1、考研数学三（微积分）模拟试卷 115 及答案与解析一、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 验证函数 f(x)= 在0，2上满足拉格朗日中值定理，并求满足定理中的点 2 设 ba0 ，f(x) 在a，b上连续，单调递增且 f(x)0，证明：存在点 (a，b)使得 a2f(b)+b2f(a)=22f()3 设 f(x)在a ，b上连续，在(a，b) 内可导，且 f(a)f(b)0，f(a)kR，存在点 (a，b)，使得 f()=kf()4 设 f(x)在0，1上连续，在 (0，1)内可导，且 f(0)=f(1)=1， ，试证：对任何满足 0k1 的常数 k，存在点 (0，1)，使得
2、f()=一 k5 设 f(x)在a ，b上连续，在(a，b) 内二阶可导，且 f(a)=f(b)= abf(x)dx，试证：存在一点 (a，b) ，使得 f“()=06 设 f(x)，g(x) 在(a，b) 内可导，并且 f(x)g(x)一 f(x)0，试证：在(a，b)内至多存在一点 ，使得 f()=07 设 f(x)在0，1上连续，在 (0，1)内可导，且 f(0)=f(1)=0，f( )=1，试证： (1)存在点 ( ，1)，使 f()= (2)对 R，必存在点 (0，1)，使得 f()一 f()一 =18 设 f(x)在0，1上可导，且 01xf(x)dx=f(1)，试证：存在点 (0
3、，1) ，使得 f()+f()=09 设 f(x)在0，1上连续，在 (0，1)内可微，且 f(x)dx=f(0)，试证：存在点(0， 1)，使得 f()=0 10 设 f(x)在0，1上连续，在 (0，1)内可导，且 ef(x)arctanxdx=1，f(1)=ln2，试证：存在点 (0，1)，使得 (1+ 2)f()arctan=一 111 设 f(x)在0，1上可导， 01f(x)dx=01xf(x)dx=0，试证：存在点 (0，1)，使得f()=012 设 f(x)在0，2上连续，在 (0，2)内二阶可导，且 f(x)dx=f(2)，试证：存在一点 (0，2)，使得 f“()=013
4、设 f(x)在0，1上连续， 01f(x)dx=0，g(x)在0，1上有连续的导数，且在(0，1)内 g(x)0， 01f(x)g(x)dx=0，试证：至少存在两个不同的点 1， 2(0，1)，使得f()=f()=014 设 f(x)在0，1上连续，且 f(x)非负，试证：至少存在一点 (0，1)，使得 f()=1f(x)dx15 设 f(x)在0，1上连续，且 01xf(x)dx=01f(x)dx，试证：至少存在一点 (0，1)，使得 01f(x)dx=016 设 f(x)为0，1上单调减少的连续函数，且 f(x)0，试证：存在唯一的点(0， 1)，使得 0f(x)dx=(1 一 )f()1
5、7 设 f(x)在a，b上连续，在(a ，b)内可导，且 f(a)=f(b)，f(a)f(b) 0，试证：至少存在一点 (a，b) ，使 f“()=018 设 f(x)在a，b上一阶可导，且f(x)M ， abf(x)dx=0，试证：当 axb 时， abf(t)dt M(ba)219 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内二阶可导，且 f(a)=f(b)=0，f +(a)=0，试证：存在点 (a，b)，使得 f“()020 设不恒为常数的函数 f(x)在a ，b上连续，在(a，b)内二阶可导，且 f(a)=f(c)=f(b)其中 c 为(a，b)内的一点，试证：存在点 (a，b)，使得
6、 f“()021 设 f(x)在0，2上连续，在 (0，2)内可导，f(0)=f(2)=1，且f(x)1，试证： 102(x)dx322 试证明：方程 =0 有且只有一个实根23 设 f(x)在( 一，+)内二阶可导，f“(x) 0，且=0，又存在 x0，使得 f(x0)0，试证：方程 f(x)=0 在(一，+)内有且仅有两个实根24 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导，ba 0，f(a)f(b) ，试证：存在点， (a，b)，使得2f()=(a+b)f()25 设 f(x)在0，1上连续，在 (0，1)内可导，且 f(0)=0，f(1)=1，试证：对任意给定的正数 a，b，在
