1、考研数学三（微积分）模拟试卷 148 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f（ x）在点 x0 的某邻域内有定义，且 f（x）在点 x0 处间断，则在点 x0 处必定间断的函数是（ ）（A）f（x） sinx（B） f（x）+sinx（C） f2（x）（D）|f（x） |2 设 f（ x）在点 x=a 处可导，则函数|f （x）|在点 x=a 处不可导的充分必要条件是（ ）（A）f（a）=0，且 f（a）=0（B） f（a） =0，且 f（a）0（C） f（a） 0，且 f（ a）0（D）f（a）0，且 f（a）03 设函数 f（x）在（0，+ ）
2、上具有二阶导数，且 f“（x）0，令 un=f（n）（n=1， 2， ），则下列结论正确的是（ ）（A）若 u1u 2，则u n必收敛（B）若 u1u 2，则u n必发散（C）若 u1u 2，则u n必收敛（D）若 u1u 2，则u n必发散4 已知函数 y=f（x）对一切的 x 满足 xf“（x）+3xf（x） 2=1ex，若 f（x 0）=0（x 00），则（ ）（A）f（x 0）是 f（x）的极大值（B） f（x 0）是 f（x）的极小值（C）（ x0 ，f（x 0）是曲线 y=f（x）的拐点（D）f（x 0）不是 f（x）的极值，（ x0，f（x 0）也不是曲线 y=f（x）的拐点5
3、由曲线 y=1（x1） 2 及直线 y=0 围成的图形（如图 131 所示）绕 y 轴旋转一周而成的立体体积 y 是（ ）6 设函数 f（x，y）可微，且对任意 x，y 都有 0，则使不等式 f（x 1，y 1）f （x 2，y 2）成立的一个充分条件是（ ）（A）x 1x 2，y 1y 2（B） x1x 2，y 1y 2（C） x1x 2，y 1y 2（D）x 1x 2，y 1y 27 设函数 f（x）连续，若 F（u，）= ，其中区域 Du为图 141中阴影部分，则（A）f（u 2）（B） f（u 2）（C） f（u）（D） f（u）8 下列命题成立的是（ ）9 方程 y“一 3y+2y=
4、ex+1+excos2x 的特解形式为（ ）（A）y=axe x+b+Aexcos2x（B） y=aex+b+ex（Acos2x+Bsin2x）（C） y=aex+b+xex（Acos2x+Bsin2x）（D）y=ae x+b+ex（Acos2x+Bsin2x ）二、填空题10 11 已知 则 y=_。12 设函数 y= 则 y （n） （0）=_ 。13 曲线 的斜渐近线方程为_。14 15 设 z=z（x，y）由方程 z+ez= xy2 所确定，则 dz=_。16 积分 01dx17 设 a1=1， an=2 021，则级数 （a n+1 一 an）的和为_。18 微分方程 满足初始条件
5、y|x=1=1 的特解是_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 20 证明 4arctanx x+ =0 恰有两个实根。21 设生产某产品的固定成本为 60 000 元，可变成本为 20 元件，价格函数为P=60 （P 是单价，单位：元； Q 是销量，单位：件），已知产销平衡，求：（）该商品的边际利润；（）当 P=50 时的边际利润，并解释其经济意义；（）使得利润最大的定价 P。22 23 设 f（x），g（x）在0，1上的导数连续，且 f（0）=0，f（x）0，g（x）0。证明对任何 a0，1，有 0ag（x）f（x）dx+ 01f（x）g（x）dxf（a）g（1）。24
6、 设 z= f（x，y），x=g （y，z）+ ，其中 f，g， 在其定义域内均可微，求25 求曲线 x3xy +y3=1（ x0，y0）上的点到坐标原点的最长距离与最短距离。26 计算二重积分 ，其中 D=（x，y）|0x1，0y1。27 设 an= tannxdx。（）求 （a n+an+2）的值；（）证明对任意的常数0，级数 收敛。28 设幂级数 anxn 在（一 ，+）内收敛，其和函数 y（x）满足 y“一 2xy一4y=0， y（0） =0，y （0）=1。（）证明：a n+2= an，n=1 ，2，；（）求y（x）的表达式。29 设 f（u，）具有连续偏导数，且 fu（u， ）+f
