1、考研数学三（微积分）模拟试卷 113 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 下列函数： 在(0，1)内有界的有( )个（A）0（B） 1（C） 2（D）32 设 =6，则 a=( )（A）1（B）一 2（C）一 1（D）23 当 x0 时，下列无穷小量中阶数最高的是( )（A）（B） 3x3 一 4x4+5x5（C） 一 cosx（D）4 设 f(x)和 g(x)在( 一，+)内可导，且 f(x)g(x)，则必有( )（A）f(一 x)g(一 x)（B） f(x)g(x)（C）（D） 0xf(t)dt 0xg(t)dt5 设 f(x)= ，则 f(x)有
2、( ) （A）两个第一类间断点（B）三个第一类间断点（C）两个第一类间断点和一个第二类间断点（D）一个第一类间断点和一个第二类间断点二、填空题6 设 f(x)= 且 g(x)=f(x2)+f(x1)，则 g(x)的定义域为_7 设 f(x)= =_8 设 f(x)= 的反函数是 g(x)，则 g(4)= _9 若 =_10 设 f(x)连续，且当 x0 时，F(x)= 0x(x2+1cosx)f(t)dt 是与 x3 等价的无穷小量，则 f(0)= _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 讨论函数 f(x)= 在(一，+)上的有界性12 设 f(x)在( 一，+)内连续，以
3、T 为周期，令 F(x)=0xf(t)dt求证：(1)F(x)=kx+(x)，其中 k 为某常数，(x)是以 T 为周期的周期函数(2)0Tf(x)dx13 设 f(x)具有连续导数，且满足 f(x)=x+0xtf(xt)dt求 14 求极限 15 求极限 16 已知曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线方程为 y=x 一 1，求。17 设 f(x)=nx(1 一 x)n(n=1，2，)，M n 是 f(x)在0，1上的最大值，求 Mn18 求极限 19 设 f(x)在 x=a 的某邻域内可导，且 f(a)0，a0，求极限20 求极限 21 设 1x+时，0f(x) 存在22 设 f(x)，g
4、(x) 在a，b 上连续，且 f(x)0，g(x)非负，求 23 设 f(x)在a，b上连续，且 x(a，b)，证明： axf(t+s)一 f(t)dt=f(x)一 f(a)24 求极限 (用定积分求极限)25 设 f(x)是满足 =一 1 的连续函数，且当 x0 时， 0xf(t)dt 是与 xn 同阶的无穷小量，求正整数 n26 设 f(x)具有连续的二阶导数，且 27 如图 111，对指数曲线 y= ，在原点 O 与点 x(x0)之间找一点=x(01)，使在这点左、右两边有阴影部分的面积相等，求 28 求极限 29 设 f(x)在 x=0 的某邻域内二阶可导，且(0)，求 、( 其中 0
5、)30 设 f(x)在( 一 a，a) 内连续，在 x=0 处可导，且 f(0)0 (1)求证：对任给的0xa，存在 01，使 0xf(t)dt+0xf(t)dt=xf(x)一 f(一 x) (2)求 31 设 f(1)=0，f(1)=a，求极限 32 设 g(x)是微分方程 g(x)+g(x)sinx=cosx 满足条件 g(0)=0 的解，求 33 设 g(x)在 x=0 的某邻域内连续，且，已知在 x=0 处连续，求 a，b34 设 f(x)= ，讨论函数 f(x)的连续性，若有间断点，指明其类型考研数学三（微积分）模拟试卷 113 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个
6、选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 微积分2 【正确答案】 C【试题解析】 由题设知因此 a=一 1，故选 C【知识模块】 微积分3 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 微积分4 【正确答案】 C【试题解析】 由 f(x)、g(x)可导知，f(x)、g(x)连续于是有：=g(x0)又 f(x0)g(x 0)，所以有 故选 C【知识模块】 微积分5 【正确答案】 C【试题解析】 可见，x=一 1 和 x=1 都是 f(x)的第一类间断点，而 x=0 是 f(x)的第二类间断点，故选 C【知识模块】 微积分二、填空题6 【正确答案】 一 1， 【试题解析】 f
7、(x)的定义域为 一 1，1 一 2，一 1)(1，2，即一 2，2 ， 由f(x2)知 0x22，即一 ， 由 f(x 一 1)知一 2x 一 12，即一 1x3，求其交集，得 g(x)的定义域为一 1， 【知识模块】 微积分7 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】 微积分8 【正确答案】 一 2【试题解析】 【知识模块】 微积分9 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分10 【正确答案】 【试题解析】 由等价无穷小量的定义及洛必塔法则，可得【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 由 f(一 x)=(一 x)可知：f(一 x)
8、=f(x)所以，f(x)是偶函数只需证明 f(x)在0，+) 上有界即当xA 时，有 0f(x)1 因为 f(x)在0，A上连续，因此，f(x)在0，A 上有界，注意到在0 ，+)上 f(x)0故 x0，A ，有 0f(x)M，取M=max1，M 1，则对 x0，+)，有 0f(x)M从而可知，对 x(一，+)，有 0f(x)M【试题解析】 因为 f(x)为偶函数，所以只需证明 f(x)在0 ，+)上有界要证 f(x)在0，+) 上有界，只要证明 存在【知识模块】 微积分12 【正确答案】 (1)由 (x+T)=F(x+T)一 k(x+T) =0xf(t)dtkx+xx+Tf(t)dt 一 k
