1、考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编 18 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (2008 年) 设函数 f 连续，若 F(u，v)= 其中区域 Duv 为图中阴影部分，则 =( )2 (2012 年) 设函数 f(t)连续，则二次积分 =( )3 (2015 年) 设 D=(x，y)|x 2+y22x，x 2+y22y，函数 f(x，y)在 D 上连续，则=( )4 (2007 年) 设函数 f(x，y)连续，则二次积分 等于( )5 (2013 年) 设 Dk 是圆域 D=(x，y)|x 2+y21)位于第 k 象限的部分，记 Ik=(k=1，2，
2、3，4) ，则( )（A）I 10。（B） I20。（C） I30。（D）I 40。6 (2003 年) 设 n=1，2，则下列命题正确的是( )7 (2004 年) 设有以下命题： 则以上命题中正确的是( )（A） 。（B） 。（C） 。（D） 。8 (2005 年) 设 an0，n=1，2，若 收敛，则下列结论正确的是( )9 (2006 年) 若级数 收敛，则级数( )10 (2011 年) 设 un是数列，则下列命题正确的是( )11 (2012 年) 已知级数 条件收敛，则( )12 (2013 年) 设 an为正项数列，下列选项正确的是( )13 (2015 年) 下列级数中发散的
3、是( )14 (2016 年) 级数 sin(n+k)(k 为常数)( )（A）绝对收敛。（B）条件收敛。（C）发散。（D）收敛性与 k 有关。15 (2017 年) 设函数 收敛，则 k=( )（A）1。（B） 2。（C）一 1。（D）一 2。16 (2002 年) 设幂级数 的收敛半径分别为 的收敛半径为( )二、填空题17 (2002 年) 交换积分次序 =_。18 (2014 年) 二次积分 =_。19 (2008 年) 设 D=(x，y)|x 2+y21，则 =_。20 (2016 年) 设 D=(x，y)|x|y1，一 1x1，则 =_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算
4、步骤。21 (2008 年) 计算 maxxy，1dxdy，其中 D=(x，y)|0x2，0y2。22 (2012 年) 计算二重积分 其中 D 是以曲线 y= 及 y 轴为边界的无界区域。23 (2013 年) 设平面区域 D 由直线 x=3y，y=3x 及 x+y=8 围成，计算24 (2015 年) 计算二重积分 ，其中 D=(x，y)|x 2+y22，yx 2。25 (2017 年) 计算积分 其中 D 是第一象限中以曲线 y= 与 x轴为边界的无界区域。26 (1998 年) 设 D=(x，y)|x 2+y2x，求27 (2000 年) 计算二重积分 其中 D 是由曲线(a0)和直线
5、 y=一 x 围成的区域。28 (2003 年) 计算二重积分 其中积分区域 D=(x，y)|x2+y2。29 (2004 年) 求 其中 D 是由圆 x2+y2=4 和(x+1) 2+y2=1 所围成的平面区域(如图)。30 (2005 年) 计算二重积分 |x2+y2 一 1|d，其中 D=(x，y)|0x1，0y1。31 (2009 年) 计算二重积分 其中 D=(x，y)|(x 一 1)2+(y 一 1)22，yx。32 (2011 年) 设函数 f(x)在区间 0，1有连续导数，f(0)=1，且Dt=(x，y)|0yt-x ，0xt)(0t1)，求 f(x)的表达式。33 (2001
6、 年) 求二重积分 的值，其中 D 是由直线 y=x，y=一 1及 x=1 围成的平面区域。34 (2007 年) 设二元函数 计算二重积分其中 D=(x，y)|x|+|y|2。35 (2014 年) 设平面区域 D=(x，y)|1x 2+y24，x0，y0 ，计算考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编 18 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 用极坐标求积分得【知识模块】 微积分2 【正确答案】 B【试题解析】 因为曲线 r=2 在直角坐标系中的方程为 x2+y2=4，而 r=2cos 在直角坐标中的方程为 x2+y2=2x
7、 或(x 一 1)2+y2=1。故积分区域 D 的图形如图所示，则原式=【知识模块】 微积分3 【正确答案】 B【试题解析】 题中给出的积分区域是两个圆相交的区域，如下图所示，根据积分区域图象特点，若采用极坐标，则需要分为两部分进行计算。下半部分， 的取值范围为 0 r 的取值范围为 0r2sin；上半部分， 的取值范围为 ，r 的取值范围为 0r2cos，所以故应选择 B。 再分析直角坐标系下计算该二重积分，先对 y 积分，则所以 C，D 两项均不正确。【知识模块】 微积分4 【正确答案】 B【试题解析】 由题设可知，则 0y1， 一 arcsinyx，故应选 B。【知识模块】 微积分5 【
