1、考研数学三（微积分）模拟试卷 101 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 下列函数 f(x)中其原函数及定积分 -11f(x)dx 都存在的是（A）（B）（C）（D）2 积分 aa+2cosxln(2+cosx)dx 的值（A）与 a 有关（B）是与 a 无关的负数（C）是与 a 无关的正数（D）为零3 设 F(x)=f(x)，则（A）当 f(x)为奇函数时， F(x)一定是偶函数（B）当 f(x)为偶函数时，F(x)一定是奇函数（C）当 f(x)是以 T 为周期的函数时， F(x)一定也是以 T 为周期的函数（D）当 f(x)是以 T 为周期的函数时
2、， F(x)一定不是以 T 为周期的函数4 设 f(x)在( 一，+)上连续，则下列命题正确的是（A）若 f(x)为偶函数，则 -aaf(x)dx0（B） 若 f(x)为奇函数，则 -aaf(x)dx20af(x)dx（C）若 f(x)为非奇非偶函数，则 -aaf(x)dx0（D）若 f(x)为以 T 为周期的周期函数，且是奇函数，则 F(x)=0xf()dt 是以 T 为周期的周期函数5 设 则（A）f(x)=f(x+)（B） f(x)f(x+)（C） f(x)f(x+)（D）当 x0 时，f(x) f(x+)；当 x0 时，f(x) f(x+)6 设常数 则（A）I 1I 2（B） I1I
3、 2（C） I1=I2 （D）I 1 与 I2 的大小与 的取值有关7 下列反常积分中发散的是（A）（B）（C）（D）8 设 则 f(t)在 t=0 处（A）极限不存在（B）极限存在但不连续（C）连续但不可导（D）可导二、填空题9 =_10 =_11 =_12 ex+excosx(cosxsinx)dx=_13 设 f(x)连续，f(x)0，则 =_.14 =_。15 =_.16 =_.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 求下列不定积分：18 求下列定积分：19 已知 是 f(x)的一个原函数，求x 3f(x)dx。20 设 F(x)是 f(x)的一个原函数，且当 x0 时
4、，满足求 f(x)(x0)21 设 且 f(0)=0，求函数 f(x)和 f(lnx)22 设 f(x)=arcsin(x 一 1)2，f(0)=0，求 01f(x)dx.23 设曲线 y=ax2+bx+c 过原点，且当 0x1 时，y0，并与 x 轴所围成的图形的面积为 ，试确定 a、b、 c 的值，使该图形绕 X 轴旋转一周所得的立体体积最小24 求由直线 x=1，x=3 与曲线 y=xlnx 及过该曲线上一点处的切线围成的平面图形的最小面积25 过原点作曲线 y=lnx 的切线，设切点为 x0，且由曲线 y=lnx，直线 y=0，x=x 0 所围平面图形的面积与由曲线 y=x3，直线 y
5、=0，x=a 所围平面图形的面积相等，求 a的值26 设 P(a，b)是曲线 上的点，且 a5(I)求 P 点处的切线方程；()由(I)中的切线与曲线及 x 轴，y 轴所围成图形绕 X 轴旋转，把所得旋转体的体积表示成 a 的函数，并求其最小值考研数学三（微积分）模拟试卷 101 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 像这类题需逐一分析上述四个选项的 f(x)均不连续对于(A)：显然 x=0 是 f(x)的第一类间断点，因此在任意一个不包含点 x=0 在内的区间上，f(x)一定存在原函数因为当 x0 时x=f(x)，因此当 x
6、0 时，f(x)的全体原函数x+c 在 x=0 处不可导，从而在任意一个包含 x=0 在内的区间上，x+c 不是 f(x)的原函数，所以 f(x)在上述区间上不存在原函数但定积分 -11(x)dx 存在，因为 f(x)在上述区间上有界，且只有有限个间断点故(A)不对 对于(B)：显然x=0 是 f(x)的振荡间断点即第二类间断点，但是该 f(x)存在原函数 F(x)=(容易验证，当一x+时 F(x)=f(x)而定积分 -11f(x)dx不存在，因为在 x=0 的邻域内 f(x)无界故(B)不对 对于(C) ：显然 x=0 是 f(x)的无穷间断点即第二类间断点，此 f(x)在包含 x=0 在内
7、的区间上不存在原函数定积分 -11f(x)dx 也不存在故 C 也不对 对于(D) ：显然 z=0 是 f(z)的第二类间断点，容易验证该 f(x)在(一，+) 上存在原函数 F(x)= 定积分 -11f(x)dx 也存在(因为 f(x)在(一 ，+) 上有界，且只有有限个间断点 )故(D) 正确，应选(D)【知识模块】 微积分2 【正确答案】 C【试题解析】 由于被积函数 ln(2+cosz).cosx 是以 2 为周期的偶函数，因此原式=02ln(2+cosx)cosxdx=-ln(2+cosx)cosxdx又因为在0，上，2+cosax0，sin 2x0，因此该积分是与 a 无关的正数故
