1、考研数学三（微积分）模拟试卷 186 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)在 xa 处二阶可导，则 等于( )（A）f(a)（B） f(a)（C） 2f(a)（D） f(a)2 设 f(x)二阶连续可导， ，则( ) （A）f(2)是 f(x)的极小值（B） f(2)是 f(x)的极大值（C） (2，f(2)是曲线 y f(x)的拐点（D）f(2)不是函数 f(x)的极值，(2，f(2)也不是曲线 yf(x) 的拐点3 若由曲线 y ，曲线上某点处的切线以及 x1，x3 围成的平面区域的面积最小，则该切线是( ) 二、填空题4 _5 设函数
2、 yf 满足 f(x)arctan _6 设 f(xin2) _7 _8 设 uu(x ，y) 二阶连续可偏导，且 ，若 u(x，3x)x，u x(x，3x)x 3，则 uxy(x，3x)_ 9 微分方程 xy y(x0)的通解为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 求 11 设 f(x)在a,)上连续，f(x)0，而 f(x)存在且大于零证明：f(x)在(a，) 内至少有一个零点12 已知 ，求 a，b 的值13 设 f(x)在0，1上可导， f(0)0，f(x) f(x)证明：f(x)0，x0 ，114 设 f(x)在a，b上连续，且 f(x)0，对任意的 x1，x 2
3、a，b及 01，证明：fx1(1)x 2f(x1) (1)f(x 2)15 设 f(x)在 1，1上可导， f(x)在 x0 处二阶可导，且 f(0)0，f(0) 4求16 设 x33xyy 33 确定隐函数 yy(x)，求 yy(x)的极值17 设 f(x)在( ，) 上有定义，且对任意的 x，y( ，)有f(x)f(y) x y证明： abf(x)dx(ba)f(a) (ba) 218 求曲线 y3x 21与 x 轴围成的封闭区域绕直线 y3 旋转所得的旋转体的体积19 设函数 f(x，y，z) 一阶连续可偏导且满足 f(tx，ty，tz)t kf(x，y，z) 证明：20 设 f(x，y
4、) 且 D：x 2y 22x,求 f(x，y)dxdy21 讨论级数 的敛散性22 设 yy(x) 满足 yx y，且满足 y(0)1，讨论级数 的收敛性23 设 a01， a12，a 2 ，a n1 an(n2)证明：当x1 时，幂级数 anxn 收敛，并求其和函数 S(x)24 用变量代换 xsint 将方程(1x 2) 4y0 化为 y 关于 t 的方程，并求微分方程的通解25 飞机在机场开始滑行着陆，在着陆时刻已失去垂直速度，水平速度为 v0(ms) ，飞机与地 面的摩擦系数为 ，且飞机运动时所受空气的阻力与速度的平方成正比，在水平方向的比 例系数为 kx(kgs 2m 2)，在垂直方
5、向的比例系数为ky(kg s2m 2)设飞机的质量为 m(kg)，求飞机从着陆到停止所需要的时间考研数学三（微积分）模拟试卷 186 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 微积分2 【正确答案】 A【试题解析】 由0，则存在0，当 0 x2 时，有 0，即当 x(2，2)时，f(x)0；当x(2，2) 时，f(x)0，于是 x2 为 f(x)的极小值点，选(A)【知识模块】 微积分3 【正确答案】 A【试题解析】 曲线 y2 处的切线方程为 y，由于切线位于曲线 y2 的上方，所以由曲线 y2 ，切线及 x1，x
6、3 围成的面积为 SS(t) 13S(t) t2当 t(0，2)时，S(t)0；当 t(2，3)时，S(t)0，则当 t2 时，S(t)取最小值，此时切线方程为 y ，选(A) 【知识模块】 微积分二、填空题4 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分5 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分6 【正确答案】 arcsin 2 C【试题解析】 【知识模块】 微积分7 【正确答案】 ln3【试题解析】 【知识模块】 微积分8 【正确答案】 【试题解析】 u(x，3x)x 两边对 x 求导，得 ux(x，3x) 3u y(x，3x) 1，再对 x求导，得 uxx(x，3x)6u
