1、考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编 20 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (1987 年) 下列函数在其定义域内连续的是( )2 (2010 年) 若 =1，则 a 等于( )（A）0（B） 1（C） 2（D）33 (1997 年) 若 f(一 x)=f(x)(一 x+) ，在(一，0)内 f(x)0，且 f(x)0，则在(0， +)内有 ( )（A）f(x)0，f(x) 0（B） f(x)0，f(x)0（C） f(x)0，f(x)0（D）f(x)0，f(x) 04 (2007 年) 设函数 f(x)在 x=0 处连续，下列命题错误的是( )5
2、(2018 年) 设某产品的成本函数 C(Q)可导，其中 Q 为产量若产量为 Q0 时平均成本最小，则( )（A）C(Q 0)=0（B） C(Q0)=C(Q0)（C） C(Q0)=Q0C(Q0)（D）Q 0C(Q0)=C(O0)6 (2009 年) 使不等式 成立的 x 的范围是( )（A）(0 ，1)（B）（C）（D）(，+)7 (2003 年) 设可微函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)取得极小值，则下列结论正确的是( )（A）f(x 0，y)在 y=y0 处导数等于零（B） f(x0，y)在 y=y0 处导数大于零（C） f(x0，y)在 y=y0 处导数小于零（D）f(x 0，y)
3、在 y=y0 处的导数不存在8 (2013 年) 设 an为正项数列，下列选项正确的是( )二、填空题9 (2005 年) 极限 =_10 (1998 年) 设曲线 f(x)=xn 在点(1，1)处的切线与 x 轴的交点为( n，0)，则=_11 (2017 年) 设生产某产品的平均成本 ，其中 Q 为产量，则边际成本为_12 (2004 年) 设 则 =_13 (1992 年) 交换积分次序 =_14 (2012 年) 设连续函数 z=f(x，y)满足 则dz (0， 1)=_15 (2017 年) 差分方程 yt+12yt=2t 的通解为 yt=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演
4、算步骤。16 (2011 年) 求极限17 (1996 年) 设 其中 g(x)有二阶连续导数，且 g(0)=1，g(0)= 一 1 1)求 f(x)； 2)讨论 f(x)在(一 ，+)上的连续性18 (2005 年) 求 19 (2016 年) 设某商品的最大需求量为 1200 件，该商品的需求函数 Q=Q(p)，需求弹性 p 为单价(万元)() 求需求函数的表达式；()求p=100 万元时的边际收益，并说明其经济意义20 (1987 年) 设 y=sinx， ，问 t 为何值时，图 24 中阴影部分的面积S1 与 S2 之和 S 最小? 最大 ?21 (1996 年) 计算22 (2005
5、 年) 设 f(x)，g(x)在0，1上的导数连续，且 f(x)=0，f(x)0，g(x)0 证明：对任何 a0， 1，有 0ag(x)f(x)dx+01f(x)g(x)dxf(a)g(1)23 (1990 年) 某公司通过电台及报纸两种方式做销售某种商品的广告，根据统计资料，销售收入 R(万元)与电台广告费用 x1(万元)及报纸广告费用 x2(万元)之间的关系有如下经验公式： R=15+14x 1+32x28x1x22x12 一 1022； 1)在广告费用不限的情况下，求最优广告策略； 2)若提供的广告费用是 15 万元，求相应的最优广告策略24 (2000 年) 计算二重积分和直线y=一
6、x 围成的区域25 (2008 年) 设 z=z(x，y)是由方程 x2+y2 一 z=(x+y+z)所确定的函数，其中 具有2 阶导数，且 一 1( )求 dz；() 记26 (2017 年) 计算积分 其中 D 是第一象限中以曲线与 x 轴为边界的无界区域27 (1990 年) 求级数 的收敛域28 (2016 年) 求幂级数 的收敛域及和函数29 (1998 年) 设函数 f(x)在 1，+)上连续，若由曲线 y=f(x)，直线 x=1，x=t(t1)与 x 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所形成的旋转体体积为试求 f(x)所满足的微分方程，并求该微分方程满足条件 的解考研数学三（微
7、积分）历年真题试卷汇编 20 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 由于 f(x)=lnx+sinx 为初等函数，而初等函数在其定义区间内处处连续，则应选 A2 【正确答案】 C【试题解析】 则 a=23 【正确答案】 C【试题解析】 由 f(一 x)=f(x) (一 x+)知，f(x)的图形关于 y 轴对称由在(一 ，0)内 f(x)0 且 f(x)0 知，f(x)的图形在(一，0)内单调上升且是凸的；由对称性知，在(0，+) 内f(x)的图形单调下降，且是凸的，则 C 为正确选项4 【正确答案】 D【试题解析】 由=f(0