7、(0，1)内存在不同的点 ，使 =a+b26 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导，且 f(a)=f(b)=1，试证：存在两点， (a，b)，使得 (e 2a+ea+b+e2b)f()+f()=3e327 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导，又 ba 0，试证：存在两点， (a，b)，使得f()(b 一 a)=f()(lnblna)28 设 f(x)在 一 a，a 上具有三阶连续导数，且满足 f(x)=x2+0xtf(xt)dt，f(0)=0，证明：存在一点 一 a，a ，使得 a4f“() =12 aaf(x)dx考研数学三（微积分）模拟试卷 115 答案与解析一、
8、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 【正确答案】 【试题解析】 用定义判断 f(x)在分段点 x=1 处的连续性和可导性，然后利用拉格朗日中值定理求出相应的 【知识模块】 微积分2 【正确答案】 令 F(x)=2x2f(x)一 a2f(b)一 b2f(a) 显然 F(x)在a，b上连续 且 F(a)=a2f(a)一 f(b)+f(a)(a2 一 b2)0， F(b)=f(b)(b 2 一 a2)+b2f(b)一 f(a)0 由零点定理，至少存在一个点 a，b使得 F()=0， 即 a 2f(b)+b2f(a)=22f()【试题解析】 作辅助函数 F(x)=2x2f(x)一 a2f
9、(b)一 b2f(a)，F(x) 在a，b 上用零点定理【知识模块】 微积分3 【正确答案】 令 F(x)=ekf(x)，则由题设可知，F(x) 在a，b上连续不妨假定f(a)0，于是有F(x1)=F(x2)=0所以 F(x)在x 1，x 2上连续，在(x 1，x 2)内可导，且 F(x1)=F(x2)=0由洛尔定理，存在点 (x1，x 2) (a，b)，使得 F()=0，即 ekf()一 kf()=0，故有 f()一 kf()=0【试题解析】 欲证存在点 (a，b)，使得 f()一 kf()=0，即 ekf()一 kf()=0， 即 ekf(x) x=0 可作辅助函数：F(x)=e kf(x
10、)，用介值定理和洛尔定理证明【知识模块】 微积分4 【正确答案】 作辅助函数 F(x)=f(x)+kx，则 F(x)在0，1 上连续，在(0，1)内可导，且 F(x)=f(x)+k 由 f(0)=f(1)=1，F(0)F(1) 由介值定理，存在点 c( ，1)，使得 F(c)=F(0)因此，F(x)在0，c上连续，在(0，c)内可导，且 F(0)=F(c)由洛尔定理，存在点 (0，c)(0， 1)，使得 F()=f()+k=0，即 f()=一 k【试题解析】 这是讨论函数在某点取定值的问题，可转化为导函数的存在性问题 f()= 一 kf()+k=0 f(x)+kx x=0 F(x)=f(x)+
11、kx 的导数在(0，1)内有零点 于是，我们只要验证 F(x)在0 ，1上或其子区间上满足洛尔定理的全部条件【知识模块】 微积分5 【正确答案】 作辅助函数 F(x)=axf(t)dt，则 F(x)在a，b上连续，在(a ，b)内可导由拉格朗日定理可知，存在点 (a，b)，使得 F()= ，即 f()=abf(x)dx=f(a)=f(b)于是，在区间a ， 和，b 上分别应用洛尔定理，可知存在点 1(a，)， 2(，b)，使得 f(1)=f(2)=0再对 f(x)在 1， 2上应用洛尔定理，可知存在点 (1， 2) (a，b)，使得 f“()=0【试题解析】 由洛尔定理可知：要证存在一点 (a
