1、考研数学三（微积分）模拟试卷 161 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 k0，且级数 收敛，则级数 ( )（A）发散（B）条件收敛（C）绝对收敛（D）敛散性与 k 的取值有关2 设 f(x)，g(x) 在区间a，b上连续，且 g(x)f(x) m，则由曲线 yg(x)，yf(x)及直线 xa， xb 所围成的平面区域绕直线 ym 旋转一周所得旋转体体积为( )（A） ab2mf(x)g(x)f(x)g(x)dx（B） ab2mf(x)g(x)f(x)g(x)dx（C） abmf(x)g(x)f(x)g(x)dx（D） abm f(x)g(x)f(
2、x)g(x)dx3 设 f(x)x 3ax 2bx 在 x1 处有极小值2，则( )（A）a1， b2（B） a1，b2（C） a0，b3（D）a0， b3二、填空题4 _5 f(sinx)cos2x3x2，则 f(x)_6 sin3xcosxdx_7 设 f(x，y)满足 2，f(x ，0)1，f y(x，0)x，则 f(x，y)_8 级数 的收敛域为_，和函数为_9 差分方程 yx1 2y x5x 2 的通解为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 求 11 12 13 设 f(x) ，求 f(x)的间断点并判断其类型14 设 f(x)连续，且 g(x) 0xx2f(xt
3、)dt，求 g(x)15 设函数 f(x)，g(x) 在a，)上二阶可导，且满足条件 f(a)g(a)，f(a) g(a) ，f(x)g(x)(xa)证明：当 xa 时，f(x) g(x)16 证明：当 x0 时，ln(1 17 求 18 求 0nxcosxdx19 求函数 f(x) 0x2(2t)e t dt 的最大值与最小值20 设平面图形 D 由 x2y 22x 与 yx 围成，求图形 D 绕直线 x2 旋转一周所成的旋转体的体积21 设 zfxyg(xyz) ，其中 f，g 可微，求 22 设 D 是由点 O(0，0) ，A(1 ，2)及 B(2，1)为顶点构成的三角形区域，计算dxd
4、y23 判断级数 的敛散性24 求级数 的收敛域与和函数25 求微分方程 yy 2 满足初始条件 y(0)y(0) 1 的特解考研数学三（微积分）模拟试卷 161 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 微积分2 【正确答案】 B【试题解析】 由元素法的思想，对x，xdx a，b，dvm g(x)2mf(x) 2)dx2mf(x)g(x)f(x) g(x)dx，则 V abdv ab2mf(x)g(x)f(x)g(x)dx ，选 (B)【知识模块】 微积分3 【正确答案】 C【试题解析】 f(x)3x 2 2axb
5、，因为 f(x)在 x1 处有极小值2，所以 解得 a0，b 3，选(C)【知识模块】 微积分二、填空题4 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分5 【正确答案】 4x【试题解析】 由 f(sinx)cos2x3x2，得 f(sinx)12sin 2x3x2，f(x)12x 23arcsinx2，f(x) 4x 【知识模块】 微积分6 【正确答案】 【试题解析】 因为 sin3xcosx (sin4xsin2x)，所以sin3xcosxdx (sin4xdxsin2xdx) 【知识模块】 微积分7 【正确答案】 y 2xy1【试题解析】 由 2y 1(x)，因为 fy(x，0)x，所
6、以 1(x)x，即2yx， 再由 2yx 得 f(x，y)y 2xy 2(x)，因为 f(x，0)1，所以 2(x)1，故 f(x，y)y 2xy1【知识模块】 微积分8 【正确答案】 2，2) ，【试题解析】 由 ，得收敛半径为 R2，当 x2 时级数收敛，当 x2 时级数发散，故级数 的收敛域为2，2)令 S(x) ，则 S(x) (2x2)【知识模块】 微积分9 【正确答案】 y(x) C(2) x【试题解析】 y x1 2y x0 的通解为 yC(2) x，令 yx1 2y x5x 2 的特解为y0(x)a 0a 1xa 2x2，代入原方程整理得 3a0a 1a 2(3a 12a 2)
7、x3a 2x25x 2，解得 y0(x) ，于是 yx1 2y x5x 2 的通解为 y(x)C(2) x 【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 【知识模块】 微积分11 【正确答案】 【知识模块】 微积分12 【正确答案】 【知识模块】 微积分13 【正确答案】 显然函数 f(x)的间断点为 x0 和 x1因为 x0 时，1 ，所以 f(x)1，即 x0 为 f(x)的第一类间断点中的可去间断点；因为 f(10) ，所以 x1 为 f(x)的第一类间断点中的跳跃间断点【知识模块】 微积分14 【正确答案】 g(x) x 20xf(xt)d(
8、xt)x 2x0f(u)dux 20xf(u)du， g(x)2x 0xf(u)dux 2f(x)【知识模块】 微积分15 【正确答案】 令 (x)f(x)g(x) ，显然 (a)(a)0，(x)0(x a) 得 (x) 0(xa)； 得 (x)0(xa)，即 f(x)g(x)【知识模块】 微积分16 【正确答案】 令 (t)ln(xt)，由拉格朗日中值定理得 ln(1 )ln(x1)lnx(1)(0)() (01)，【知识模块】 微积分17 【正确答案】 【知识模块】 微积分18 【正确答案】 0nxcosx dx 0xcosxdx 2xcosxdx (n1)nxcosx dx,0xcosx
9、dx 0cosxdx cosxdx, 2xcosxdx 0(t)costdt 0tcostdt 0costdt 23, 23xcosxdx 0(t2)costdt 0tcostdt2 0 costdt5, 则0nxcosxdx3 (2n1)n 2【知识模块】 微积分19 【正确答案】 因为 f(x)为偶函数，所以只研究 f(x)在0 ，) 内的最大值与最小值即可令 f(x)2x(2x 2)2x(2x 2)ex2 0，得 f(x)的唯一驻点为 x ，当X(0， )时，f(x)0，当 x( ，) 时， f(x)0，注意到驻点的唯一性，则 为函数 f(x)的最大值点，最大值为 ，因为 f()f()
10、0 (2t)et dt1 及 f(0)0，所以最小值为 0【知识模块】 微积分20 【正确答案】 取x，xdx 0，1 ，则 dv2(2x)( x)dx，V 01dv2 01(2x) xdx2 01(2x) xdx (1sint(cosy 1 sint)cosrdt 【知识模块】 微积分21 【正确答案】 等式 z f(xyg(xyz) 两边对 x 求偏导得 等式zf(xyg(xyz)两边对 y 求偏导得【知识模块】 微积分22 【正确答案】 将区域同 x 轴投影，令 D1(x，y)0x1， y2x，D2(x，y)1x2， y3x ， 【知识模块】 微积分23 【正确答案】 【知识模块】 微积分24 【正确答案】 令 x2x1t，则级数化为 的收敛半径为 R1，注意到tx 2x1(x ，又 t1 时，级数 由 x211 得 1x0，故级数 的收敛域为1，0 【知识模块】 微积分25 【正确答案】 令 yp，则 y 0当 p0 时，y1 为原方程的解；当p0 时，由 ，解得 p C 1y，由 y(0)y(0)1 得 C11，于是y0，解得 y C 2ex，由 y(0)1 得 C21，所以原方程的特解为ye x【知识模块】 微积分
