1、考研数学三（微积分）模拟试卷 136 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f（ x）= 则 f（f（f（x）等于（ ）（A）0（B） 1（C）（D）2 设 f（ x）在 R 上连续，且 f（x）0，（x）在 R 上有定义，且有间断点，则下列陈述中正确的个数是（ ） f（x）必有间断点。 （x） 2 必有间断点。 f（x）没有间断点。（A）0（B） 1（C） 2（D）33 设 f（ x）在a，b可导，f（a）= f（x），则（ ）（A）f +（a）=0（B） f+（a）0（C） f+（a）0（D）f +（a）04 设 f（ x）在（1，1+）内存在导
2、数，f （x）严格单调减少，且 f（1）=f（ 1） =1，则（ ）（A）在（1，1）和（1，1+）内均有 f（x）x（B）在（ 1，1）和（ 1，1+）内均有 f（x）x（C）在（ 1，1）有 f（x）x，在（1，1+）内均有 f（x）x（D）在（1，1）有 f（x）x，在（1，1+ ）内均有 f（x）x5 已知 f（x）在 x=0 的某个邻域内连续，且 f（0）=0， 则在点x=0 处 f（x）（ ）（A）不可导（B）可导且 f（0）0（C）取得极大值（D）取得极小值6 设一元函数 f（x）有下列四条性质。f （x）在a，b连续； f（x）在a，b可积；f（x）在a，b存在原函数；f（x）
3、在a，b可导。若用“P Q”表示可由性质 P 推出性质 Q，则有（ ）7 设 f（ x，y）= 则 f（x，y）在点（0，0）处（ ）（A）两个偏导数都不存在（B）两个偏导数存在但不可微（C）偏导数连续（D）可微但偏导数不连续8 设 f（ x，y）与 （x，y）均为可微函数，且 y（x，y）0。已知（x 0，y 0）是f（x， y）在约束条件 （x，y）=0 下的一个极值点，下列选项正确的是（ ）（A）若 fx（x 0，y 0）=0 ，则 fy（x 0，y 0）=0（B）若 fx（x 0，y 0）=0，则 fy（x 0，y 0）0（C）若 fx（x 0，y 0）0，则 fy（x 0，y 0）=
4、0（D）若 fx（x 0，y 0）0 ，则 fy（x 0，y 0）09 累次积分 d0cosf（rcos，rsin）rdr 可以写成（ ）10 设常数 0，且级数 an2 收敛，则级数（A）发散（B）条件收敛（C）绝对收敛（D）敛散性与 有关二、填空题11 x表示不超过 x 的最大整数，则 =_。12 已知 y=lnlnlnx，则 y =_。13 设 f（x）在 x=0 处连续，且 则曲线 f（x）在点（0，f（0）处的切线方程为_。14 15 16 设函数 f（u， ）由关系式 f（xg（y），y=x+g（y）确定，其中函数 g（y）可微，且 g（y）0，则 =_。17 D 是圆周 x2+y
5、2= Rx 所围成的闭区域，则18 幂级数 的收敛域为_。19 微分方程 的通解是_。20 微分方程（y+x 2ex）dxxdy=0 的通解为 y=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 求常数 a 与 b 的值，使 f（x）在（一 ，+）上处处连续。22 设函数 f（x）在（一，+）上有定义，在区间0，2上，f（x）=x（x 24），若对任意的 x 都满足 f（x）=kf （x+2），其中 k 为常数。 （）写出 f（x）在2，0）上的表达式； （）问 k 为何值时，f（x）在 x=0 处可导。23 设 =1，且 f“（x）0，证明 f（x）x（x0）。24 计算 012
6、5 设 ，其中 f 具有二阶连续偏导数，g 具有二阶连续导数，求26 求|z|在约束条件 下的最大值与最小值。27 设二元函数 计算二重积分f（x， y）d，其中 D=（x，y）|x|+|y|2。28 设 f（x）在 x=0 的某邻域内连续且具有连续的导数，又设 =A0，试讨论级数 是条件收敛，绝对收敛，还是发散?29 将函数 f（x）= 展开成 x 的幂级数。考研数学三（微积分）模拟试卷 136 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由题设可知|f（x）|1，因此 f（f（f（x）=1。故选 B。【知识模块】 微积分2 【正
7、确答案】 A【试题解析】 错误。举例：设 （x）= f（x）=e x，则 f（x）=1在 R 上处处连续。错误。举例：设 （x）= 则（x） 2=9 在 R 上处处连续。错误。举例：设 （x）=在 x=0 处间断。因此选 A。【知识模块】 微积分3 【正确答案】 D【试题解析】 由 f（x）在a，b上可导可知，f +（a）= 显然，xa0，又 f（a）= f（x） ，故 f（x）f（a）0，从而有 0，再由极限的局部保号性可知， 0，即 f+（a）0，故选 D。【知识模块】 微积分4 【正确答案】 A【试题解析】 f（x）在（1，1+）上严格单调减少，则 f（x）在（1，1+）是凸的，因此在此
