1、考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编 26 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (2000 年) 设对任意的 x，总有 (x)f(x)g(x)，且( )（A）存在且等于零（B）存在但不一定为零（C）一定不存在（D）不一定存在2 (2014 年) 设 p(x)=a+bx+cx2+dx3当 x0 时，若 p(x)一 tanx 是比 x 高阶的无穷小，则下列结论中错误的是( )（A）a=0（B） b=1（C） c=0（D）3 (2004 年) 设 f(x)=x(1 一 x)，则( )（A）x=0 是 f(x)的极值点，但(0，0)不是曲线 y=f(x)的拐点
2、（B） x=0 不是 f(x)的极值点，但 (0，0)是曲线 y=f(x)的拐点（C） x=0 是 f(x)的极值点，且 (0，0)是曲线 y=f(x)的拐点（D）x=0 不是 f(x)的极值点，(0，0)也不是曲线 y=f(x)的拐点4 (2012 年) 设函数 f(x)=(ex 一 1)(e2x2)(enx 一 n)，其中 n 为正整数，则 f(0)=( )（A）(一 1)n1 (n 一 1)!（B） (一 1)n(n 一 1)!（C） (一 1)n1 n!（D）(一 1)nn!5 (1995 年) 下列广义积分发散的是( )6 (2012 年) 设函数 f(t)连续，则二次积分 =( )
3、7 (2002 年) 设幂级数的收敛半径为( )二、填空题8 (2015 年) =_.9 (1993 年) 已知 =_10 (2010 年) 设某商品的收益函数为 R(p)，收益弹性为 1+p2，其中 p 为价格，且R(1)=1，则 R(p)=_11 (1994 年) =_12 (2013 年) =_13 (2004 年) 函数 f(u，v)由关系式 fxg(y)，y=x+g(y)确定，其中函数 g(y)可微，且g(y)0，则 =_14 (2017 年) 设函数 f(x，y)具有一阶连续偏导数，且 df(x，y)=ye ydx+x(1+y)eydy，f(0，0)=0，则 f(x，y)=_ 15
4、 (1993 年) 级数 的和为_16 (1998 年) 差分方程 2yt+1+10yt 一 5t=0 的通解为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 (2018 年) 已知实数 a，b 满足 ，求 a，b18 (1991 年) 试证明函数 在区间(0，+)内单调增加19 (1999 年) 设函数 f(x)在区间 0，1上连续，在(0，1)内可导，f(0)=f(1)=0 ，试证(1)存在 ，使 f()=(2) 对任意实数 ，必存在(0， )，使得 f()=f()一 =120 (2010 年) 设函数 f(x)在 0，3上连续，在(0，3)内存在二阶导数，且 2f(0)=02f
5、(x)dx=f(2)+f(3) () 证明存在 (0，2)，使 f()=f(0)； ()证明存在 (0，3)，使f()=021 (1992 年) 计算22 (2001 年) 已知抛物线 y=px2+qx(其中 p0，q0)在第一象限内与直线 x+y=5 相切，且抛物线与 x 轴所围成的平面图形的面积为 S(1) 问 p 和 q 为何值时，S 达到最大值?(2)求出此最大值23 (2013 年) 设 D 是由曲线 ，直线 x=a(a0)及 x 轴所围成的平面图形，Vx，V y 分别是 D 绕 x 轴，y 轴旋转一周所得旋转体的体积若 Vy=10Vx，求 a 的值24 (1994 年) 已知25
6、(2003 年) 计算二重积分 e(x2+y2 x) sin(x2+y2)dzdy其中积分区域D=(x，y) x 2+y226 (2011 年) 已知函数 f(u， v)具有二阶连续偏导数， f(1，1)=2 是 f(u，v)的极值，z=f(x+y，f(x，y)求27 (2003 年) 求幂级数 的和函数 f(x)及其极值28 (1991 年) 求微分方程 =x2+y2 满足条件 y x=e=2e 的特解29 (2012 年) 已知函数 f(x)满足方程 f(x)+f(x)一 2f(x)=0 及 f(x)+f(x)=2ex ()求f(x)的表达式； ()求曲线 y=f(x2)0x(一 t2)出
7、的拐点考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编 26 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 排除法令 显然 (x)f(x)g(x)且 此时 ，故 A 和C 都不正确，实际上显然 (x)、f(x)和 g(x)均满足条件，但 ，故 D 为正确答案2 【正确答案】 D【试题解析】 由 x0 时， 知，tanx 的泰勒公式为则a=0，b=1，c=0， 故应选 D3 【正确答案】 C【试题解析】 由 f(x)=x(1 一 x)知，f(0)=0，而当 x0，或 0x1 时，f(x)0，由极值的定义知 f(x)在 x=0 处取极小值又则当 x0