12、，b)，使得 f“()=0， 对 F(x)=axf(t)dt 由拉格朗日定理便可找到这样的点 【知识模块】 微积分6 【正确答案】 由已知条件 f(x)g(x)一 f(x)0，可知 f(x)一 f(x)g(x)0，即作辅助函数 F(x)=f(x)eg(x)，则 F(x)在x 1，x 2上满足洛尔定理的全部条件，由洛尔定理，在(x 1， x2) (a，b) 内至少存在一点 ，使 F()=e g()f()一 f()g()=0，这与已知条件 f(x)g(x)一 f(x)0，x(a ，b)矛盾， 故 f(x)在(a，b)内至多存在一个零点【知识模块】 微积分7 【正确答案】 (1)令 F(x)=f(x
13、)一 x，则 F(x)在0，1上连续，又 F(1)= 一 10， 0，由介值定理可知，在( ，1)中至少存在一点 ，使得 F()=0，即 f()= (2)令 (x)=f(x)一 xex，则 (x)在0，上连续，在(0，)内可导，且 (0)=0，()=f() 一 ex=0由洛尔定理，存在点 (0，)(0， 1)，使得 ()=0，即 e xf()一 (f()一 )一 1=0从而有 f()一 f()一=1【试题解析】 (1)这是讨论函数在某点取定值的问题，可转化为函数的零点问题f()一 =0，即 f(x)一 x=0，即 F(x)=f(x)一 x 在 ( ，1)内有零点 由于待证的结论中不含导数，所以
14、可由介值定理证明 (2)欲证结论中含有一阶导数，应构造辅助函数用洛尔定理证明 由 f()一 f()一 =1，得到 f(x) 一 f(x)=1 一 x， 再由一阶非齐次线性方程的通解公式得 f(x)=e dx(1 一 x)edxdx+c=ex(xex+c)=cex+x，即f(x)一 xex=c于是，我们便可得到要找的辅助函数 F(x)=f(x)一 xex【知识模块】 微积分8 【正确答案】 令 F(x)=xf(x)，则 F(x)在0，1上连续，在 (0，1)内可导由积分中值定理，存在 c0，1 ，使得 f(1)=cf(c)于是，有 F(c)=cf(c)=F(1)=f(1)所以，F(z)在c，1
15、0，1上满足洛尔定理的全部条件，由洛尔定理，存在E(0 ，1)，使 f()+f()=0【试题解析】 因待证结论中含有导数，所以应先构造辅助函数，再用洛尔定理来证明 要证的结论为：f()+f()=0xf(x)+f(x)=0f(x)+ f(x)=0 由一阶齐次线性方程的通解公式得：f(x)= ，即 xf(x)=c 取 F(x)=xf(x)作为辅助函数，于是只需验证 F(x)满足洛尔定理的全部条件【知识模块】 微积分9 【正确答案】 因为 f(x)在0 ，1上连续，由积分中值定理，存在点 c ，1，使得 又 f(x)在0，c连续，在(0，c)内可导，且 f(0)=f(c)由洛尔定理，存在点 (0，c
16、) (0，1)，使得 f()=0【试题解析】 待证结论含有导数，所以用洛尔定理证明证明的关键是在0，1 内构造辅助区间0，c ，使得 f(0)=f(c)点 c 可由已知条件和积分中值定理得到【知识模块】 微积分10 【正确答案】 令 F(x)=ef(x)arctanx由已知条件，F(1)=e f(x)arctan1=ef(x)arctanxdx=1由积分中值定理，存在点 0，于是，F(x)在，1上连续，在 (，1)内可导，由洛尔定理，存在点 (，1) (0，1)，使得 F()=0，即(1+ 2)f()arctan=一 1【试题解析】 所以，可作辅助函数 F(x)=ef(x)arctanx，用洛
17、尔定理证明【知识模块】 微积分11 【正确答案】 作辅助函数 F(x)=0xf(t)dt，则 F(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 F(0)=F(1)=0，又 0=01xf(x)dx=01xdF(x)=xF(x) 0101F(x)dx=0，由积分中值定理，存在点 (0，1)，使得 F()=0于是，在0，和，1上分别对 F(x)应用洛尔定理，存在点 1(0，)， 2(，1)，使得 f(1)=f(2)=0 在 1， 2上对 f(x)再应用洛尔定理，存在点 (1， 2) (0，1)，使得 f()=0【知识模块】 微积分12 【正确答案】 在a，2上f(x)满足洛尔定理的全部条件，由洛尔定理
