1、考研数学三(微积分)模拟试卷 101 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 下列函数 f(x)中其原函数及定积分 -11f(x)dx 都存在的是(A)(B)(C)(D)2 积分 aa+2cosxln(2+cosx)dx 的值(A)与 a 有关(B)是与 a 无关的负数(C)是与 a 无关的正数(D)为零3 设 F(x)=f(x),则(A)当 f(x)为奇函数时, F(x)一定是偶函数(B)当 f(x)为偶函数时,F(x)一定是奇函数(C)当 f(x)是以 T 为周期的函数时, F(x)一定也是以 T 为周期的函数(D)当 f(x)是以 T 为周期的函数时
2、, F(x)一定不是以 T 为周期的函数4 设 f(x)在( 一,+)上连续,则下列命题正确的是(A)若 f(x)为偶函数,则 -aaf(x)dx0(B) 若 f(x)为奇函数,则 -aaf(x)dx20af(x)dx(C)若 f(x)为非奇非偶函数,则 -aaf(x)dx0(D)若 f(x)为以 T 为周期的周期函数,且是奇函数,则 F(x)=0xf()dt 是以 T 为周期的周期函数5 设 则(A)f(x)=f(x+)(B) f(x)f(x+)(C) f(x)f(x+)(D)当 x0 时,f(x) f(x+);当 x0 时,f(x) f(x+)6 设常数 则(A)I 1I 2(B) I1I
3、 2(C) I1=I2 (D)I 1 与 I2 的大小与 的取值有关7 下列反常积分中发散的是(A)(B)(C)(D)8 设 则 f(t)在 t=0 处(A)极限不存在(B)极限存在但不连续(C)连续但不可导(D)可导二、填空题9 =_10 =_11 =_12 ex+excosx(cosxsinx)dx=_13 设 f(x)连续,f(x)0,则 =_.14 =_。15 =_.16 =_.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 求下列不定积分:18 求下列定积分:19 已知 是 f(x)的一个原函数,求x 3f(x)dx。20 设 F(x)是 f(x)的一个原函数,且当 x0 时
4、,满足求 f(x)(x0)21 设 且 f(0)=0,求函数 f(x)和 f(lnx)22 设 f(x)=arcsin(x 一 1)2,f(0)=0,求 01f(x)dx.23 设曲线 y=ax2+bx+c 过原点,且当 0x1 时,y0,并与 x 轴所围成的图形的面积为 ,试确定 a、b、 c 的值,使该图形绕 X 轴旋转一周所得的立体体积最小24 求由直线 x=1,x=3 与曲线 y=xlnx 及过该曲线上一点处的切线围成的平面图形的最小面积25 过原点作曲线 y=lnx 的切线,设切点为 x0,且由曲线 y=lnx,直线 y=0,x=x 0 所围平面图形的面积与由曲线 y=x3,直线 y
5、=0,x=a 所围平面图形的面积相等,求 a的值26 设 P(a,b)是曲线 上的点,且 a5(I)求 P 点处的切线方程;()由(I)中的切线与曲线及 x 轴,y 轴所围成图形绕 X 轴旋转,把所得旋转体的体积表示成 a 的函数,并求其最小值考研数学三(微积分)模拟试卷 101 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 像这类题需逐一分析上述四个选项的 f(x)均不连续对于(A):显然 x=0 是 f(x)的第一类间断点,因此在任意一个不包含点 x=0 在内的区间上,f(x)一定存在原函数因为当 x0 时x=f(x),因此当 x
6、0 时,f(x)的全体原函数x+c 在 x=0 处不可导,从而在任意一个包含 x=0 在内的区间上,x+c 不是 f(x)的原函数,所以 f(x)在上述区间上不存在原函数但定积分 -11(x)dx 存在,因为 f(x)在上述区间上有界,且只有有限个间断点故(A)不对 对于(B):显然x=0 是 f(x)的振荡间断点即第二类间断点,但是该 f(x)存在原函数 F(x)=(容易验证,当一x+时 F(x)=f(x)而定积分 -11f(x)dx不存在,因为在 x=0 的邻域内 f(x)无界故(B)不对 对于(C) :显然 x=0 是 f(x)的无穷间断点即第二类间断点,此 f(x)在包含 x=0 在内
7、的区间上不存在原函数定积分 -11f(x)dx 也不存在故 C 也不对 对于(D) :显然 z=0 是 f(z)的第二类间断点,容易验证该 f(x)在(一,+) 上存在原函数 F(x)= 定积分 -11f(x)dx 也存在(因为 f(x)在(一 ,+) 上有界,且只有有限个间断点 )故(D) 正确,应选(D)【知识模块】 微积分2 【正确答案】 C【试题解析】 由于被积函数 ln(2+cosz).cosx 是以 2 为周期的偶函数,因此原式=02ln(2+cosx)cosxdx=-ln(2+cosx)cosxdx又因为在0,上,2+cosax0,sin 2x0,因此该积分是与 a 无关的正数故
