量的分布19 【正确答案】 () 由联合分布性质，有 01+a+02+6+02+01+c=1，即 a+b+c=04
20、由 EXY=-01-2a-06+02+3e=-01 3c-2a=04 由 PX0Y2= 3a-5c=-07 联立，解方程组 得 a=01，b=0，1，c=02()由(X， Y)的联合分布 及 Z=X+Y，可知 Z的取值为 0，1，2，3，4由于 PZ=0=PX=-1，Y=1=01， PZ=1=PX=0，Y=1+PX=-1，Y=2=01+01=0 2， PZ=2=PX=0，Y=2+PX=-1，Y=3+PX=1，Y=1 =02+02=0 4， PZ=3=PX=0，Y=3+PX=1，Y=2=0 1， PZ=4=PX=1，Y=3=02，从而得 X 的概率分布为()由 X，Y 的边缘分布可知 PZ=Y=
21、PX+Y=Y=PX=0=03， PZ=X=PX+Y=X=PY=0= =0【知识模块】 多维随机变量的分布20 【正确答案】 ()(U ， V)是二维离散型随机变量，只取 (0，0)，(1 ，0)，(1，1)各值，且 PU=0，V=0=PXY ，X2Y=PXY= PU=1，V=0=PXY，X2Y=PYX2Y= PU=1，V=1=PXY，X 2Y=PX2Y=于是(X，Y)的联合分布为 ()从()中分布表看出【知识模块】 多维随机变量的分布21 【正确答案】 依题意，由于 f(x，y)fX(x)fY(y)，所以 X 与 Y 不独立【知识模块】 多维随机变量的分布22 【正确答案】 () 易见，当 x
22、 (0，1) 时 f(x)=0；对于 0x1，有()事件“X 大于 Y”的概率()条件概率【知识模块】 多维随机变量的分布23 【正确答案】 从图 32 可知，区域 D 是以(-1，0)，(0，1)，(1，0)，(0，-1)为顶点的正方形区域，其边长为 ，面积 SD=2，因此(X ，Y)的联合密度是【知识模块】 多维随机变量的分布24 【正确答案】 应用矩阵法求解，由题设得由此即得：( )Z=X-Y 的概率分布 ()(U1，V 1)的概率分布为 ()(U 2，V 2)的概率分布为 U2V2 的概率分布为【知识模块】 多维随机变量的分布25 【正确答案】 由于 X 与 Y 相互独立且密度函数已知
23、，因此我们可以用两种方法：分布函数法与公式法求出 U、V 的概率密度()分布函数法由题设知(X，Y) 联合概率密度 所以 U=xY 的分布函数为(如图 33) 当 u0 时，F U(u)=0；当 u1时，F U(u)=1；当 0u1 时，()分布函数法由题设知 所以 V=X-Y的分布函数 FV(v)=PX-Yv当 v0 时，F V(v)=0；当 v0 时， F V(v)=PX-Yv=P-vX-Yv 由图 34 知，当 vl 时，F V(v)=1；当0v1 时， 其中 D=(x，y)：0x1，0y1，x-y v综上得【知识模块】 多维随机变量的分布26 【正确答案】 () 由 得 k1=1；又由得 k2=2因此(X 2，Y 1)与(X 2，Y 2)的概率密度分别为【试题解析】 (X i，Y i)是二维连续型随机变量，在确定其联合概率密度中的未知参数时，应首先考虑用概率密度的性质【知识模块】 多维随机变量的分布
