1、考研数学三（微积分）模拟试卷 180 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 (xa)，则 等于( )（A）e（B） e2（C） 1（D）2 下列命题成立的是( )（A）若 f(x)在 x0 处连续，则存在 0，使得 f(x)在xx 0 内连续（B）若 f(x)在 x0 处可导，则存在 0，使得 f(x)在xx 0 内可导（C）若 f(x)在 x0 的去心邻域内可导，在 x0 处连续且 f(x)存在，则 f(x)在 x0 处可导，且 f(0) f(x)（D）若 f(x)在 x0 的去心邻域内可导，在 x0 处连续且 f(x)不存在，则 f(x)在 x0
2、处不可导3 设 f(x)，g(x) 是连续函数，当 x0 时，f(x)与 g(x)是等价无穷小，令 F(x) 0xf(xt)dt，G(x) 01xg(xt)dt，则当 x0 时，F(x)是 G(x)的( )（A）高阶无穷小（B）低阶无穷小（C）同阶但非等价无穷小（D）等价无穷小4 设幂级数 an(x2) n 在 x6 处条件收敛，则幂级数 (x2) 2n 的收敛半径为( ) （A）2（B） 4（C）（D）无法确定二、填空题5 当 x0 时，xsinxcos2xcx x，则 c_， k_6 当 x0 时， 1cos 2x1，则 a _7 设函数 yy(x) 由 确定，则 yy(x)在 xln2
3、处的法线方程为_8 _9 I(x) du 在区间 1，1上的最大值为 _10 _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 设 f(x)在1，)内可导，f(x)0 且 f(x)a0，令 an 1nf(x)dx证明：a n)收敛且 0 f(1)12 求极限 13 设 f(x)连续，(x) 01f(xt)dt，且 A求 (x)，并讨论 (x)在 x0处的连续性14 设 f(x)在0，1上二阶可导，且 f(x)a，f(x) b ，其中 a，b 都是非负常数，c 为(0，1)内任意一点(1)写出 f(x)在 xc 处带 Lagrange 型余项的一阶泰勒公式；(2)证明： f(c)2a 1
4、5 设 f(x)3x 3Ax 3 (x0)，A 为正常数，问 A 至少为多少时，f(x)20？16 设 f(x)在0，1上连续，在 (0，1)内可导，且 f(0)0，f(1)1，证明：对任意的a0，b0，存在 ， (0，1)，使得17 设 S(x) 0xcost dt(1) 证明：当 nx(n1) 时，2nS(x)2(n1)；(2)求 18 设 f(x)在a，b上连续可导，且 f(a)f(b)0证明：f(x) abf(x) dx(axb)19 设 uu(x ，y，z)连续可偏导，令 (1)若，证明：u 仅为 与 的函数(2) 若，证明：u 仅为 r 的函数20 计算 01dx dy21 设 f
5、(x，y)，g(x，y)在平面有界闭区域 D 上连续，且 g(x，y)0证明：存在(，)D ，使得 f(x,y)g(x,y)df(,) g(x,y)d22 设 (n1，2，；a n0，b n0) ，证明：(1)若级数 bn 收敛，则级数 an 收敛； (2)若级数 an 发散，则级数 bn 发散23 设 f(x) ，且 a01,a n1 a nn(n0，1，2，)(1)求 f(x)满足的微分方程；(2)求 24 设函数 f(x，y)可微，e coty，求 f(x，y)25 质量为 1g 的质点受外力作用作直线运动，外力和时间成正比，和质点的运动速度成反比， 在 t10 s 时，速度等于 50
6、cms外力为 392 cm s 2，问运动开始1 min 后的速度是多少?考研数学三（微积分）模拟试卷 180 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 因为 ，所以 0，于是，选(D)【知识模块】 微积分2 【正确答案】 C【试题解析】 设 f(x) 显然 f(x)在 x0 处连续，对任意的 x00，因为 f(x)不存在，所以 f(x)在 x0 处不连续，(A)不对；同理 f(x)在 x0 处可导，对任意的 x00，因为 f(x)在 x0 处不连续，所以 f(x)在 x0 处也不可导，(B)不对；因为 f()，其中 介于 x0
7、与 x 之间，且 f(x)存在，所以也存在，即 f(x)在 x0 处可导且 f(x0) f(x)，选(C) ；令f(x)不存在，(D) 不对【知识模块】 微积分3 【正确答案】 D【试题解析】 F(x) 0xf(xt)dt 0xf(xt)d(x t) 0xf(u)du，G(x) 01xg(xt)dt 0xg(u)du，则 1，选(D)【知识模块】 微积分4 【正确答案】 A【试题解析】 因为 an(x2) n 在 x6 处条件收敛，所以级数 anxn 的收敛半径为 R4，又因为级数 anxn 有相同的收敛半径，所以的收敛半径为 R4，于是 (x2) 2n 的收敛半径为 R2，选(A)【知识模块
8、】 微积分二、填空题5 【正确答案】 ，3【试题解析】 因为 x0 时，sinxx (x 3)，cos2x 1 (x 2)12x 2(x 2)，sinxcos2xx 3(x 3)，所以 xsinxcos2x x3(x 3)x3，故 c ，k3【知识模块】 微积分6 【正确答案】 3【试题解析】 因为(1 x2，cos 2x1(cosx1)(cosx1)x 2，且(1 1cos 2x1，所以 a3【知识模块】 微积分7 【正确答案】 (xln2)【试题解析】 当 xln2 时，t1；当 t1 时，y0(1)当 t1 时，由1， 0yeu2du t21arcsinudu0 两边对 t 求导数得2t