8、选(C)【知识模块】 微积分3 【正确答案】 A【试题解析】 令 则 f(x)=x2 是偶函数，但 F(x)不是奇函数，故可排除(B)令 F(x)=sinx+x，则 f(x)=cosx+1，f(x)是周期函数，但 F(x)不是周期函数，故可排除(C) 令 F(x)=sinx，则 f(x)=cosx，f(x)和 F(x)都是周期函数，故可排除(D)当 f(x)为奇函数时，F(x)= 0xf(t)dt+C，而故 F(x)是偶函数，应选(A)【知识模块】 微积分4 【正确答案】 D【试题解析】 由于 f(x)=0 既是偶函数又是奇函数，且 aa0dx=0，所以不选(A)，(B)若 f(x)为非奇非偶
9、函数，也可能有 -aaf(x)dx=0例如在(一，+)上为非奇非偶函数，但 -11f(x)dx=一 -103x2dx+01dx=0，因此不选(C)，由排除法应选 (D).事实上，利用“若f(x)为以 T 为周期的周期函数，则 aa+Tf(x)dxa 1 的值与 a 无关”与奇函数的积分性质可得， 有所以 F(x)=0xf(t)dt 是以 T 为周期的周期函数【知识模块】 微积分5 【正确答案】 A【试题解析】 故应选 A【知识模块】 微积分6 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 微积分7 【正确答案】 D【知识模块】 微积分8 【正确答案】 C【试题解析】 故 f(x)在 t=0 处不
10、可导选 C【知识模块】 微积分二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分10 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分11 【正确答案】 xlnlnx+C【试题解析】 【知识模块】 微积分12 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分13 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分14 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分15 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分16 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 【正确答案】 (I)()()()(V) ()由于被积函数是
11、 maxx3，x 2，1，所以首先要对 x 的不同取值范围定出被积函数的表达式；其次，为使求得的原函数处处连续，要对任意常数进行“调整” 求解如下：【知识模块】 微积分18 【正确答案】 (I)()() 利用定积分的分段积分法与推广的牛顿一莱布尼兹公式得()(V)() ()令 x=tant，则 dx=sec2tdt，故()用分部积分法，可在 (0，+)内求得不定积分(IX)【知识模块】 微积分19 【正确答案】 由分部积分得x 3f(x)dx=x3f(x)一 3x2f(x)dx【知识模块】 微积分20 【正确答案】 对等式两边积分，得【知识模块】 微积分21 【正确答案】 令 lnx=t 或
12、x=et，则 上式积分得 由 f(x)在 t=0 处连续，即 d(0+)=f(0-)=f(0)=0，得C1=0，C 2=一 1故所求的函数为【知识模块】 微积分22 【正确答案】 【知识模块】 微积分23 【正确答案】 首先，已知该曲线过原点，因而 c=0又当 0x1 时，y0，可知a0，a+b0于是该曲线在 0x1 上与 x 轴所围面积为该图形绕 x 轴旋转一周所得的立体体积为可知，要使该图形绕 x 轴旋转一周所得立体体积最小，a，b 的值应分别是【知识模块】 微积分24 【正确答案】 设(x 0，y 0)为切点，如图 31，则切线方程为 yy0=(1+lnx0)(x 一x0)由此可知所围图形面积为【知识模块】 微积分25 【正确答案】 曲线 y=lnx 上一点(x 0，lnx 0)的切线方程为由于切线过原点，故有 lnx0=1x 0=e由 y=lnx，x 0=e，y=0所围图形面积【知识模块】 微积分26 【正确答案】 (I)如图 32，P 处切线方程的斜率为 因而 P 处切线方程可表示为()该切线交 x 轴于(10 一 a，0)，所求旋转体体积 V，可用锥体体积减去曲线部分的旋转体体积，即【知识模块】 微积分