8、 时，f(x)=20；当 0x1时f(x)=一 20，则(0，0) 是曲线 y=f(x)的拐点?故应选 C4 【正确答案】 A【试题解析】 记 g(x)=(e2x 一 2)(e3x 一 3)(enx 一 n)，则 f(x)=(e x1)g(x) f(x)=e xg(x)+(ex 一 1)g(x) 则 f(0)=g(0)=(一 1)(一 2)(一 n 一 1)=(一 1)n1 (n 一 1)! 故应选 A5 【正确答案】 A【试题解析】 由于 发散6 【正确答案】 B【试题解析】 方程 r=2cos 两端同乘 r r 2=2rcos 即 x 2+y2=2x 又 r=2，即x2+y2=4 则积分域
9、 D 是由圆 x2+y2=2x，x 2+y2=4 和 y 轴围成的区域，如图所示，则故应选 B7 【正确答案】 A【试题解析】 本题在大纲所要求的内容范围之内求解需附加条件：均存在，否则无法求解根据以上分析，需假设均存在，在此假设之下所以，应选 A二、填空题8 【正确答案】 应填【试题解析】 9 【正确答案】 应填【试题解析】 10 【正确答案】 应填【试题解析】 11 【正确答案】 应填 ln3【试题解析】 12 【正确答案】 应填(1n2)【试题解析】 13 【正确答案】 应填【试题解析】 令 xg(y)=u，y=v，则14 【正确答案】 应填 xyey【试题解析】 凑微分法 df(x，y
10、)=ye ydx+x(1+y)eydy =(yey)dx+xd(yey)=d(xyey) 则 f(x，y)=xye y+C 由 f(0 ，0)=0 知 C=0 f(x，y)=xye y15 【正确答案】 应填【试题解析】 16 【正确答案】 应填【试题解析】 将原差分方程改写成标准形式：y t+1+ayt=b1t+b0三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 【正确答案】 从而由题设得 b=118 【正确答案】 令只要证明 g(x)0，x(0，+)以下有两种方法证明 g(x)0，一种是利用单调性，由于 故函数 g(x)在(0，+) 上单调减，又 由此可见 g(x)0 x(0 ，+
11、)另一种是利用拉格朗日中值定理，因为从而对一切的 x(0，+)有 故函数 f(x)在(0， +)上单调增加19 【正确答案】 (1)令 (x)=f(x)一 x，则 (x)在0， 1上连续又 (1)=一 10，由介值定理可知，存在 使得 ()=f()一 =0 即 f()= (2)要证 f()一 f()一 =1，即要证 f()一 1一 f()一 =0 也就是要证 ()一 ()=0，因此构造辅助函数 F(x)=e x (x)=ex f(x)一 x则 F(x)在0，上满足罗尔定理的条件，故存在 (0，)使得 F()=0即 e ()一 ()=0 而 e 0，从而有 ()一 ()=0 即 f()一 f()
12、一 =120 【正确答案】 () 设 F(x)=0xf(t)dt(0x2)则 02f(x)dx=F(2)一 F(0)根据拉格朗日中值定理，存在 (0，2)，使 F(2)一 F(0)=2F()=2f()，即 02f(x)dx=2f() 由题设知 02f(x)dx=2f(0)，故 f()=f(0)() 介于 f(x)在2，3上的最小值与最大值之间，根据连续函数的介值定理，存在 2，3，使由题设知 ，故 f()=f(0) 由于 f(0)=f()=f()，且 03，根据罗尔定理，存在 1(0，)， 2(，)，使 f(1)=0，f( 2)=0，从而存在 (1， 2) (0，3)，使得 f()=021 【
13、正确答案】 22 【正确答案】 依题意，抛物线如图 27 所示 求得它与 x 轴交点的横坐标为：因直线 z+y=5 与抛物线 y=px2+qx 相切，故它们有唯一公共点由方程组得 px 2+(q+1)x 一 5=0其判别式必等于零即 =(q+1)2+20p=0将 p 代入(*)式得得驻点q=3当 0q 3 时，S(q)0；当 q3 时，S(q) 0于是当 q=3 时，S(q) 取极大值，即最大值此时23 【正确答案】 24 【正确答案】 25 【正确答案】 由极坐标变换知令 f=r2，则 I=e 0et sintdt 利用分部积分法不难求得26 【正确答案】 =f1(x+y，f(x，y)+f
14、2(x+y，f(x ，y).f1(x，y) =f11(x+y，f(x，y)+f 12(x+y，f(x，y).f 2(x，y)+f 12(x，y).f2(x+y，f(x，y)+ (1 ，y)f 21(x+y，f(x，y)+f 22(x+y)，f(x，y).f 2(x，y)由题意知 f1(1，1)=0，f 2(1，1)=0，从而 =f11(2，2)+f 2(2，2)f 12(1，1)27 【正确答案】 令 f(x)=0，得x=0，显然经过 x=0 点时 f(x)由正变负，则 f(x)在 x=0 处取极大值28 【正确答案】 原方程两边同除以 xy，得将 代入上式得 y 2=2x2(lnx+C)由条件 y x=e=2e 得 c=1，于是，所求特解为 y2=2x2(lnx+1)29 【正确答案】 () 联立 得 f(x)一 3f(x)=一 2ex，因此 f(x)=e 3dx(j(一 2ex)e 3dxdx+C)=ex+Ce3x 代入 f(x)+f(x)=2ex，得 C=0，所以 f(x)=ex()y=f(x 2)0xf(一 t2)dt=ex20x et2 dt y=2xex20x et2 dt+1 y=2x+2(1+2x2)ex20x et2 dt 当 x0 时，y0；当 x0 时，y 0，又 y(0)=0，所以曲线的拐点为(0，0)
