1、考研数学三（微积分）模拟试卷 25 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)，g(x) 在区间a，b上连续，且 g(x)f(x) m，则由曲线 y=g(x)，y=f(x) 及直线 x=a，x=b 所围成的平面区域绕直线 y=m 旋转一周所得旋转体体积为( )（A） ab2m 一 f(x)+g(x)f(x)一 g(x)dx（B） ab2m 一 f(x)一 g(x)f(x)一 g(x)dx（C） abm 一 f(x)+g(x)f(x)一 g(x)dx（D） abm 一 f(x)一 g(x)f(x)一 g(x)dx2 在曲线 y=(x1)2 上的点
2、(2，1)处作曲线的法线，由该法线、z 轴及该曲线所围成的区域为 D(y0) ，则区域 D 绕 x 轴旋转一周所成的几何体的体积为( )二、填空题3 =_4 =_5 设 f(x)连续，则 =_6 曲线 y= (x0)与 x 轴围成的区域面积为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。7 设 f(x)在0，2上连续，在 (0，2)内可导，f(0)=f(2)=0，且f(x)2证明： 02f(x)dx28 设 f(x)在区间a，b上二阶连续可导，证明：存在 (a，b)，使得 9 求曲线 y=cosx( )与 x 轴围成的区域绕 x 轴、y 轴形成的几何体体积10 求曲线 y=x2 一 2x
3、、y=0、x=1、x=3 所围成区域的面积 S，并求该区域绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积 V11 设 L：y=e x (x0) (1)求由 y=ex、x 轴、y 轴及 x=a(a0)所围成平面区域绕x 轴一周而得的旋转体的体积 V(a) (2)设 V(c)= ，求 c12 设 y=f(x)为区间0，1上的非负连续函数 (1)证明存在 c(0，1)使得在区间0，f上以 f(c)为高的矩形面积等于区间c ，1上以 y=f(x)为曲边的曲边梯形的面积；(2)设 f(x)在(0，1)内可导，且 ，证明(1)中的 c 是唯一的13 求由圆 x2+y2=2y 与抛物线 y=x2 所围成的平面图形的面积
4、14 求双纽线(x 2+y2)2=a2(x2 一 y2)所围成的面积15 抛物线 y2=2x 把圆 x2+y2=8 分成两个部分，求左右两个部分的面积之比16 设 C1，C 2 是任意两条过原点的曲线，曲线 C 介于 C1 和 C2 之间，如果过 C 上任意一点 P 引平行于 x 轴和 y 轴的直线，得两块阴影所示区域 A，B 有相等的面积，设 C 的方程是 y=x2，C 1 的方程是 y= ，求曲线 C2 的方程17 设曲线 y=a+xx3，其中 a0当 x0 时，该曲线在 x 轴下方与 y 轴、x 轴所围成图形的面积和在 x 轴上方与 x 轴所围成图形的面积相等，求 a18 曲线 y=(x
5、 一 1)(x 一 2)和 x 轴围成平面图形，求此平面图形绕 y 轴一周所成的旋转体的体积19 设平面图形 D 由 x2+y22x 与 yx 围成，求图形 D 绕直线 x=2 旋转一周所成的旋转体的体积20 求曲线 y=3 一x 3 一 1与 x 轴围成的封闭图形绕 y=3 旋转所得的旋转体的体积21 求由曲线 y=4 一 x2 与 x 轴围成的部分绕直线 x=3 旋转一周所成的几何体的体积22 曲线 y=x2(x0)上某点处作切线，使该曲线、切线与 x 轴所围成的面积为 ，求切点坐标、切线方程，并求此图形绕 z 轴旋转一周所成立体的体积23 设曲线 (0a4) 与 x 轴、y 轴所围成的图
6、形绕 x 轴旋转所得立体体积为 V1(a)，绕 y 轴旋转所得立体体积为 V2(a)，问 a 为何值时，V 1(a)+V2(a)最大，并求最大值24 设一抛物线 y=ax2+bx+c 过点(0，0)与(1 ，2)，且 a0，确定 a，b，c，使得抛物线与 x 轴所围图形的面积最小25 设直线 y=bx 与曲线 y= 所围平面图形为 D1，它们与直线 x=1 围成平面图形为D2 (1)求 k，使得 D1 与 D2 分别绕 x 轴旋转一周成旋转体体积 V1 与 V2 之和最小，并求最小值； (2)求此时的 D1+D2考研数学三（微积分）模拟试卷 25 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，
