1、考研数学三（微积分）模拟试卷 169 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 微分方程 y4yx2 的通解为( ) 2 极坐标下的累次积分 d02cos(rcos，rsin)rdr 等于( )3 设 f(x)连续，且 2，则( )（A）f(x)在 x0 处不可导（B） f(x)在 x0 处可导且 f(0)0（C） f(c)在 x0 处取极小值（D）f(x)在 x0 处取极大值4 设 f(x) ，则 fff(x)等于( )（A）0（B） 1（C）（D）二、填空题5 _6 设 f(x)在 xa 处可导，则 _7 _8 设 zz(x， y)由 ze zxy 2
2、确定，则 dz_9 设函数 (u)可导且 (0)1，二元函数 z(x y)exy 满足 ，则 (u)_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 求 11 12 设曲线 yx n 在点(1，1)处的切线交 x 轴于点( n，0)，求 n2n13 设 y ，求 y14 设 f(x)二阶可导，f(0)0，令 g(x) (1)求 g(x)； (2) 讨论 g(x)在 x0 处的连续性15 证明：1xln(x 16 求下列不定积分：17 求 18 设 f(x) dx19 设 f(x)在区间0，1上可积，当 0xy1 时， f(x)f(y) arctanx arctany又 f(1)0，证明
3、： 01f(x)dx ln220 设 zyf(x 2y 2)，其中 f 可导，证明： 21 设变换 可把方程 0，求常数 a22 计算 (3xyy 2)d，其中 D 由 yx 2，y4x 2 及 y1 围成23 设 an2， an1 (n1，2，)证明：(1) an 存在； (2)级数 收敛24 求微分方程 xy(1 x)y e 2x(x0)满足 y(x)1 的特解25 求微分方程 yyx 23cosx 的通解考研数学三（微积分）模拟试卷 169 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 微分方程 y4y0 的特征方程为 240，
4、特征值为2，2，则方程 y4y0 的通解为 C1e2x C 2e2x，显然方程 y4yx2 有特解 ，选(D)【知识模块】 微积分2 【正确答案】 A【试题解析】 累次积分所对应的二重积分的积分区域为 D：x 2y 22x(y0)，则D(x，y)0x2 ，0y )，选(D) 【知识模块】 微积分3 【正确答案】 D【试题解析】 由 2 得 f(0)1，由极限的保号性，存在 0，当0x 时， 0，即 f(x)1f(0)，故 x0 为 f(x)的极大点，选(D) 【知识模块】 微积分4 【正确答案】 B【试题解析】 ff(x) 因为f(x) 1，所以 ff(x)1，于是 fff(x)1，选(B)【
5、知识模块】 微积分二、填空题5 【正确答案】 2【试题解析】 【知识模块】 微积分6 【正确答案】 10f(a)f(a)【试题解析】 因为 f(x)在 xa 处可导，所以 f(x)在 xa 处连续， 2f(a)5f(a)10f(a)f(a)【知识模块】 微积分7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分8 【正确答案】 【试题解析】 z e zxy 2 两边求微分得 d(ze z) d(xy2)，即dze zdzy 2dx2xydy ，解得 dz 【知识模块】 微积分9 【正确答案】 【试题解析】 令 xyu，得 (u)e xyy(u)e xy， (u)e xyx(u)exy， 2(u
6、)e xyu(u)e xy，由 0 得 2(u)u(u) 0 或 (u) (u)0，解得 (u) ，再由 (0)1 得 C1，故 (u) 【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 【知识模块】 微积分11 【正确答案】 【知识模块】 微积分12 【正确答案】 yx 2 在点(1，1)处的切线方程为 y1n(x1)，令 y0 得n1 e 2 【知识模块】 微积分13 【正确答案】 y 2sin(2x1)cos(2x1)2 sin(4x2)【知识模块】 微积分14 【正确答案】 (1)因为 f(0)g(0)，所以 g(x)在 x0 处连续当 x0 时
7、，；当 x0 时，由 所以 g(x)在 x0 处连续【知识模块】 微积分15 【正确答案】 令 f(x)ln(x )0，得 x0，因为 f(x) 0，所以x0 为 f(x)的最小值点，最小值为 f(0)0，所以有 1xlnx(x【知识模块】 微积分16 【正确答案】 【知识模块】 微积分17 【正确答案】 【知识模块】 微积分18 【正确答案】 【知识模块】 微积分19 【正确答案】 由f(x)f(x) f(1)arctanxarctan1arctanx得 01f(x)dx 01f(x)dx 01arctanx arctanx)dx 01【知识模块】 微积分20 【正确答案】 2xyf(x 2
8、y 2)， f(x 2y 2)2y 2f(x2y 2)，则2yf(x 2y 2) (x2y 2)2yf(x 2y 2) 【知识模块】 微积分21 【正确答案】 将 u，v 作为中间变量，则函数关系为 zf(u，v)， ，则有【知识模块】 微积分22 【正确答案】 (3xyy 2)d 【知识模块】 微积分23 【正确答案】 (1)因为 an1 ，所以 单调减少，而 an0，即 是单调减少有下界的数列，根据极限存在准则 an 存在(2)由(1)得 0 ana n1 ，对级数 (ana n1 )，S n(a 1a 2)(a 2a 3) (a na n1 )2a n1 ，【知识模块】 微积分24 【正确答案】 【知识模块】 微积分25 【正确答案】 特征方程为 210，特征值为 1i， 2i，方程 yy0的通解为 yC 1cosxC 2sinx对方程 yyx 23，特解为 y1x 21；对方程y y cosx，特解为 xsinx，原方程的特解为 x21 xsinx，则原方程的通解为 yC 1cosxC 2sinxx 21 xsinx【知识模块】 微积分