7、xy(x，3x)9u yy(x，3x) 0由 ，得10uxx(x，3x)6u xy(x，3x)0，u xx 3 两边对 x 求导，得 uxx(x，3x)3u xy(x，3x)3x 2，解得 uxy(x，3x) 【知识模块】 微积分9 【正确答案】 lnxC【试题解析】 【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 【知识模块】 微积分11 【正确答案】 令 f(x)k0，取 0 ，因为 f(x)k0，所以存在 X00，当 xX0 时，有f(x)k ，从而 f(x) 0，特别地，f(X 0)0，因为 f(x)在a，X 0上连续，且 f(a)f(X0)0
8、，所以存在 (a，X 0)，使得 f()0【知识模块】 微积分12 【正确答案】 由 ln(1ax) ax (x 2)，e bx1bx (x 2)，cosx 1 (x 2)得 ln(1ax)e bxcosx(a b)x x2(x 2)，【知识模块】 微积分13 【正确答案】 因为 f(x)在0 ，1上可导，所以 f(x)在0，1上连续，从而f(x)在0， 1上连续，故 f(x)在0，1上取到最大值 M，即存在 x00，1，使得f(x 0)M当 x0 0 时，则 M0，所以 f(x)0，x0，1；当 x00时，Mf(x 0) f(x0)f(0)f()x 0f() ，其中(0， x0)，故 M0，
9、于是 f(x)0，x0，1【知识模块】 微积分14 【正确答案】 令 x0x 1(1)x 2，则 x0a，b，由泰勒公式得 f(x)f(x 0)f(x 0)(xx 0) (xx 0)2，其中 介于 x0 与 x 之间，因为 f(x)0，所以 f(x)f(x0) f(x0)(xx 0)，两式相加，得 fx1(1)x 2f(x1)(1)f(x 2)【知识模块】 微积分15 【正确答案】 对x0，有 ln(1x)x 1，所以原式2【知识模块】 微积分16 【正确答案】 x 33xyy 33 两边对 x 求导得 3x23y3xy3y 2y0，因为 y(1)10，所以x1 为极小值点，极小值为 y(1)
10、1；因为 10，所以 x 为极大值点，极大值为 【知识模块】 微积分17 【正确答案】 因为(ba)f(a) abf(a)dx，所以 abf(x)dx(ba)f(a) abf(x)f(a)dx abf(x) f(a) dx ab(xa)dx (xa)2 ab (ba) 2【知识模块】 微积分18 【正确答案】 显然所给的函数为偶函数，只研究曲线的右半部分绕 y3 旋转所成的体积当 x0时，y 对x,xdx 0,1dV13 23(x 22) 2dx(2x 2x 48)dx，V 1 01dV1 01(2x2x 48)dx；对x ，xdx 1，2 ，dV 23 23(4x 2)2dx(2x 2x 4
11、8)dx，V 2 12dV2 12(2x2x 48)dx ；对 V2 (V 1V 2) 【知识模块】 微积分19 【正确答案】 令 utx，vty，wtz，f(tx，ty，tz)t kf(x，y，z) ，两边对 t 求导得【知识模块】 微积分20 【正确答案】 令 D1(x，y)1x2， yx，则 f(x，y)dxdy x2ydxdy 12x2dx ydy 12(x4x 3)dx 【知识模块】 微积分21 【正确答案】 由正项级数的比较审敛法得 收敛【知识模块】 微积分22 【正确答案】 由 yxy 得 y1y，再由 y(0)1 得 y(0)1，y(0) 2，根据麦克劳林公式，有【知识模块】 微积分23 【正确答案】 由 ，得幂级数的收敛半径 R1，所以当x1 时，幂级【知识模块】 微积分24 【正确答案】 代入原方程得 4y0，的通解为 yC 1e2t C 2e2t，故原方程的通解为yC 1e2arcsinx C 22arcsinx【知识模块】 微积分25 【正确答案】 水平方向的空气阻力 Rxk xv2，垂直方向的空气阻力 Ryk yv2，摩擦力为 W (mgR y)，由牛顿第二定律，有 g0记 A ，Bg，显然 A0，故有【知识模块】 微积分