7、 （u，）=sin（12+ ）e u+，求y（x）=e 2xf（x，x）所满足的一阶微分方程，并求其通解。考研数学三（微积分）模拟试卷 148 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 若 f（x）+sinx 在 x=x0 处连续，则 f（x）=f（x）+sinxsinx 在x=x0 处连续，与已知矛盾。因此 f（x）+sinx 在点 x0 必间断。故选 B。【知识模块】 微积分2 【正确答案】 B【试题解析】 若 f（a）0，由复合函数求导法则有因此排除 C 和 D。（当f（x）在 x=a 可导，且 f（a）0 时，|f（x）|
8、在 x=a 点可导。）当 f（a）=0 时，上两式分别是|f（x）|在x=a 点的左、右导数，因此，当 f（a）=0 时，|f（x）|在 x=a 点不可导的充要条件是上两式不相等，即 f（a）0 时，故选 B。【知识模块】 微积分3 【正确答案】 D【试题解析】 本题依据函数 f（x）的性质选取特殊的函数数列，判断数列u n= f（n）的敛散性。取 f（ x）=lnx，f“（x）= 0，u 1= lnl=0 ln2=u 2，而 f（n）= lnn 发散，则可排除 A；取 f（x）= 0，u 1=1 =u2，而 f（n）=收敛，则可排除 B；取 f（x）=x 2，f“（x）=2 0，u 1=14
9、=u 2，而 f（n）=n 2发散，则可排除 C；故选 D。事实上，若 u1u 2，则 =f（ 1）0。而对任意 x（ 1，+），由 f“（x）0，所以 f（x）f（ 1） 1（1，2 ）0，对任意 2（ 1，+），f（x）=f（ 1）+f（ 2）（x 1）+（ x+）。故选 D。【知识模块】 微积分4 【正确答案】 B【试题解析】 由 f（x 0）=0 知，x=x 0 是 y=f（x）的驻点。将 x=x0 代入方程，得x0f“（x 0）+3x 0f（x 0） 2=1 ex0，即得 f“（x 0）= 0（分 x00 与x00 讨论），由极值的第二判定定理可知，f（x）在 x0 处取得极小值，故
10、选 B。【知识模块】 微积分5 【正确答案】 D【试题解析】 根据选项，需要把曲线表示成 x=x（y），于是要分成两部分：则所求立体体积为两个旋转体的体积差，其中【知识模块】 微积分6 【正确答案】 D【试题解析】 由 0，需对 x 和 y 分开考虑，则已知的两个不等式分别表示函数 f（x，y）关于变量 x 是单调递增的，关于变量 y 是单调递减的。因此，当 x1x 2，y 1y 2 时，必有 f（x 1，y 1）f（x 2，y 1）f（x 2，y 2），故选D。【知识模块】 微积分7 【正确答案】 A【试题解析】 题设图像中所示区域用极坐标表示为 0v，1ru 因此可知根据变限积分求导可得=
11、f（u 2）。【知识模块】 微积分8 【正确答案】 C【试题解析】 由于 =0 中至少有一个不成立，则级数 中至少有一个发散，故选 C。【知识模块】 微积分9 【正确答案】 D【试题解析】 齐次微分方程 y“一 3y+2y=0 的特征方程为 r 2 一 3r+2=0， 特征根为r1=1，r 2=2，则方程 y“-3y+2y=ex+1+excos2x 的特解为 y=axex+b+ex(4cos2x+Bsin2x)， 故选 D。【知识模块】 微积分二、填空题10 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分11 【正确答案】 【试题解析】 等式两边取对数，则有 等式两边分别对 x 求导，有【知
12、识模块】 微积分12 【正确答案】 【试题解析】 本题求函数的高阶导数，利用归纳法求解。【知识模块】 微积分13 【正确答案】 【试题解析】 设所求斜渐近线方程为 y= ax+b。因为于是所求斜渐近线方程为【知识模块】 微积分14 【正确答案】 【试题解析】 设 x2=t，dx=dt ，当 x=1 时，t=1；当 x=4 时，t=2。于是【知识模块】 微积分15 【正确答案】 （y 2dx+2xydy）【试题解析】 方程两端对 x 求偏导，【知识模块】 微积分16 【正确答案】 1 sin1【试题解析】 积分区域 D 如图 14 12 所示【知识模块】 微积分17 【正确答案】 2020【试题
13、解析】 级数 （a n+1 一 an）的部分和数列为 Sn=（a 2a1）+（a 3a2）+（ an+1 一 an）=a n+1an=an+11。则 an+1 一 1=2021 一 l =2 020。【知识模块】 微积分18 【正确答案】 x=y 2+y【试题解析】 将 x 看作未知函数，则 上式为 x 对 y 的一阶线性方程，又因 y|x=2=10，则将x=2，y=1 代入，得 C=1。故 x=y2+y。【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 【正确答案】 该极限式为 1型未定式，可直接利用重要极限公式进行计算，【知识模块】 微积分20 【正确答案】 令
