1、考研数学三（微积分）模拟试卷 33 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 y=y(x)为微分方程 2xydx+(x2 一 1)dy=0 满足初始条件 y(0)=1 的解，则为( ) （A）一 ln3（B） ln3（C）（D）2 微分方程 y“一 y一 6y=(x+1)e2x 的特解形式为( )（A）(ax+6)e 2x（B） ax2e2x（C） (ax2+bx)e2x（D）x 2(ax+b)e2x二、填空题3 微分方程 y“+4y=4x 一 8 的通解为_4 设 y=y(x)过原点，在原点处的切线平行于直线 y=2x+1，又 y=y(x)满足微分方程
2、y“一 6y+9y=e3x，则 y(x)=_5 微分方程 2y“=3y。满足初始条件 y(2)=1，y(一 2)=1 的特解为_6 微分方程 xy= 的通解为_7 设二阶常系数非齐次线性微分方程 y“+y+qy=Q(x)有特解 y=3e4x+x2+3x+2，则Q(x)=_，该微分方程的通解为_8 以 y=C1e2x+C2ex+cosx 为通解的二阶常系数非齐次线性微分方程为_9 设 y“一 3y+ay=一 5ex 的特解形式为 Axex，则其通解为_10 设 f(x)连续，且 01f(x)+xf(xt)dt=1，则 f(x)=_11 差分方程 yx+1+2yx=5x2 的通解为_12 差分方程
3、 yx+1 一 yx=x2x 的通解为_13 差分方程 yx+1 件一 yt=2t2+1 的特解形式为 yt*=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 求微分方程 yy“=y2 满足初始条件 y(0)=y(0)=1 的特解15 求微分方程 y“一 y一 6y=0 的通解16 求微分方程 y“+4y+4y=0 的通解17 求微分方程 y“一 y+2y=0 的通解18 设二阶常系数齐次线性微分方程以 y1=e2x，y 2=2ex 一 3e2x 为特解，求该微分方程19 求微分方程 y“+2y一 3y=(2x+1)ex 的通解20 求 y“一 2y一 e2x=0 满足初始条件 y(
4、0)=1，y(0)=1 的特解21 求微分方程 y“+4y+4y=eax 的通解22 求微分方程 y“+y=x3+3+cosx 的通解23 求微分方程 xy“一 2xy+2y=2x 一 1 的通解24 设单位质点在水平面内作直线运动，初速度 v t=0=v0已知阻力与速度成正比(比例系数为 1)，问 t 为多少时此质点的速度为 ?并求到此时刻该质点所经过的路程25 设 f(x)在0，+)上连续，且 f(0)0，设 f(x)在0 ，x上的平均值等于 f(0)与 f(x)的几何平均数，求 f(x)26 设曲线 L 位于 xOy 平面的第一象限内，L 上任意一点 M 处的切线与 y 轴总相交，交点为
5、 A，已知MA=OA，且 L 经过点 ，求 L 的方程27 在上半平面上求一条上凹曲线，其上任一点 P(x，y) 处的曲率等于此曲线在该点的法线段 PQ 的长度的倒数(Q 为法线与 x 轴的交点) ，且曲线在点(1，1)处的切线与 x 轴平行28 一半球形雪堆融化速度与半球的表面积成正比，比例系数 k0，设融化过程中形状不变，设半径为 r0 的雪堆融化 3 小时后体积为原来的 ，求全部融化需要的时间29 设 f(x)在0，1上连续且满足 f(0)=1，f(x) f(x)=a(x 一 1)y=f(x)，x=0，x=1，y=0 围成的平面区域绕 x 轴旋转一周所得的旋转体体积最小，求 f(x)考研
6、数学三（微积分）模拟试卷 33 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 微积分2 【正确答案】 C【试题解析】 因为原方程的特征方程的特征值为 1=一 2， 2=3，而一 2 为其中一个特征值，所以原方程的特解形式为 x(ax+b)e2x，选 C【知识模块】 微积分二、填空题3 【正确答案】 y=C 1cos2x+C2sin2x+x 一 2【试题解析】 微分方程两个特征值为 1=一 2i， 2=2i， 则微分方程的通解为y=C1cos2x+C2sin2x+x 一 2【知识模块】 微积分4 【正确答案】 【试题解析】
7、 由题意得 y(0)=0，y(0)=2， y“一 6y+9y=e3x 的特征方程为 2 一6+9=0，特征值为 1=2=3， 令 y“一 6y+9y=e3x 的特解为 y0(x)=ax2e3x，代入得 a=， 故通解为 y=(C1+C2x)e3x+ 由 y(0)=0，y(0)=2 得 C1=0，C 2=2，则y(x)=2xe3x+ 【知识模块】 微积分5 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分7 【正确答案】 Q(x)=2+2x+312(x 2+3x+2)=一 12x2 一 34x 一 19； y=C 1e4x+C2e3x+x2+3