18、，存在一点 b(a，2)，使得 f(b)=0，又f(x)在a，b 上满足洛尔定理的全部条件，由洛尔定理，存在点 (a，b) (0，2)，使得 f“()=0【试题解析】 要证 f“()=0，对 f(x)可用两次洛尔定理来证明用两次洛尔定理的关键是在0 ，2 内构造使得 f(a)=f(2)的区间和使 f(b)=f(c)的区间a，2与b，ca，2可由积分中值定理得到， b，c 可由已知极限和洛尔定理获得【知识模块】 微积分13 【正确答案】 令 F(x)=0xf(t)dt，则 F(0)=F(1)=0 又 0= 01f(x)g(x)dx=01g(x)F(x) 01 一 01F(x)g(x)dx =一
19、01F(x)g(x)dx， 即有 01F(x)g(x)dx=0， 由积分中值定理，存在点 (0，1)，使得 F()g()=0，由 g(x)0 知 F()=0，01 即 F(0)=F()=F(1)=0， 由洛尔定理，存在点 1(0，)， 2(，1)，使得 F( 1)=F(2)=0， 即f(1)=f(2)=0【试题解析】 在 f(x)连续的条件下，欲证 f(x)存在两个零点 f(1)=0，f( 2)=0，可构造辅助函数 F(x)=I f(t)dt，用洛尔定理证明因已知 F(0)=F(1)=0于是，问题的关键是再找一点 ，使 F()=0，这样的点 可由已知条件得到【知识模块】 微积分14 【正确答案
20、】 令 F(x)=x1xf(t)dt，则 F(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且F(0)=F(1)=1 11f(t)dt=0由洛尔定理，存在 (0，1)，使 F()=0，即 1(t)dt+f()=0，故 f()1f(x)dx=0【试题解析】 欲证 f()=1f(x)dxxf(x)= x1f(t)dt， 如作辅助函数 F(x)=xf(x)一x1f(t)dt，则 F(0)=0f(0) 一 01f(t)出0， F(1)=1f(1)一 11f(t)dt=f(1)0， 难以验证F(x)在0，1上有 F(0)0，F(1) 0于是，可作辅助函数 F(x)，使得 F(x)=xf(x)一 x1f(t)d
21、t， 即 F(x)=x 1xf(t)dt， 即 F(x)=x 1xf(t)dt， 再用洛尔定理证明【知识模块】 微积分15 【正确答案】 令 F(x)=0x(xu)f(u)du，则 F(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 F(0)=0， F(1)= 01(1 一 u)f(u)du=01f(u)du01u(u)du=01f(u)du01f(u)du=0， 即F(x)在0 ，1上满足了洛尔定理的全部条件由洛尔定理，存在点 (0，1)，使得F()=0，即 0x(xu)f(u)du x=01f(t)dt+xf(x)xf(x) x=0， 故有 0f(x)dx=0 为辅助函数【试题解析】 欲证 0
22、f(x)dx=0，若用 F(x)=0xf(x)dt 作为辅助函数，用零值定理难以验证 F(0)F(1)0于是，改为令 F(x)=0xf(t)dt 作辅助函数 F(x)=0x0uf(t)dtdu=u0uf(t)dt 0x0xuf(u)du =x0xf(u)du 一 0xuf(u)du=0x(x 一 u)f(u)du， 再用洛尔定理证明【知识模块】 微积分16 【正确答案】 变量可分离的微分方程得 F(x)= ，即(1 一 x)F(x)=c 作辅助函数 (x)=(1 一 x)F(x)，用洛尔定理证明 证 令 (x)=(1 一 x)F(x)=0xf(t)dtx0xf(t)dt，则 (x)在0，1上连