9、T =(x)+0Tf(t)dtkT (xx+Tf(t)dt=0Tf(t)dt) 令 k= 0Tf(t)dt，则 (x)=F(x)一 kx 是以 T 为周期的周期函数从而有 F(x)=kx+(x) (2) 因为 不一定存在，所以不能用洛必塔法则求该极限 但 0xf(t)dt 可写成： 0xf(t)dt= 0Tf(t)dt+(x)，(x)在( 一，+)连续且以 T 为周期于是 (x)在0，T上有界，在(一，+) 上有界，所以， (无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量)【试题解析】 只要确定常数 k，使得 (x)=F(x)一 kx 以 T 为周期【知识模块】 微积分13 【正确答案】 由已知条件 f
10、(x)=x+0xtf(xt)dt 可化为 f(x)=x+x 0xf(u)du 一 0xuf(u)du两边对 x 求导得： f(x)=1+ 0xf(u)du+xf(x)一 xf(x) =1+f(x)一 f(0) =1+f(x) (f(0)=0)得 f(x)=ex 一 1所以 (ex 一 1)=一 1【试题解析】 f(x)的表达式中含有参变量的积分，应经变量替换将参变量移至积分号外或积分限上再求极限 0xf(xt)dt 0x(x 一 u)f(u)du =x0xf(u)一0xuf(u)du将参变量 x 提到积分号外后，已知条件可化为： f(x)=x+x 0xf(u)du 一0xuf(u)du【知识模
11、块】 微积分14 【正确答案】 【试题解析】 是x4，ln(1+x)x，sin 2xx 2【知识模块】 微积分15 【正确答案】 【试题解析】 当 x0 +时， ex=exlnx 一 1，arctanxx，1 一 cosx一 10【知识模块】 微积分16 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分17 【正确答案】 f(x)=n(1 一 x)n 一 n2x(1 一 x)n1令 f(x)=0，得 n2x(1x)n1=n(1一 x)n，即 nx=1 一 x得 x= 又为 f(x)在(0，1)内的极大值比较 f(0)=0，f(1)=0 和 Mn 可知，f(x) 在0， 1上的最大值为【试题解析
12、】 先求 f(x)在0 ，1上的最大值 Mn，再求极限【知识模块】 微积分18 【正确答案】 【试题解析】 不存在，求极限时要考虑单侧极限【知识模块】 微积分19 【正确答案】 【试题解析】 “一”型是分式，一般先通分【知识模块】 微积分20 【正确答案】 【试题解析】 该极限为“1 ”型，转化为函数的极限，再用洛必塔法则等方法【知识模块】 微积分21 【正确答案】 当 1x+时，由 f(x)0 知，f(x)单调增加，由题设和定积分的性质，可得： 即 f(1)f(x)f(1)+1所以，数列f(n)单调有界由单调有界定理知， f(n)存在【试题解析】 要证明 f(n)存在，只要证 f(n)单调有
13、界，即证 f(x)单调有界由已知条件、定积分的性质和牛顿一莱布尼兹公式便可知 f(x)单调有界【知识模块】 微积分22 【正确答案】 由 f(x)0 在a ，b上连续，可知存在 m，M ，使得 0mf(x)M于是有【试题解析】 应用函数 f(x)的性质，将 abg(x) 进行放缩，然后再由夹逼定理可得要求的极限【知识模块】 微积分23 【正确答案】 由 f(x)在a ，b上连续，可知 F(x)=axf(t)dt 可导，且 F(x)=f(x) axf(t+s)dt a+sx+sf(u)du=ax+sf(u)du 一 aa+sf(u)du=F(x+s)一 F(a+s)所以=F(x)一 F(a)=f
14、(x)一 f(a)=右边【试题解析】 极限中含有含参变量的积分，应先经变量替换将参数提至积分号外再计算【知识模块】 微积分24 【正确答案】 因为【试题解析】 将 n 项的和转化为积分和，从而可以用定积分计算这种类型的极限【知识模块】 微积分25 【正确答案】 由1= 即当 x0时，f(x)是 x2 的同阶无穷小对 n0，有所以，n=3【知识模块】 微积分26 【正确答案】 【试题解析】 由=0，可知，所求极限与已知极限均为“1 ”型极限【知识模块】 微积分27 【正确答案】 由题意：【试题解析】 如图 112，用定积分算出两阴影部分的面积，令其相等便可解出 令 x=(01)，可解得 的解析式
15、，然后求极限【知识模块】 微积分28 【正确答案】 【试题解析】 先求幂级数的和函数，再求极限【知识模块】 微积分29 【正确答案】 满足题设条件，故 =1，=f“(0) 【知识模块】 微积分30 【正确答案】 (1)令 F(x)=0xf(t)dt+0xf(t)dt，则 F(0)=0，F(x)在0，x上可导，由拉格朗日中值定理 F(x)一 F(0)=F(x)z，01 即 0xf(t)dt+0xf(t)dt=xf(x)一 f(x) (2)将上式两边同除以 2x2，得【知识模块】 微积分31 【正确答案】 【试题解析】 由 f(1)=0， f(1)=a 可知，f(1)= =a当x0 时，lncosx=ln1+(cosx 一 1)cosx1一 x2【知识模块】 微积分32 【正确答案】 =g(0)=cos0 一 g(0)sin0=1【试题解析】 由 g(0)=0 可知 =g(0)，用导数的定义求所给极限【知识模块】 微积分33 【正确答案】 【试题解析】 用函数在 x=0 处连续的充分必要条件求解【知识模块】 微积分34 【正确答案】 显然，x2 时，f(x)是连续的所以，x=2 是 f(x)的跳跃间断点【试题解析】 x2 时，f(x)连续，x=2 时，考虑单侧极限【知识模块】 微积分