8、选(C)【知识模块】 微积分3 【正确答案】 A【试题解析】 令 则 f(x)=x2 是偶函数,但 F(x)不是奇函数,故可排除(B)令 F(x)=sinx+x,则 f(x)=cosx+1,f(x)是周期函数,但 F(x)不是周期函数,故可排除(C) 令 F(x)=sinx,则 f(x)=cosx,f(x)和 F(x)都是周期函数,故可排除(D)当 f(x)为奇函数时,F(x)= 0xf(t)dt+C,而故 F(x)是偶函数,应选(A)【知识模块】 微积分4 【正确答案】 D【试题解析】 由于 f(x)=0 既是偶函数又是奇函数,且 aa0dx=0,所以不选(A),(B)若 f(x)为非奇非偶
9、函数,也可能有 -aaf(x)dx=0例如在(一,+)上为非奇非偶函数,但 -11f(x)dx=一 -103x2dx+01dx=0,因此不选(C),由排除法应选 (D).事实上,利用“若f(x)为以 T 为周期的周期函数,则 aa+Tf(x)dxa 1 的值与 a 无关”与奇函数的积分性质可得, 有所以 F(x)=0xf(t)dt 是以 T 为周期的周期函数【知识模块】 微积分5 【正确答案】 A【试题解析】 故应选 A【知识模块】 微积分6 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 微积分7 【正确答案】 D【知识模块】 微积分8 【正确答案】 C【试题解析】 故 f(x)在 t=0 处不
10、可导选 C【知识模块】 微积分二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分10 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分11 【正确答案】 xlnlnx+C【试题解析】 【知识模块】 微积分12 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分13 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分14 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分15 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分16 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 【正确答案】 (I)()()()(V) ()由于被积函数是
11、 maxx3,x 2,1,所以首先要对 x 的不同取值范围定出被积函数的表达式;其次,为使求得的原函数处处连续,要对任意常数进行“调整” 求解如下:【知识模块】 微积分18 【正确答案】 (I)()() 利用定积分的分段积分法与推广的牛顿一莱布尼兹公式得()(V)() ()令 x=tant,则 dx=sec2tdt,故()用分部积分法,可在 (0,+)内求得不定积分(IX)【知识模块】 微积分19 【正确答案】 由分部积分得x 3f(x)dx=x3f(x)一 3x2f(x)dx【知识模块】 微积分20 【正确答案】 对等式两边积分,得【知识模块】 微积分21 【正确答案】 令 lnx=t 或
12、x=et,则 上式积分得 由 f(x)在 t=0 处连续,即 d(0+)=f(0-)=f(0)=0,得C1=0,C 2=一 1故所求的函数为【知识模块】 微积分22 【正确答案】 【知识模块】 微积分23 【正确答案】 首先,已知该曲线过原点,因而 c=0又当 0x1 时,y0,可知a0,a+b0于是该曲线在 0x1 上与 x 轴所围面积为该图形绕 x 轴旋转一周所得的立体体积为可知,要使该图形绕 x 轴旋转一周所得立体体积最小,a,b 的值应分别是【知识模块】 微积分24 【正确答案】 设(x 0,y 0)为切点,如图 31,则切线方程为 yy0=(1+lnx0)(x 一x0)由此可知所围图形面积为【知识模块】 微积分25 【正确答案】 曲线 y=lnx 上一点(x 0,lnx 0)的切线方程为由于切线过原点,故有 lnx0=1x 0=e由 y=lnx,x 0=e,y=0所围图形面积【知识模块】 微积分26 【正确答案】 (I)如图 32,P 处切线方程的斜率为 因而 P 处切线方程可表示为()该切线交 x 轴于(10 一 a,0),所求旋转体体积 V,可用锥体体积减去曲线部分的旋转体体积,即【知识模块】 微积分