9、arcsint 20，则 ，则法线方程为 y(xln2)(2)当 t1 时，由1 0yeu2du t21arcsinudu0 两边对 t 求导得ey2 2tarcsint 20，则 ，法线方程为y (xln2)，即法线方程为 y (xln2)【知识模块】 微积分8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分9 【正确答案】 ln3【试题解析】 I(x)0，当x 时， I(x)0，所以 x 为 f(x)在1，1上的最小值点，又 I(1) 01ln(u 2u 1) 010，I(1) 01 duln(u 2u1) 1 0(0ln3)ln3，故 I(x)在 1，1上的最大值为 ln3【知识模块】
10、 微积分10 【正确答案】 3e【试题解析】 【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 因为 f(x)0，所以 f(x)单调减少又因为 an1 a nf(n1) nn1 f(x)dxf(n1)f()0( n，n1)，所以a n单调减少因为an kk1 f(k)f(x)dxf(n)，而 kk1 f(k)f(x)dx0(k1，2，n1)且f(x)a 0，所以存在 X0，当 xX 时，f(x)0由 f(x)单调递减得 f(x)0(x1，) ，故 anf(n)0，所以 an 存在由 anf(1)f(2) 12f(x)dxf(n) n1 nf(x)dx，而
11、 f(k) k1 kf(x)dx0(k2，3，n)，所以 anf(1)，从而 0 anf(1)【知识模块】 微积分12 【正确答案】 【知识模块】 微积分13 【正确答案】 当 x0 时，(x) 01f(xt)dt 01f(xt)d(xt) 0xf(u)du，(x)xf(x) 0xf(u)du当 x0 时，(0) 01f(0)dt 0，因为(0)，所以 (x)在x0 处连续【知识模块】 微积分14 【正确答案】 (1)f(x) f(c)f(c)(xc) (xc) 2，其中 介于 c 与 x 之间(2)分别令 x0，x1，得 f(0)f(c) f(c)c c2， 1(0,c)，f(1)f(c)f
12、(c)(1c) (1c 2)， 2(c,1)，两式相减，得 f(c)f(1)f(0)(1c) 2，利用已知条件，得f(c) 2a c2(1c) 2，因为c2(1c) 21，所以f(c)2a 【知识模块】 微积分15 【正确答案】 f(x)20 等价于 A20x33x 5， 令 (z)20x 23x 5，由 (x)60x 215x 40，得 x2， (x)120x60x 3，因为 (2)2400，所以x2 为 (x)的最大值点，最大值为 (2)64，故 A 至少取 64 时，有 f(x)20【知识模块】 微积分16 【正确答案】 因为 f(x)在0 ，1上连续，f(0) 0，f(1)1，且 f(
13、0) f(1)，所以由端点介值定理，存在 c(0，1)，使得 f(c) 由微分中值定理，存在 (0，c)，(c ，1)，使得【知识模块】 微积分17 【正确答案】 (1)当 nx(n1) 时， 0ncostdt 0xcost dt 0(n1)costdt， 0ncostdtn 0costdtn costdt2n costdt2n， 0(n1) cost dt 2(n1)，则 2nS(x)2(n1)(2)由 nx(n1)，得，从而 ，根据夹逼定理得【知识模块】 微积分18 【正确答案】 因为 且 f(a)f(b)0，所以两式相加得f(x) abf(x) dx【知识模块】 微积分19 【正确答案】
14、 (1)因为，所以u 是不含 r 的函数，即 u 仅为 与 的函数从而t(r 2cos2cossin)t(r 2sin2cossin)t(r 2sincos()0，故 u 仅是 r 的函数，即 u 不含 与 【知识模块】 微积分20 【正确答案】 【知识模块】 微积分21 【正确答案】 因为 f(x，y)在 D 上连续，所以 f(x，y)在 D 上取到最大值 M 和最小值 m，故 mf(x，y)M，又由 g(x，y)0 得 mg(x，y)f(x，y)g(x ，y)Mg(x ，y)积分得 m g(x,y)d f(x,y)g(x,y)dM g(x,y)d(1)当 g(x，y)d0 时，f(x，y)
15、g(x，y)d 0，则对任意的(，)D，有 f(x,y)g(x,y)df(,) g(x,y)d(2)当 g(x,y)d0 时，【知识模块】 微积分22 【正确答案】 (1)由 ，则数列单调递减有下界，根据极限存在准则，【知识模块】 微积分23 【正确答案】 f(x)xe x则 f(x)满足的微分方程为 f(x)f(x)xe x，f(x) 因为 a01，所以 f(0)1，从而 C1，于是 f(x)e x 【知识模块】 微积分24 【正确答案】 coty，解得 f(0，y)Csiny由f(0， )1，得 C1，即 f(0，y)siny又由 f(x，y) ，得 lnf(x，y)xln(y)，即 f(x，y)(y)e x ，由 f(0，y)siny ，得 (y)siny，所以f(x，y)e x siny【知识模块】 微积分25 【正确答案】 由题意得 F ，因为当 t10 时，v50，F392，所以k196，从而 F ，分离变量得vdv196tdt，所以 v298t 2C，由 v t10 50，得 C8550，于是【知识模块】 微积分
