[考研类试卷]考研数学三(微积分)模拟试卷101及答案与解析.doc
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1、考研数学三(微积分)模拟试卷 101 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 下列函数 f(x)中其原函数及定积分 -11f(x)dx 都存在的是(A)(B)(C)(D)2 积分 aa+2cosxln(2+cosx)dx 的值(A)与 a 有关(B)是与 a 无关的负数(C)是与 a 无关的正数(D)为零3 设 F(x)=f(x),则(A)当 f(x)为奇函数时, F(x)一定是偶函数(B)当 f(x)为偶函数时,F(x)一定是奇函数(C)当 f(x)是以 T 为周期的函数时, F(x)一定也是以 T 为周期的函数(D)当 f(x)是以 T 为周期的函数时
2、, F(x)一定不是以 T 为周期的函数4 设 f(x)在( 一,+)上连续,则下列命题正确的是(A)若 f(x)为偶函数,则 -aaf(x)dx0(B) 若 f(x)为奇函数,则 -aaf(x)dx20af(x)dx(C)若 f(x)为非奇非偶函数,则 -aaf(x)dx0(D)若 f(x)为以 T 为周期的周期函数,且是奇函数,则 F(x)=0xf()dt 是以 T 为周期的周期函数5 设 则(A)f(x)=f(x+)(B) f(x)f(x+)(C) f(x)f(x+)(D)当 x0 时,f(x) f(x+);当 x0 时,f(x) f(x+)6 设常数 则(A)I 1I 2(B) I1I
3、 2(C) I1=I2 (D)I 1 与 I2 的大小与 的取值有关7 下列反常积分中发散的是(A)(B)(C)(D)8 设 则 f(t)在 t=0 处(A)极限不存在(B)极限存在但不连续(C)连续但不可导(D)可导二、填空题9 =_10 =_11 =_12 ex+excosx(cosxsinx)dx=_13 设 f(x)连续,f(x)0,则 =_.14 =_。15 =_.16 =_.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 求下列不定积分:18 求下列定积分:19 已知 是 f(x)的一个原函数,求x 3f(x)dx。20 设 F(x)是 f(x)的一个原函数,且当 x0 时
4、,满足求 f(x)(x0)21 设 且 f(0)=0,求函数 f(x)和 f(lnx)22 设 f(x)=arcsin(x 一 1)2,f(0)=0,求 01f(x)dx.23 设曲线 y=ax2+bx+c 过原点,且当 0x1 时,y0,并与 x 轴所围成的图形的面积为 ,试确定 a、b、 c 的值,使该图形绕 X 轴旋转一周所得的立体体积最小24 求由直线 x=1,x=3 与曲线 y=xlnx 及过该曲线上一点处的切线围成的平面图形的最小面积25 过原点作曲线 y=lnx 的切线,设切点为 x0,且由曲线 y=lnx,直线 y=0,x=x 0 所围平面图形的面积与由曲线 y=x3,直线 y
5、=0,x=a 所围平面图形的面积相等,求 a的值26 设 P(a,b)是曲线 上的点,且 a5(I)求 P 点处的切线方程;()由(I)中的切线与曲线及 x 轴,y 轴所围成图形绕 X 轴旋转,把所得旋转体的体积表示成 a 的函数,并求其最小值考研数学三(微积分)模拟试卷 101 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 像这类题需逐一分析上述四个选项的 f(x)均不连续对于(A):显然 x=0 是 f(x)的第一类间断点,因此在任意一个不包含点 x=0 在内的区间上,f(x)一定存在原函数因为当 x0 时x=f(x),因此当 x
6、0 时,f(x)的全体原函数x+c 在 x=0 处不可导,从而在任意一个包含 x=0 在内的区间上,x+c 不是 f(x)的原函数,所以 f(x)在上述区间上不存在原函数但定积分 -11(x)dx 存在,因为 f(x)在上述区间上有界,且只有有限个间断点故(A)不对 对于(B):显然x=0 是 f(x)的振荡间断点即第二类间断点,但是该 f(x)存在原函数 F(x)=(容易验证,当一x+时 F(x)=f(x)而定积分 -11f(x)dx不存在,因为在 x=0 的邻域内 f(x)无界故(B)不对 对于(C) :显然 x=0 是 f(x)的无穷间断点即第二类间断点,此 f(x)在包含 x=0 在内
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