8、x+2【试题解析】 显然 =一 4 是特征方程 2+q=0 的解，故 q=一 12， 即特征方程为 2+ 一 12=0，特征值为 1=一 4， 2=3 因为 x2+3x+2 为特征方程 y“+y一12y=Q(x)的一个特解， 所以 Q(x)=2+2x+312(x2+3x+2)=一 12x2 一 34x 一 19， 且通解为 y=C1e4x+C2e3x+x2+3x+2(其中 C1，C 2 为任意常数) 【知识模块】 微积分8 【正确答案】 y“+y一 2y=一 sinx 一 3cosx【试题解析】 特征值为 1=一 2， 2=1，特征方程为 2+ 一 2=0， 设所求的微分方程为 y“+y一 2
9、y=Q(x)，把 y=cosx 代入原方程，得 Q(x)=一 sinx 一 3cosx，所求微分方程为 y“+y一 2y=一 sinx 一 3cosx【知识模块】 微积分9 【正确答案】 y=C 1ex+C2e4x+xex【试题解析】 因为方程有特解 Axex，所以一 1 为特征值，即(一 1)2 一 3(一 1)+a=0a=一 4，所以特征方程为 一 3 一 4=0 1=一 1， 2=4，齐次方程 y“一3y+ay=0 的通解为 y=C1ex+C2e4x，再把 Ax ex 代入原方程得 A=1，原方程的通解为 y=C1ex+C2e4x+xex【知识模块】 微积分10 【正确答案】 e x【试
10、题解析】 由 01f(x)+xf(xt)dt=1 得 01f(x)dt+01f(xt)d(xt)=1，整理得 f(x)+0xf(u)du=1，两边对 x 求导得 f(x)+f(x)=0，解得 f(x)=Cex，因为 f(0)=1，所以 C=1，故f(x)=ex【知识模块】 微积分11 【正确答案】 【试题解析】 y x+1+2yx=0 的通解为 y=C(一 2)x， 令 yx+1+2yx=5x2 的特解为 y0(x)=a0+a1x+a2x2，代入原方程整理得 3a 0+a1+a2+(3a1+2a2)x+3a2x2=5x2，解得 【知识模块】 微积分12 【正确答案】 y=C+(x 一 2)2x
11、【试题解析】 y x+1yx=0 的通解为 y=C(1)x=C， 令 yx+1 一 yx=x2x 的特解为y0=(ax+b)2x， 代入原方程得 y0=(x 一 2)2x，原方程的通解为 y=C+(x 一 2)2x【知识模块】 微积分13 【正确答案】 t(at 2+bt+c)【试题解析】 p=1，f(t)=2t 2+1，故特解形式为 yt*=t(at2+bt+c)【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 【知识模块】 微积分15 【正确答案】 特征方程为 2 一 一 6=0，特征值为 1=一 2， 2=3，则原方程的通解为 y=C1e2x+C2
12、e3x【知识模块】 微积分16 【正确答案】 特征方程为 2+4+4=0，特征值为 1=2=一 2，则原方程的通解为 y=(C1+C2x)e2x【知识模块】 微积分17 【正确答案】 特征方程为 2 一 +2=0，特征值为 ， 则原方程的通解为 【知识模块】 微积分18 【正确答案】 因为 y1=e2x，y 2=2ex 一 3e2x 为特解，所以 e2x，e x 也是该微分方程的特解，故其特征方程的特征值为 1=一 1， 2=2，特征方程为(+1)( 一 2)=0即 2 一 一 2=0，所求的微分方程为 y“一 y一 2y=0【知识模块】 微积分19 【正确答案】 特征方程为 2+2 一 3=
13、0，特征值为 1=1， 2=一 3，则 y“+2y一3y=0 的通解为 y=C1ex+C2e3x令原方程的特解为 y0=x(ax+6)ex，代入原方程得，所以原方程的通解为 y=C1ex+C2e3x【知识模块】 微积分20 【正确答案】 原方程可化为 y“一 2y=e2x，特征方程为 r2 一 2r=0，其对应的齐次线性微分方程的通解为 y=C1+C2e2x令原方程的特解为 y*=Axe2x，代入原方程得A= ，从而原方程的通解为 y=C1+(C2+ )e2x【知识模块】 微积分21 【正确答案】 特征方程为 2+4+4=0，特征值为 1=2=一 2，原方程对应的齐次线性微分方程的通解为 y=
14、(C1+C2x)e2x (1)当 a一 2 时，因为 a 不是特征值，所以设原方程的特解为 y0(x)=Aeax，代入原方程得； (2)当 a=一 2 时，因为 a=一 2 为二重特征值，所以设原方程的特解为 y0(x)=Ax2e2x，代入原方程得 【知识模块】 微积分22 【正确答案】 特征方程为 2+1=0，特征值为 1=一 1， 2=i， 方程 y“+y=0 的通解为 y=C1cosx+C2sinx 对方程 y“+y=x2+3，特解为 y1=x2+1； 【知识模块】 微积分23 【正确答案】 【知识模块】 微积分24 【正确答案】 设 t 时刻质点运动的速度为 u(t)，阻力解此微分方程得 v(t)=v0et由 v0et= 得t=ln3，从开始到 t=ln3 的时间内质点所经过的路程为 【知识模块】 微积分25 【正确答案】 【知识模块】 微积分26 【正确答案】 设点 M 的坐标为(x，y)，则切线 MA：Yy=y(Xx)令 X=0，则 Y=yxy，故 A 点的坐标为(0，yxy)【知识模块】 微积分27 【正确答案】 设所求曲线为 y=y(x)，该曲线在点 P(x，y)的法线方程为【知识模块】 微积分28 【正确答案】 设 t 时刻雪堆的半径为 r，则有【知识模块】 微积分29 【正确答案】 由 f(x)一 f(x)=a(x 一 1)得【知识模块】 微积分
