1、考研数学三（微积分）模拟试卷 190 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设当 x0 时，有 ax3 bx2cx 0ln(12x) sintdt，则( )（A）a ，b1，c 0（B） a ，b1，c0（C） a ，b1，c0（D）a 为任意常数， b2，c 02 f(x)g(x)在 x0 处可导，则下列说法正确的是 ( )（A）f(x)，g(x) 在 x0 处都可导（B） f(x)在 x0 处可导，g(x)在 x0 处不可导（C） f(x)在 x0 处不可导，g(x) 在 x0 处可导（D）f(x)，g(x) 在 x0 处都可能不可导3 下列说法正确
2、的是( )（A）设 f(x)在 x0 二阶可导，则 f(x)在 xx 0 处连续（B） f(x)在a，b 上的最大值一定是其极大值（C） f(x)在(a，b) 内的极大值一定是其最大值（D）若 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导，且 f(x)在(a，b)内有唯一的极值点，则该极值点一定为最值点4 累次积分 d0cosrf(rcos，rsin)dr 等于( )（A） 01dy f(x,y)dx（B） 01dy f(x,y)dx（C） 01dx01f(x,y)dy（D） 01dx f(x,y)dy二、填空题5 设 f(x)连续，且 _6 设 f(x)满足 f(x)f(x 2)，f(0)
3、0，又在(1，1)内 f(x)x，则f _7 _8 设函数 yy(x) 满足 y x( x)，且 y(1)1，则 01y(x)dx_9 设 f(x)连续，则 _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 求 11 求函数 yln(x )的反函数12 求 13 设 f(x)在0，1上二阶可导，且 f(x)1(x 0，1)，又 f(0)f(1)，证明：f(x) (x0，1)14 证明：当 x0 时，(x 21)lnx(x1) 215 设 f(x)在0，2上三阶连续可导，且 f(0)1，f(1)0，f(2) 证明：存在(0， 2)，使得 f()216 17 设 f(x)在a，b上连续且单
4、调减少证明：当 0k1 时， 0kf(x)dxk01f(x)dx18 证明：当 x0 时，f(x) 0x(tt 2)sin2ntdt 的最大值不超过 19 设 zz(x， y)满足证明：20 计算 I 21 设 an tannxdx(1)求 (ana n2 )的值；(2)证明：对任意常数 0，收敛22 求幂级数 的和函数23 设 f(x)为偶函数，且满足 f(x)2f(x)3 0xf(tx)dt3x2，求 f(x)24 细菌的增长率与总数成正比如果培养的细菌总数在 24 小时内由 100 增长到400，求前 12 小时后的细菌总数考研数学三（微积分）模拟试卷 190 答案与解析一、选择题下列每
5、题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 因为 ax3bx 2cx 0ln(12x) sintdt，得 a 为任意常数，b 2，选 (D)【知识模块】 微积分2 【正确答案】 D【试题解析】 令 ，显然f(x)，g(x) 在每点都不连续，当然也不可导，但 f(x)g(x)1 在任何一点都可导，选(D)【知识模块】 微积分3 【正确答案】 D【试题解析】 令 f(x) f(0)0，但 f(x)不存在，所以(A)不对；若最大值在端点取到则不是极大值，所以(B)不对；(C)显然不对，选(D) 【知识模块】 微积分4 【正确答案】 D【试题解析】 积分所对应的直角
6、坐标平面的区域为 D：0x1 ，0y ，选(D)【知识模块】 微积分二、填空题5 【正确答案】 1【试题解析】 0xtf(xt)dt x0(xu)f(u)(du)x 0xf(u)du 0xuf(u)du， 0xarctan(xt) 2dt 0xarctanu2du，【知识模块】 微积分6 【正确答案】 【试题解析】 因为在(1，1)内 f(x)x，所以在(1，1)内 f(x)由 f(0)0 得 f(x)【知识模块】 微积分7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分9 【正确答案】 【试题解析】 0rtf(r2t 2)dt 0r(r2
7、t 2)d(r2t 2) 0r2f(u)du， cos(xy)d r 2cos() ，原式【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 【知识模块】 微积分11 【正确答案】 令 f(x)ln(x )，因为 f(x)lnf(x)，所以函数 yln(x )为奇函数，于是即函数 yln(x )的反函数为 xshy【知识模块】 微积分12 【正确答案】 【知识模块】 微积分13 【正确答案】 由泰勒公式得 f(0)f(x) f(x)x f(1)x2(0，x)，f(1)f(x)f(x)(1x) f(2)(1x) 2， 2(x，1)，两式相减，得 f(x) f
8、(1)x2 f(2)(1x) 2两边取绝对值，再由f(x)1，得f(x) x2(1x) 2【知识模块】 微积分14 【正确答案】 令 (x)(x 21)lnx(x1) 2，(1)0(x)2xlnxx2 ，(1)0(x)2lnx1 ，(1)20(x)则 故 x1 为 (x)的极小值点，由其唯一性得其也为最小值点，而最小值为 (1)20，故 (x)0(x0)故 x1 为 (x)的极小值点，也为最小值点，而最小值为 (1)0，所以 x0 时，(x)0，即(x 21)lnx(x1) 2【知识模块】 微积分15 【正确答案】 由泰勒公式，得 1f(0)f(1) ， 1(0,1)，f(2)f(1) ,2(
9、1,2)，两式相减，得 ，而 f(x)0，2 ，所以存在 (0，2)，使得 f()2【知识模块】 微积分16 【正确答案】 【知识模块】 微积分17 【正确答案】 0kf(x)dx k01f(kt)dtk 01f(kx)dx，当 x0，1时，因为0k1，所以 kxx，又因为 f(x)单调减少，所以 f(kx)f(x)，两边积分得 01f(kx)dx01f(x)dx，故 k01f(kx)dxk01f(x)dx，即 0kf(x)dxk01f(x)dx【知识模块】 微积分18 【正确答案】 当 x0 时，令 f(x)(xx 2)sin2nx0 得x1，xk(k1，2，)，当 0x1 时，f(x)0；
10、当 x1 时，f(x)0( 除xk(k1，2，)外 f(x)0)，于是 x1 为 f(x)的最大值点，f(x)的最大值为f(1)因为当 x0 时，sinxx，所以当 x0，1时，(xx 2)sin2nx(xx 2)x2nx 2n1 x 2n2 ，于是 f(x)f(1) 01(xx 2)sin2nxdx01(x2n1 x 2n2 )dx【知识模块】 微积分19 【正确答案】 【知识模块】 微积分20 【正确答案】 【知识模块】 微积分21 【正确答案】 (1)a na n2 ，【知识模块】 微积分22 【正确答案】 显然该幂级数的收敛区间为1，1，而xln(1x)(1x1)xxln(1x)(1x
11、 1)则 S(x)x(1x)ln(1x)(1x1). 当 x1 时，S(1) 1，所以 S(x)【知识模块】 微积分23 【正确答案】 0xf(tx)dt 0xf(tx)d(xt) x0f(u)du 0xf(u)du， 则有f(x)2f(x)3 0xf(u)du3x2，因为 f(x)为偶函数，所以 f(x)是奇函数， 于是f(0)0，代入上式得 f(0)1 将 f(x)2f(x)3 0xf(u)du3x2 两边对 x 求导数得 f(x)2f(x)3f(x)3， 其通解为 f(x)C 1exC 2e3x 1，将初始条件代入得 f(x)1【知识模块】 微积分24 【正确答案】 设 t 时刻细菌总数为 S，则有 kS，S(0) 100，S(24) 400，SCe kt，C 100，k ，所以 S ，S(12)100 ln2200【知识模块】 微积分
