1、考研数学三（微积分）模拟试卷 211 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)= sint dt，则（A）f(x)=f(x+)（B） f(x)f(x+)（C） f(x)f(x+)（D）当 x0 时，f(x) f(x+)；当 x0 时，f(x) f(x+)2 设常数 0，I 0= ，则（A）I 0I 2（B） I0I 2（C） I0=I2（D）I 0 与 I2 的大小与 的取值有关3 下列反常积分中发散的是（A） e+(k1)（B） 0+x dx（C） -11（D） -114 设 f(t)=01ln ，则 f(t)在 t=0 处（A）极限不存在（
2、B）极限存在但不连续（C）连续但不可导（D）可导二、填空题5 设 y=f(x)满足 y= x +o(x)，且 f(0)=0，则 01f(x)dx=_6 设 f(x)在a ，b上连续可导，f(a)=f(b)=0，且 abf2(x)dx=1，则 abxf(x)f(x)dx=_7 已知 f(x)连续， 01f(x)dx=5，则 01f(x)x1f(t)dtdx=_8 设 f(x)具有连续导数，且 F(x)=0x(x2 一 t2)f(t)dt，若当 x0 时 F(x)与 x2 为等价无穷小，则 f(0)=_9 已知 f(x)= ，则 01fxf(x)dx=_10 0+x7 dx=_11 0+ =_12
3、 1+ =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 设 a0， f(x)在( 一， +)上有连续导数，求极限 -aaf(t+a)一 f(t 一 a)dt14 求 0(x)(x)一 tf(t)dt，其中 f(t)为已知的连续函数， (x)为已知的可微函数14 设 f(x)在( 一，+)连续，在点 x=0 处可导且 f(0)=0令15 试求 A 的值，使 F(x)在(一，+) 上连续；16 求 F(x)并讨论其连续性17 设 x0，a时 f(x)连续且 f(x)0(x(0，a)，又满足 f(x)= ，求f(x)18 求函数 f(x)=ex dt 在区间e，e 2上的最大值19 设曲
4、线 y=ax2+bx+c 过原点，且当 0x1 时，y0，并与 x 轴所围成的图形的面积为 ，试确定 a、b、c 的值，使该图形绕 x 轴旋转一周所得的立体体积最小20 求由直线 x=1，x=3 与曲线 y=xlnx 及过该曲线上一点处的切线围成的平面图形的最小面积21 过原点作曲线 y=lnx 的切线，设切点为 x0，且由曲线 y=lnx，直线 y=0，x=x 0 所围平面图形的面积与由曲线 y=x3，直线 y=0，x=a 所围平面图形的面积相等，求 a的值21 设 P(a，b)是曲线 y= 上的点，且 a522 求 P 点处的切线方程；23 由() 中的切线与曲线及 x 轴，y 轴所围成图
5、形绕 x 轴旋转，把所得旋转体的体积表示成 a 的函数，并求其最小值23 求下列平面图形的面积：24 y=x，y=xlnx 及 x 轴所围图形；25 y=sinx，y=cosx，x=0 ，x=2 所围图形26 设由曲线 y= 与直线 y=a(其中常数 a 满足 0a 1)以及 x=0x=1 围成的平面图形(如图的阴影部分)绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积为 V(a)，求 V(a)的最小值与最小值点27 设 f(x)为非负连续函数，且满足 f(x)0xf(x 一 t)dt=sin4x，求 f(x)在0， 上的平均值28 设函数 f(x)在0，1上连续，在 (0，1)内可导，且 3 f(x)dx
6、=f(0)证明：在(0，1)内至少存在一点 c，使 f(c)=029 设 f(x)为连续函数，证明：30 设 f(x)在A，B上连续，AabB，求证：30 设 f(x)在( 一，+)上具有连续导数，且 f(0)0令 F(x)=0x(2t 一 x)f(t)dt 求证：31 若 f(x)为奇函数，则 F(x)也是奇函数32 (0， 0)是曲线 y=F(x)的拐点33 证明：当 x0 且 n 为自然数时 0x(t 一 t2)sin2ntdt 考研数学三（微积分）模拟试卷 211 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 在积分 sint
7、dt 中，令 u=t+，则 f(x)=+sinudu=f(x+)故应选A【知识模块】 微积分2 【正确答案】 A【试题解析】 当 0x一 x，所以 I1 一 I20故选 A【知识模块】 微积分3 【正确答案】 D【试题解析】 对于(A) ：由于当 k1 时收敛由排除法可知，应选 D【知识模块】 微积分4 【正确答案】 C【试题解析】 f(0)= 01lnxdx=(xlnx 一 x) 01=一 1因 f(t)=一 1=f(0)，故函数 f(t)在 t=0 处连续又 f -(0)=，故 f(x)在 t=0 处不可导选 C【知识模块】 微积分二、填空题5 【正确答案】 【试题解析】 由 f(0)=0