8、)，所以，命题(A) 和(C)是正确的；由则 f(0)=0，所以，命题 (B)也是正确的事实上，命题 (D)是错误的例如，令 f(x)=x，显然 但 f(x)=x在x=0 处不可导，即 f(x)不存在故应选 D5 【正确答案】 D【试题解析】 即 O0C(Q0)=C(Q0)=0，故Q0C(Q0)=C(Q0)，选 D6 【正确答案】 A【试题解析】 7 【正确答案】 A【试题解析】 由于 f(x，y) 在(x 0，y 0)取得极小值，则 f(x0，y)在 y=y0 取得极小值又，f(x， y)在(x 0，y 0)点处 可微，则 fy(x0，y 0)存在，从而有 fy(x0，y 0)=0，即f(x
9、0，y)在 y=y0 处的导数为零，故应选 A8 【正确答案】 D【试题解析】 直接法若存在常数 p1，使 由于收敛，故应选 D二、填空题9 【正确答案】 应填 2【试题解析】 由于当 x时，10 【正确答案】 应填【试题解析】 设 f(x)在点(1 ，1)处的切线为 y=ax+b则11 【正确答案】 应填 1+(1 一 Q)eQ 【试题解析】 则 C(Q)=Q(1+e Q )边际成本为=(1+eQ )一 QeQ =1+(1 一 Q)eQ12 【正确答案】 应填【试题解析】 令 x 一 1=t，则13 【正确答案】 应填 01dx0x2f(x，y)dy+【试题解析】 由原题可知积分域如图 21
10、1 所示， 则14 【正确答案】 应填 2dxdy【试题解析】 由于又 z=f(x，y)连续，则 f(0，1)0+12=0 即 f(0，1)=1 则即当 x0，y1 时由微分的定义知f(x，y)在点(0，1)处可微，且 fx(0，1)=2，f y(0，1)= 一 1 故 dz (0，1) =2dx 一 dy15 【正确答案】 应填 C2t+t2t1 【试题解析】 齐次方程 yt+1 一 2yt=0 的通解为 y t=C2t 设非齐次方程 yt+1 一 2yt=2t 的特解为 y t*=at2t 代入原方程得 a(t+1)2 t+1 一 2at2t=2t 原方程通解为 y t=C2t+t2t=C
11、2t+t2t1三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 17 【正确答案】 (1)当 x0 时，有当x=0 时，由导数定义，有所以 (2)因为在 x=0 处而 f(x)在 x0 处是连续函数所以 f(x)在(一 ，+)上为连续函数18 【正确答案】 19 【正确答案】 () 由题设 所以可得 lnQ=ln(120 一 P)+InC，即 Q=C(120 一 p)又最大需求量为 1200，故 C=10，所以需求函数 Q=120010p() 由()知，收益函数当 P=100 时，Q=200，故当 P=100 万元时的边际收益 R(200)=80，其经济意义为：销售第 20
12、1 件商品所得的收益为 80 万元20 【正确答案】 时，S 取最小值；当 t=0 时，S 取最大值21 【正确答案】 22 【正确答案】 设 F(x)= 0xg(t)f(t)dt+01f(t)g(t)dt 一 f(x)g(1)，x0，1 则 F(x)在0，1上的导数连续，并且 F(x)=g(x)f(x) 一 f(x)g(1)=f(x)g(x)一 g(1) 由于x0，1时，f(x)0，g(0)0，因此 F(x)0，即 F(x)在0，1上单调递减. 注意到 F(1)=01g(t)f(t)dt+01f(t)g(t)dt 一 f(1)g(1) 而 01g(t)f(t)dt=01g(t)df(t) =
13、g(t)f(t) 01 01f(t)g(t)dt =f(1)g(1)一 01f(t)g(t)dt 故 F(1)=0 因此 x0，1时，F(x)0，由此可得对任何 a0，1有 0ag(x)f(x)dx+01f(x)g(x)dxf(a)g(1)dx23 【正确答案】 (1)利润函数 L(x 1，x 2)=15+14x1+32x28x1x22x1210x22 一(x1+x2)根据问题本身最大值是存在的，则必在 x1=075，x 2=125 取最大值 (2)解 1 将x2=1 5x 1 代入 L(x1，x 2)中，得 L(x 1)=394x12 令 L(x1)=一 8x1=0，得x1=0， x2=1
14、50=1524 【正确答案】 先画积分域草图(图 213)由于本题不论从被积函数，还是从积分域看都适合用极坐标25 【正确答案】 () 设 f(x，y，z)=x 2+y2 一 z 一 (x+y+z)，F x=2x 一 ，F y=2y 一， Fz=一 1，26 【正确答案】 27 【正确答案】 因此，为一 1x 一 11，即 2x4 时级数收敛当 x=2 时，原级数为收敛从而可知原级数收敛域为2， 428 【正确答案】 因为 所以当x1 时，幂级数绝对收敛；当x1 时，幂级数发散 又当 x=1 时，级数收敛，所以幂级数的收敛域为一 1，1因为 f(0)=0，f(0)=0 ，所以当 x(一 1，1)时，f(x)= 0xf(t)dt=0xln(1+t)dt0xln(1 一 t)dt=(1+x)ln(1+x)+(1 一 x)ln(1 一 x)又29 【正确答案】 V(t)= 1tf2(x)dx= 即 3 1tf2(x)dx=t2f(t)一 f(1)两边对 t 求导得 3f2(t)=2tf(t)+t2f(t)将上式改写为 x2y=3y2 一 2xy从而有 yx=cx3y 由已知条件求得 c=一 1，从而所求的解为 yx=一 x3y