23、续，在(0，1)内可导，且 (0)=(1)=0 由洛尔定理，存在点 (0，1)，使得 ()=0，即 f()一 0f(t)dt 一 f()=0，故有 0f(t)dt=(1 一 )f() 用反证法证明唯一性 假若在(0，1)内存在点 1、 2，不妨设 1 2，使得 =(1一 2)f(2)一 f(1)一( 2 一 1)f(1) 由已知条件可知，上式的左边大于零，而右边小于零矛盾，故点 是唯一的【试题解析】 记 F(x)=0xf(t)dt，欲证存在点 ，使得 F()=(1)F() F(x)=(1一 x)F(x)【知识模块】 微积分17 【正确答案】 不妨设 f(a)0，则由 f(a)f(b)0 可知，
24、f(b)0由导数的定义：即 f(x2)f(b)=f(a)，于是有 f(x2)f(a)f(x 1)由介值定理，存在点 (x1，x 2)，使得 f()=f(a)由洛尔定理可知 存在点 1(x1，)，使 f(1)=0， 存在 2(，x 2)，使f(2)=0所以， f(x)在 1， 2上连续，在( 1， 2)内可导，由洛尔定理，存在(1， 2) (a，b) ，使得 f“()=0【试题解析】 证 f“()=0 的关键是找出使得 f(1)=f(2)=0 的区间 1， 2由 f(a)f(b) 0 及导数的定义、介值定理和洛尔定理便可找到这样的点 1 和 2【知识模块】 微积分18 【正确答案】 令 F(x)
25、=axf(t)dt，则 F(x)在a，b上连续，且 F(a)=F(b)=0由最值定理，存在 x0a，b ，使 F(x 0)= F(x) 若 F(x0)=0，则 F(x)0，结论自然成立 若 F(x0)0，由 x0(a，b)可知 F(x0)必是 F(x)的极值于是有 F(x0)=0，在x0 处由台劳公式可得【知识模块】 微积分19 【正确答案】 由题设 f+(a)= 0 可知，在(a， b)内至少存在一点 x0使 f(x0)0 在a，x 0，x 0，b上分别用拉格朗日中值定理可知：存在 d(a，x 0)，c(x 0，b)使得于是由题设可知，f(x)在d，c上连续，在(d，c)内可导 再由拉格朗日
26、中值定理，存在点 (d，c) (a，b)，使得 =f“()0【试题解析】 由拉格朗日中值定理可知，要证 f“()= 0，只要证当dc 时，有 f(c)0，f(d)0只要证存在点 x0(a，b) ，有由题设可知，只要证 f(x0)0由已知条件 f+(a)0 可找到这样的点 x0【知识模块】 微积分20 【正确答案】 由题设知，f(x)在a ，c和c ，d上分别满足洛尔定理的全部条件，由洛尔定理，存在点 a1(a，c)，b 1(c，b)，使得 f(a1)=f(b1)=0 又 f(x)在a 1，b 1上可导且不恒等于零，所以，必存在点 a2(a1，b 1)，使得 f(a2)0，或存在点a3(a1，b
27、 1)，使 f(a3)0 当存在点 a2(a1，b 1)，使得 f(a2)0 时，由拉格朗日中值定理，存在点 (a2，b 1)，使得 当存在点 a3(a3，b 1)，使得 f(a3)0 时，由拉格朗日中值定理，存在点 (a3，b 1)，使得 综上可知，存在点 (a1，b 1)(a，b)，使 f“()0【试题解析】 由题设知，可在a，c ，c，b上分别对 f(x)用洛尔定理，存在点a1(a，c)，b 1(c，6)，使 f(a1)=f(b1)=0但 f(x)不恒等于常数，可知 f(x)0从而可知，f(x)在a 1，b 1上可导，不恒等于零，且 f(a1)=0，f(b 1)=0然后可用拉格朗日中值定
28、理证明存在点 (a1，b 1)，使得 f“() 0【知识模块】 微积分21 【正确答案】 由拉格朗日微分中值定理得 存在点 1(0，x)，使得 f(x)一 f(0)=f(1)x， 存在点 2(x，2)，使得 f(x)一 f(2)=f(2)(x 一 2) 又f(x)1 ，所以有 f(x)一 f(0)x1 一 xf(x)1+x，x 0，1， f(x)一 f(2)2 一 xx 一 1f(x)3 一 x，x1，2 由定积分的性质可知 02f(x)dx01(1 一 x)dx+12(x 一 1)dx=1， 02f(x)dz01(1+x)dx+12(3 一 x)dx=3 故 1 02f(x)dx3 或 f(