8、 可得 C=0于是 f(x)= 由定积分几何意义得 01f(x)dx=01【知识模块】 微积分6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分7 【正确答案】 【试题解析】 设 F(x)=1xf(t)dt，从而 F(x)=f(x)，且 F(1)=0，F(0)= 10f(t)dt=一 01f(t)dt 01f(x)x1f(t)dtdx=一 01f(x)F(x)dx=一 01F(x)dF(x) =一【知识模块】 微积分8 【正确答案】 【试题解析】 由于 F(x)= 0x(x2 一 t2)f(t)dt=x20xf(t)dt 一 0xxt2f(t)dt，所以 F(x)=2x0xf(t)dt+x2
9、f(x)一 x2f(x)=2x0xf(t)dt又依题设，当 x0 时 F(x)与 x2 为等价无穷小，从而【知识模块】 微积分9 【正确答案】 (e-11)【试题解析】 用分部积分法由于 f(x)= ，故【知识模块】 微积分10 【正确答案】 3【试题解析】 令 x2=t，则【知识模块】 微积分11 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分12 【正确答案】 ln(1+ )【试题解析】 因(xe x)=ex(x+1)，令 xex=t，则 dt=ex(x+1)dx，于是【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 记 I(a)= -aaf(t+
10、a)一 f(t 一 a)dt，由积分中值定理可得 I(a)= f(+a)一 f( 一 a)2a= f(+a)一 f( 一 a)，一 a a 因为 f(x)有连续导数，应用拉格朗日中值定理可得 I(a)= f()2a=f() ， 一 a+a于是f()=f(0)【知识模块】 微积分14 【正确答案】 =(x)0(x)f(t)dt+(x)f(x)(x)一 (x)f(x)(x)=(x)0(x)f(t)dt【知识模块】 微积分【知识模块】 微积分15 【正确答案】 由变上限积分性质知 F(x)在 x0 时连续为使其在 x=0 处连续，只要 F(x)=A而 故令 A=0即可【知识模块】 微积分16 【正确
11、答案】 当 x0 时 F(x)=一 f(t)dt在 x=0 处，由导数定义和洛必达法则可得故 F(x)在( 一 ，+)上连续【知识模块】 微积分17 【正确答案】 因 f(x)= ， (*) 由 f(x)连续及x2 可导知 f2(x)可导，又 f(x)0，从而 f(x)可导，且f 2(x)=2f(x)f(x)，故将上式两边对 x 求导，得 2f(x)f(x)=f(x)2x f(x)=x 在(*)式中令 x=0 可得 f(0)=0于是(*)式 两边积分( 0x)得 0xf(t)dt=0xtdt，f(0)=0 ，f(x)= ， x0，a 【知识模块】 微积分18 【正确答案】 若 f(x)在a ，
12、b上连续，其最大(小)值的求法是：求出 f(x)在(a，b)内的驻点及不可导点处的函数值，再求出 f(a)与 f(b)，上述各值中最大(小)者即最大(小)值；若 f(x)单调，则最大 (小)值必在端点处取得由 f(x)=0，xe ，e 2，可知 f(x)在e，e 2上单调增加，故【知识模块】 微积分19 【正确答案】 首先，已知该曲线过原点，因而 c=0又当 0x1 时，y0，可知a0，a+b于是该曲线在 0x1 上与 x 轴所围面积为 01(ax2+bx)dx= 该图形绕 x 轴旋转一周所得的立体体积为 V=01y2dx=01(ax2+bx)2dx 可知，要使该图形绕 x 轴旋转一周所得立体
13、体积最小，a，b 的值应分别是 b=【知识模块】 微积分20 【正确答案】 设(x 0，y 0)为切点，如图 31，则切线方程为 yy 0=(1+lnx0)(x 一x0)由此可知所围图形面积为 S= 13xlnx 一y 0+(1+lnx0)(x 一 x0)dx = ln322y0+(1+lnx0)(42x0) = ln32 一2x 0lnx0+(1+lnx0)(42x0) = ln36+2x0 一4lnx0， 故当 x0=2 时，S 取得最小值，且 minS= ln324ln2【知识模块】 微积分21 【正确答案】 曲线 y=lnx 上一点(x 0，lnx 0)的切线方程为 y 一 lnx0=
14、 (x 一x0)由于切线过原点，故有 lnx0=1x 0=e 由 y=lnx，x 0=e，y=0 所围图形面积 S=1elnxdx=(xlnx 一 x) 1e=1所以 0ax3dx= 【知识模块】 微积分【知识模块】 微积分22 【正确答案】 如图 32，P 处切线方程的斜率为 ，因而 P 处切线方程可表示为【知识模块】 微积分23 【正确答案】 该切线交 x 轴于(10 一 a，0) ，所求旋转体体积 V，可用锥体体积减去曲线部分的旋转体体积，即故使 V 取得最小值的 a= 【知识模块】 微积分【知识模块】 微积分24 【正确答案】 如图 33由 x=xlnx，知两曲线的交点为(e ，e)由