8、区间上，y= f（x）在点（1，1）处的切线为 yl=f（1）（x1），即 y=x 在此曲线的上方（除切点外）。因此 f（x）x（x（1 ，1+），x1）。【知识模块】 微积分5 【正确答案】 D【试题解析】 因当 x0 时，1 cosx x2，故极限条件等价于 =20 从而可取 f（ x）=x 2，显然满足题设条件。而 f（x）=x 2 在 x=0 处取得极小值，故选D。【知识模块】 微积分6 【正确答案】 C【试题解析】 这是讨论函数 f（x）在区间a，b上的可导性、连续性及可积性与原函数存在性间的关系问题。由 f（x）在a，b上可导 f（x）在a，b连续f（x ）在a，b 可积且存在原函
9、数。故选 C。【知识模块】 微积分7 【正确答案】 B【试题解析】 由偏导数定义，有由对称性知 fy（0，0）=0，而上式极限不存在。事实上，故 f（x，y）在（0，0）点不可微。应选 B。【知识模块】 微积分8 【正确答案】 D【试题解析】 令 F= f（x，y）+ （x，y），若 fx（x 0，y 0）=0，由（1）得 =0 或 x（x 0，y 0）=0 。当 =0 时，由（2）得 fy（x 0，y 0）=0，但 0时，由（2）及 y（x 0，y 0）0 得 fy（x 0，y 0）0 。因而 A、B 错误。若fx（x 0，y 0）0，由（1），则 0，再由（2）及 y（x 0，y 0）0，
10、则fy（x 0，y 0）0。【知识模块】 微积分9 【正确答案】 D【试题解析】 由累次积分 f（rcos，rsin） rdr 可知，积分区域 D 为D=（ r，）|0rcos，0 。由 r= cos 为圆心在 x 轴上，直径为 1 的圆可作出 D 的图形如图 146 所示。该圆的直角坐标方程为（ x ） 2+y2= 。故用直角坐标表示区域 D 为 D=（x，y）|0y ，0x1，可见A、B、C 均不正确，故选 D。【知识模块】 微积分10 【正确答案】 C【试题解析】 取 an= ，显然满足题设条件。而此时于是由比较判别法知，级数绝对收敛，故选 C。【知识模块】 微积分二、填空题11 【正确
11、答案】 2【试题解析】 【知识模块】 微积分12 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分13 【正确答案】 【试题解析】 当 x0 时，arcslnx x 。由极限的运算法则可得从而f（x ）=1。又因为 f（x）在 x=0 处连续，所以 f（0）= f（x）=1。根据导数的定义可得 所以曲线 f（x）在点（0，f（0）处的切线方程为【知识模块】 微积分14 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分15 【正确答案】 ln2【试题解析】 【知识模块】 微积分16 【正确答案】 【试题解析】 令 u=xg（y），=y ，则【知识模块】 微积分17 【正确答案】 【试题解析】 圆
12、周 x2+y2=Rx 所围成的闭区域用极坐标表示为【知识模块】 微积分18 【正确答案】 一 1，1）【试题解析】 因为 =1，则收敛半径 R=1。当 x=一 1时，原级数为 收敛；当 x=1 时，原级数为 发散。因此收敛域为一 1，1）。【知识模块】 微积分19 【正确答案】 y=Cxe x（x0），C 为任意常数【试题解析】 原方程等价为 两边积分得 lny=lnx 一 x+C1。取C=eC1，整理得 y=Cxex（x0），C 为任意常数。【知识模块】 微积分20 【正确答案】 x（一 ex+C），C 为任意常数【试题解析】 微分方程（y+x 2ex）dx 一 xdy=0，可变形为 = e
13、x，所以其通解为 =x（一 ex+C），C 为任意常数。【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 【正确答案】 当|x|1 时，【知识模块】 微积分22 【正确答案】 （）当2x0，即 0x+22 时，则 f（x）=kf（x+2 ）=k（x+2） （x+2 ） 24=kx（x+2）（x+4），所以 f（x）在2，0）上的表达式为 f（x ）=kx（x+2）（x+4）。（）由题设知 f（0）=0。令 f（0）=f +（0），得 k= ，即当 k= 时， f（x）在 x=0 处可导。【知识模块】 微积分23 【正确答案】 由 所以 f（0）=0（因为 f“（x）存
14、在，则 f（x）一定连续）。且 f（x）在x=0 处展成一阶麦克劳林公式 f（x）= f（0）+f（ 0）x+ 因为 f“（x）0，所以 f“（ ）0，即 f（x）f（0）+f（0）x=x。【知识模块】 微积分24 【正确答案】 【知识模块】 微积分25 【正确答案】 根据复合函数的求导公式，有【知识模块】 微积分26 【正确答案】 |z|的最值点与 z2 的最值点一致，用拉格朗日乘数法，作F（x，y，z，）= z 2+（x 2+ 9y22z2）+（x+3y +3z 5）。令所以当 x=1，y= 时， |z|=1 最小；当 z=5，y= 时， |z|=5 最大。【知识模块】 微积分27 【正确答案】 因为被积函数关于 x，y 均为偶函数，且积分区域关于 x，y 轴均对称，所以 f（x，y）d= f（x，y）d ，其中 D1 为 D 在第一象限内的部分。【知识模块】 微积分28 【正确答案】 由 =A，且在 x=0 处 f（x）连续，有由于 f（x）在 x=0 的某邻域内存在连续的导数，所以当 x0 且 x 足够小时，f（x） 0，由拉格朗日中值定理，有【知识模块】 微积分29 【正确答案】 【知识模块】 微积分