14、f（x）=4arctanx x+ 。则有又因为 =一，根据介值定理可知，存在 （ ， +），使得 f（ ）=0。且当 x 时，f（x）0，f（x）单调下降，可得 x= 是区间（ ，+）内的唯一一个实根。因此 4arctanx x+ =0 恰有两个实根 x= 与 x=。【知识模块】 微积分21 【正确答案】 已知 P=60 ，因此 Q=1 000（60 P）。由总成本 C（P ）=60 000+20Q=1 260 000 20 000P，总收益 R（P）=PQ=100P 2+60 000P，总利润 L（P）=R（P ）C （P）=1000P 2+80 000P 1 260 000。（）边际利润L
15、（P）= 2 000P+80 000。（）当 P= 50 时的边际利润为 L（50）= 2 00050 +80 000= 20 000，其经济意义为在 P= 50 时，价格每提高 1 元，总利润减少 20 000 元。（）由于 L（P）在（0，40）递增，在（40，+）递减，故当 P=40 时，总利润最大。【知识模块】 微积分22 【正确答案】 【知识模块】 微积分23 【正确答案】 设 F （x ）= 0xg（t）f （t）dt+ 01f（t ）g （t ）dt 一 f（x）g（1）， 则 F（x）在0，1上的导数连续，并且 F（x）= g （x）f （x）f（x）g（1）=f（ x） g（
16、x）一 g（1）。 由于 x0，1 时，f（ x）0，g（x）0，因此F（x）0 ，即 F（x）在0，1上单调递减。 注意到 F （1）= 01g（t）f（t）dt +01（t）g（ t）dt f （1）g（1），故 F （1）=0 。 因此 x0，1时，F （x）F（1） =0，由此可得对任何 a0，1，有 0ag（x）f（x）dx+f（x）g（x）dxf（a）g（ 1）。 0ag（x）f（x）dx =g （x）f（ x）| 0a 一 0af（x）g（x）dx =f（a）g（a）一 0af（x）g（x）dx， 0ag（x）f（ x）dx+ 01f（x）g（x） dx =f（a）g（a）一 0
17、af（x）g（x）dx+ 01f（x）g（x）dx = f（a）g（a）+ a1f（x）g（ x） dx， 由于 x0，1时，g（x）0，因此 f（x）g（x）f（a ）g（x），xa，1， a1f（x）g（z）dx 01f（a）g（x）dx=f（a）g（1）g（a）， 从而 0ag（x ）f （x）dx+ 01f（x）g（x）dxf（a）g（a）+f（a）g（1） g（a ）=f（a）g（1）。【知识模块】 微积分24 【正确答案】 由 z= f（x，y），有 dz=f1dx+f2dy。【知识模块】 微积分25 【正确答案】 构造函数 L（x，y）=x 2+y2+（x 3xy+y31），令得
18、唯一驻点 x=1，y=1，即 M1（1，1）。考虑边界上的点，M 2（0，1），M 3（1，0），距离函数 f（x，y）= 在三点的取值分别为 f（1，1）= ，f（0，1）=1，f（1，0）=1，因此可知最长距离为 ，最短距离为 1。【知识模块】 微积分26 【正确答案】 D 是正方形区域（如图 1420）。因在 D 上被积函数分块表示为 maxx2，y 2= 于是要用分块积分法，用 y=x 将 D 分成两块：D= D 1D2，D 1=D yx，D 2=Dyx。则【知识模块】 微积分27 【正确答案】 （）因为【知识模块】 微积分28 【正确答案】 （）记 n（n 一 1）anxn2，代入微
19、分方程 y“一 2xy一 4y=0 有故有（n+2）（n+1）an+22nan 一 4an=0，即 an+2= an，n=1 ，2，。（）由初始条件 y（0）=0，y（0）=1，知 a0=0， a1=1。于是根据递推关系式 an+2= an，有a2n=0，a 2n+1= 。故【知识模块】 微积分29 【正确答案】 由 y（x）=e 2xf（x，x），有 y（x）= 一 2e2xf（x，x）+e 2xf1（x，x）+f 2（x，x），由 fu（u，）+f （u ， ）=sin （u+）e u+可得f1（x，x）+f 2（x，x）=（sin2x）e 2x。于是 y（x）满足一阶线性微分方程 y（x）+2y（x ）=sin2x。通解为 y（x）=e 2xsin2xe 2xdx+C，由分部积分公式，可得sin2xe 2xdx= （sin2xcos2x ）e 2x，所以 y（x）= （sin2xcos2x）+Ce 2x。【知识模块】 微积分