15、图形可以看出，阴影部分的面积等于三角形的面积 e2 减去定积分 1exlnxdx，即【知识模块】 微积分25 【正确答案】 如图 34所求面积为【知识模块】 微积分26 【正确答案】 由曲线 y= 与直线 y=a(其中 0a1)以及 x=0，x=1 围成的平面图 D 1=(x，y) ay1，0x ， D2=(x，y) 0ya， x1 在 D1 绕 y 轴旋转一周所得旋转体中满足yy+dy 的一层形状是圆形薄片，其半径 厚度为 dy，从而这个圆形薄片的体积 dV=(1 一 y2)dy，于是区域 D1 绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积 V 1(a)=f 一(1 一 y2)dy=a1(1 一 y2
16、)dy=1 一 a 一 在 D2 绕 y轴旋转一周所得旋转体中满足 yy+dy 的一层形状为圆环形薄片，其内半径为，外半径为 1，厚度为 dy，从而这个圆环形薄片的体积为 dV=1 一(1 一y2)dy=y2dy，故区域 D2 绕 Y 轴旋转一周所得旋转体的体积 V 2(a)=0ay2dy= a3 把 V1(a)与 V2(a)相加，就得到了 V(a)=V 1(a)+V2(a)=( a3)由于 V(a)=(2a21)=【知识模块】 微积分27 【正确答案】 令 x 一 t=u，则 0xf(x 一 t)dt=0xf(u)du于是 f(x) 0xf(u)du=sin4x，d 0xf(u)du2=2s
17、in4xdx【知识模块】 微积分28 【正确答案】 由于 3 f(x)dx=f(0)，根据积分中值定理，f() 因而 f()=f(0) ( ，1)根据题设 f(x)在0，上满足罗尔定理的条件，因此 (0，1)，使得 f(c)=0 成立【知识模块】 微积分29 【正确答案】 在左端表达式中令 x=2t，可得在式的第二个表达式中令 t= ，可得在式的第一个表达式中令 t= ，则将式与式代入式可得左= 右。【试题解析】 所证等式左右两端积分区间相同，被积函数都含 ，不同点是左端被积函数中含 为了能将 lnx 与 ln2 联系起来，可考虑换元 x=2t【知识模块】 微积分30 【正确答案】 当 xa，
18、 b，h充分小时，x+h A，B，因而 f(x+h)一 f(x)在a， b上连续对 abf(x+h)dx 作积分变量替换，则有 abf(x+h)一 f(x)dxa+hb+hf(t)dt 一 abf(t)dt=ab+hf(t)dt 一 aa+hf(t)dt 由于上式每一项对 h 可导且 h0 时均趋于零因此，由洛必达法则有 【试题解析】 下面的证法对吗? 左端= ab =abf(x)dx=f(b)一f(a)=右端 不对 !错在哪里 ?错在：1把极限运算移进积分号内(即交换积分与极限运算的顺序)没有根据；2题设中没有假设 f(x)可导，因此得不到正确证法应该是通过变量替换把 abf(x+h)一 f
19、(x)dx转化为变限积分，然后用洛必达法则求 型极限【知识模块】 微积分【知识模块】 微积分31 【正确答案】 F(x)在(一 ，+)上有定义，且 F(x)=20xtf(t)dt 一 x0xf(t)dt，故 F(一 x)=20-xtf(t)dt+x0-xf(t)dt作换元 t=一 u，则当 t：0一 x u：0x，且 dt=一 du，代入可得 x 有 F(一 x)=20x(一 u)f(一 u)(一 du)+x0xf(一 u)(一 du) =一20xu一 f(一 u)du+x0x一 f(一 u)du =一 20xuf(u)du+x0xf(u)du=一2 0xuf(u)du 一x0xf(u)du=
20、一 F(x)，这表明 F(x)是(一，+) 上的奇函数【知识模块】 微积分32 【正确答案】 显然 F(0)=0，由 f(x)在(一 ，+) 上有连续导数，且 f(0)0 知0 使当x 时 f(x)与 f(0)同号为确定起见，无妨设 f(0)0，于是当x 时 f(x)0计算可得 F(x)=2xf(x)一 0xf(t)dtxf(x)=xf(x)一 0xf(t)dt， F“(x)=xf(x)+f(x)一 f(x)=xf(x) 故(0，0) 是曲线 y=F(x)的拐点【知识模块】 微积分33 【正确答案】 令 f(x)=0x(tt2)sin2ntdt，则 f(x)=(x 一 x2)sin2nx当 0x1 时，f(x)0；当 x1 时，除 x=k(k=1，2，3，) 时 f(x)=0 外，均有 f(x)0，故 f(x)在 0x1 单调上升，在 x1 单调减小，因此 f(x)在0，+)上取最大值 f(1)又当t0 时，sintt ，于是当 x0 时有 f(x)f(1)= 01(t 一 t2)sin2ntdt01(t 一 t2)t2ndt =。【知识模块】 微积分