7、只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由元素法的思想，对x，x+dx a，b， dv=m g(x)2 一 mf(x)2)dx=2m 一 f(x)一 g(x)f(x)一 g(x)dx， 则 V=abdv=ab2m 一 f(x)一 g(x)f(x)一 g(x)dx，选 B【知识模块】 微积分2 【正确答案】 D【试题解析】 过曲线 y=(x1)2 上点(2，1)的法线方程为 y=一 +2，该法线与 x轴的交点为(4，0) ，则由该法线、x 轴及该曲线所围成的区域 D 绕 x 轴旋转一周所得的几何体的体积为 V= ，选D【知识模块】 微积分二、填空题3 【正确答案】 【试题解析
8、】 【知识模块】 微积分4 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】 微积分5 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。7 【正确答案】 由微分中值定理得 f(x)一 f(0)=f(1)x，其中 0 1x，f(x)f(2)一=f(2)(x 一 2)，其中 x 22，于是 ， 从而 02f(x)dx 02f(x)dx= 01(x) dx+12ff(x)dx 012xdx+122(2 一 x)dx=2 【知识模块】 微积分8 【正确答案】 令 F(x)=abf(t)dt，则 F(x)在a
9、，b上三阶连续可导，取 ，由泰勒公式得 【知识模块】 微积分9 【正确答案】 【知识模块】 微积分10 【正确答案】 【知识模块】 微积分11 【正确答案】 【知识模块】 微积分12 【正确答案】 (1)S 1 (c)=cf(c)，S 2 (c)= c1 f(t)dt=一 1c (t)dt，即证明 S1 (c) S2 (c)，或 cf(c)+ 1cf(t)dt=0令 (x)=x1xf f(t)dt，(0)=(1)=0，根据罗尔定理，存在 c (0，1)，使得 (c)=0，即 cf(c)+ 1cf(t)dt=0，所以 S1 (c)=S2 (c)，命题得证 (2)令h(x)=xf(x)一 x1 (
10、f)dt，因为 h(x)=2f(x)+xf(x)0，所以 h(x)在0，1上为单调函数，所以(1)中的 f 是唯一的【知识模块】 微积分13 【正确答案】 【知识模块】 微积分14 【正确答案】 根据对称性，所求面积为第一卦限面积的 4 倍，令 ，则双纽线的极坐标形式为 r2=a2cos2(0 )，第一卦限的面积为 所求面积为 A=4A1=a2【知识模块】 微积分15 【正确答案】 设左边的面积为 S1，右边的面积为 S2， 【知识模块】 微积分16 【正确答案】 由题设条件：C：y=x 2，C 1：y= ，令C2：x=f(y) ， P 点坐标为(x，y)，【知识模块】 微积分17 【正确答案
11、】 设曲线 y=a+xx3 与 x 轴正半轴的交点横坐标为 ，( ) ，由条件得一 0a(a+x 一 x3)dx=(a+x 一 x3)dx，移项得 0a(a+xx3)dx+(a+xx3)dx=0(a+xx3)dx=0(4a+2 一 3)=0， 因为 0，所以 4a+2 一 3=0 又因为(， 0)为曲线 y=a+x 一 x3 与 x 轴的交点，所以有 a+ 一 3=0，从而有 =一 3aa一 3a 一 27a3=0a=一 【知识模块】 微积分18 【正确答案】 【知识模块】 微积分19 【正确答案】 【知识模块】 微积分20 【正确答案】 取x，x+dx 0，1， dv 1=32 一(x 2
12、一 1)2dx=(8+2x2 一 x4)dx， V 1=01dv=01(8+2x2 一 x4)dx， x，x+dx 1，2， dv 2=32 一(1 一 x2)2dx=(8+2x2 一 x4)dx， V 2=12dv2=12(8+2x2 一 x4)dx， 则所求体积为 V=2(V1+V2)=202(8+2x2x4)dx= 【知识模块】 微积分21 【正确答案】 【知识模块】 微积分22 【正确答案】 设切点坐标为(a，a 2)(a0)，则切线方程为 y 一 a2=2a(x 一 a)_，即 y=2ax 一 a2， 由题意得 ，解得 a=1， 则切线方程为 y=2x 一 1，旋转体的体积为 【知识模块】 微积分23 【正确答案】 曲线与 x 轴和 y 轴的交点坐标分别为(a，0)，(0，b)，其中 b=4一 a曲线可化为【知识模块】 微积分24 【正确答案】 因为曲线过原点，所以 c=0，又曲线过点(1，2)，所以a+b=2，b=2 一 a 因为 a0，所以 b0，抛物线与 z 轴的两个交点为 0， ，所以 令 S(a)=0，得 a=一 4，从而b=6，所以当 a=一 4，b=6，c=0 时，抛物线与 x 轴所围成的面积最小【知识模块】 微积分25 【正确答案】 【知识模块】 微积分