29、x)=f(x)f(b)=f()(x 一b) (f(b)=0) 然后，根据题意进行不等式放缩 若有 f(a)=f(b)=0，则 f(x)可表示为 f(x)=f(x)=f(x)一 f(a)=f(1)(x 一 a)， f(x)=f(x)=f(x)一 f(a)=f(2)(x 一 a)【试题解析】 先应用拉格朗日微分中值定理估计 f(x)的值域范围，再用积分性质估计定积分【知识模块】 微积分22 【正确答案】 所以，F(x)在(一， +)内单调增加，故 F(x)=0 的根存在并且唯一【试题解析】 于是可由介值定理得零点的存在性，由单调性定理可得唯一性【知识模块】 微积分23 【正确答案】 先证存在性 由
30、 ，存在M0，使得当 xM 时，f(x) 一 于是可知：f(x)在(0，+)内单调增加 任取 xM，+)，f(x)在M，x 上连续，在(M ，x)内可导，由拉格朗日中值定理知，存在点 (M，x)，使得 f(x)=f(M)+f()(x 一 M)，于是 f(x)f(M)+ (x 一 M)0 又存在点 x0，使得 f(x0)0所以，由介值定理存在点1(x0， x)，使 f(1)=0 同理可证，当 x0 时，存在点 2(x，x 0)，使得 f(3)=0 再证唯一性(反证法) 假若 f(x)=0 有三个实根 1， 2， 3(1 2 3)，由洛尔定理，存在 1(1， 2)， 2(2， 3)，使得 f( 1
31、)=f(2)=0 再由洛尔定理，存在(1， 2)，使 f“()=0与题设 f“(x)0 矛盾，故 f(x)=0 在(一，+)内有且仅有两个实根【知识模块】 微积分24 【正确答案】 由拉格朗日微分中值定理，可得 取 g(x)=x2，则 f(x)、g(x)在a，b上满足柯西定理的条件 由柯西微分中值定理，存在(a， b)，使故有 2f()=(a+b)f()【试题解析】 【知识模块】 微积分25 【正确答案】 因为 a 0，b0，所以 0 1又 f(x)在0，1上连续，由介值定理，存在点 c(0，1)使得 f(c)= 将 f(x)在0，c ，c，1上分别用拉格朗日中值定理得 f(c)一 f(0)一
32、 f()c， (0，c)， f(1) 一 f(c)=f()(1 一 c)，(c， 1)由 f(0)=0，f(1)=1，可得【知识模块】 微积分26 【正确答案】 令 g(x)=e3x，则 g(x)=e3x 在a，b上满足拉格朗日中值定理条件 由拉格朗日中值定理，存在点 (a，b)，使得 令 F(x)=exf(x)，由拉格朗日中值定理，存在点 (a，b)，使得代入式，可得(e 2a+ea+b+e2b)f()+f()=3e3【试题解析】 (e 2a+ea+b+e2b)f()+f()=3e3 (e 2a+ea+b+e2b)ef()+f()=3e3 (e 2a+ea+b+e2b)ex(x) x=(e3
33、x) x=， 先对 g(x)=e3x 用拉格朗日中值定理，再对F(x)=exf(x)用拉格朗日中值定理，然后乘以常数(e 2a+ea+b+e2b)可得待证的等式【知识模块】 微积分27 【正确答案】 作辅助函数 g(x)=lnx，则 f(x)、g(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导由柯西定理， 存在点 (a，b)，使得 即 f(b)一 f(a)=f()(lnblna) 两边同除以(b 一 a)得即 f()(b 一 a)=f()(lnblna)【试题解析】 f()(b 一 a)=f()(lnblna)【知识模块】 微积分28 【正确答案】 由 f(x)=x2+0xtf(xt)dt x2+x0xf(u)du 一 0xuf(u)du，知 f(0)=0，f“(x)=2x+I f(u)du ，f“(0)=0根据台劳公式，有这里m，M 为f“(x)在一 a，a上的最小值、最大值故存在点 一 a，a使得f“() = =f(x)dx【试题解析】 只要证f“()= f(x)dx，由于 f“(x)在a，a上连续，可对 f“(x)在一 a，a 上用介值定理为证明 f(x)dx 如介于f“(x)在a，a上的最小值和最大值之间对 f(x)用麦克劳林公式【知识模块】 微积分