8、正确答案】 B【试题解析】 令 x=rcos，y=rsin ，则有同理可以计算出 I3=0， 故选 B。【知识模块】 微积分6 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 微积分7 【正确答案】 B【试题解析】 错误，如令 un=(一 1)n，显然， 收敛。正确，改变、增加或减少级数的有限项，不改变级数的收敛性。故选 B。【知识模块】 微积分8 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 微积分9 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 微积分10 【正确答案】 A【试题解析】 级数 两两加括号之后得到的，由于收敛的级数任意加括号之后仍收敛，所以由 收敛。所以 A正确。上述命题的逆命题并不
9、成立，所以选项 B 不正确，反例：u n=(一 1)n。级数的收敛性没有关系，所以选项 C 和 D 都不正确。反例：和 un=1。【知识模块】 微积分11 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 微积分12 【正确答案】 D【试题解析】 选项 A：交错级数 敛散性用莱布尼兹判别法： (1)anan+1；(2) 不一定满足第二个条件，因此不能判断是否收敛。选项 B：莱布尼茨判别法是交错级数收敛的充分条件，但不是必要条件。【知识模块】 微积分13 【正确答案】 C【试题解析】 对于 A 选项，用根值判别法 所以 A 项收敛。【知识模块】 微积分14 【正确答案】 A【试题解析】 由于是收敛的，
10、所以原级数绝对收敛。【知识模块】 微积分15 【正确答案】 C【试题解析】 又收敛，故有 k+1=0，即 k=一 1，故选 C。【知识模块】 微积分16 【正确答案】 A【试题解析】 由题设，有故幂级数 的收敛半径为 5。故答案选 A。【知识模块】 微积分二、填空题17 【正确答案】 【试题解析】 积分区域 D=D1+D2 其中 于是 D 也可以表示为【知识模块】 微积分18 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分19 【正确答案】 【试题解析】 区域 D 关于 x 轴对称，而函数 y 是变量 y 的奇函数，所以【知识模块】 微积分20 【正确答案】 【试题解析】 设第一象限的区域为
11、 D1，则【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 【正确答案】 曲线 xy=1 将区域分成两个区域 D1 和 D2+D3，为了便于计算，继续对区域分割，则【知识模块】 微积分22 【正确答案】 积分区域 D 的图象如图所示，有【知识模块】 微积分23 【正确答案】 根据已知条件，y=3x 与 x+y=8 的交点为 (2，6) 与 x+y=8的交点为(6 ，2)(如图所示) 。【知识模块】 微积分24 【正确答案】 先做出积分区域(如图)。 由于积分区域关于 y 轴对称，所以由对称性可知【知识模块】 微积分25 【正确答案】 积分区域如图所示，选用直角坐标计算
12、该积分，先对 y 积分，后对 x 积分得【知识模块】 微积分26 【正确答案】 D=(x ，y)|x 2+y2x表示圆心为 半径为 的圆及其内部，画出区域 D，如右图。令 则x=1 一 t2，dx=一 2tdt，t： 10 所以上式=2 10(1 一 t2)t.(一 2t)dt=401t2(1 一 t2)dt=【知识模块】 微积分27 【正确答案】 画出积分区域 D。由被积函数的形式以及积分区域形状，采用极坐标更为方便。将曲线 化为 x2+(y+a)2=a2(ya)，极坐标方程为 r=一 2asin(-0)。D 区域是由曲线 (a0)和直线 y=一 x 围成的区域，于是 0，极半径 0r一 2
13、asin，则令 r=2asint，有 r=0 时 t=0；r=一2asin 时，t=一 。【知识模块】 微积分28 【正确答案】 作极坐标变换：x=rcos，y=rsin，则有令 t=r2，则 I=e0e-tsintdt，记 A=0e-tsintdt，则 A=一 0sintde-t=一e -tsint|0一 0e-tcostdt =一 0costde-t=一e -tcost|0+0e-tsintdt =e-+1A。【知识模块】 微积分29 【正确答案】 令 D1=(x，y)|x 2+y24，D 2=(x，y)|(x+1) 2+y21，由对称性，=0。则【知识模块】 微积分30 【正确答案】 记
14、 D1=(x，y)|x 2+y21，(x，y)D， D 2=(x，y)|x2+y21，(x，y)D。【知识模块】 微积分31 【正确答案】 本题所示的积分区域是 D=(x，y)|(x 一 1)2+(y 一 1)22，yx。由(x 一 1)2+(y 一 1)22，得 r2(sin+cos)，【知识模块】 微积分32 【正确答案】 根据已知，题中所示区域如图所示。因为即(t 一 2)f(t)+2f(t)=0，转化为求解微分方程(t 一 2)y+2y=0，y| t=0=1。分离变量并两边同时积分可得 lny=一 2ln(t 一 2)+lnC，即 将初值条件代入可得C=4，即 y=f(t)=【知识模块】 微积分33 【正确答案】 积分区域如图所示。该积分区域本身不具备对称性，但如果插入直线 y=一 x 将其分为两个区域，则这两个区域都关于坐标轴对称，划分之后的区域如右图所示： 将 y=一 x 上方和下方的区域分别记为D1，D 2，则 D1 关于 x 轴对称，D 2 关于 y 轴对称。【知识模块】 微积分34 【正确答案】 积分区域如图所示 因为被积函数关于 x，y 均为偶函数，且积分区域关于 x，y 轴均对称，所以 其中D1 为 D 在第一象限内的部分。【知识模块】 微积分35 【正确答案】 D 关于 y=x 对称，满足轮换对称性，则【知识模块】 微积分
