1、考研数学三（微积分）模拟试卷 44 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 y(x)是微分方程 y“+(x 一 1)y+x2y=ex 满足初始条件 y(0)=0，y(0)=1 的解，则( )（A）等于 1（B）等于 2（C）等于 0（D）不存在2 二阶常系数非齐次线性微分方程 y“一 2y一 3y=(2x+1)e-x 的特解形式为( )（A）(ax+6)e -x（B） x2e-x（C） x2(ax+b)e-x（D）x(ax+b)e -x3 设 1(x)， 2(x)， 3(x)为二阶非齐次线性方程 y“+a1(x)y+a2(x)y=f(x)的三个线性无关
2、解，则该方程的通解为( )（A）C 11(x)+2(x)+C23(x)（B） C11(x)一 2(x)+C23(x)（C） C11(x)+2(x)-1+C21(x)一 3(x)（D）C 11(x)+C22(x)+C333(x)，其中 C1+C2+C3=1二、填空题4 设 y=y(x)满足 y= +o(x)，且有 y(1)=1，则 02y(x)dx=_5 微分方程 y一 xe-y+ =0 的通解为_6 微分方程 yy“一 2(y)2=0 的通解为_7 微分方程 xy= +y 的通解为_8 以 y=C1ex+ex(C2cosx+C3sinx)为特解的三阶常系数齐次线性微分方程为 _9 设 y(x)
3、为微分方程 y“一 4y+4y=0 满足初始条件 y(0)=1，y(0)=2 的特解，则01=_10 差分方程 y 一 2y，一 32t 的通解为 y(t)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 设 f(x)是连续函数 (1)求初值问题 的解，其中 a0； (2)若f(x)k，证明：当 x0 时，有y(x) (eax 一 1)12 设有微分方程 y一 2y=(x)，其中 (x)= ，在(一，+) 求连续函数y(x)，使其在 (一，1)及(1，+)内都满足所给的方程，且满足条件 y(0)=013 设 f(x)二阶连续可导，f(0)=0，f(0)=1，且xy(x+y)一 f(x
4、)ydx+f(x)+x2ydy=0 为全微分方程，求 f(x)及该全微分方程的通解14 利用变换 x=arctant 将方程 化为 y关于 t 的方程，并求原方程的通解15 设 f(x)为偶函数，且满足 f(x)+2f(x)一 30xf(tx)dt=一 3x+2，求 f(x)16 设二阶常系数线性微分方程 y“+ay+by=ce 有特解 y=e2x+(1+x)ex，确定常数a，b，c，并求该方程的通解17 设 u= ，求f(x)18 设函数 f(x)在0，+)内可导，f(0)=1，且 f(x)+f(x)一 f(t)dt=0 (1)求f(x)；(2) 证明：当 x0 时，e -xf(x)119
5、设 y=y(x)二阶可导，且 y0，x=x(y) 是 y=y(x)的反函数(1) 将 x=x(y)所满足的微分方程 变换为 y=y(x)所满足的微分方程；(2)求变换后的微分方程满足初始条件 y(0)=0，y(0)= 的解20 设函数 f(x，y)可微，求 f(x，y)21 设函数 f(x)(x0)可微，且 f(x)0将曲线 y=f(x)，x=1，x=a(a 1)及 x 轴所围成平面图形绕 x 轴旋转一周得旋转体体积为 ，求：(1)f(x)；(2)f(x)的极值22 设函数 f(x)满足 xf(x)一 2f(x)=一 x，且由曲线 y=f(x)，x=1 及 x 轴(x0)所围成的平面图形为 D
6、若 D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体体积最小，求： (1)曲线 y=f(x)；(2)曲线在原点处的切线与曲线及直线 x=1 所围成的平面图形的面积23 位于上半平面的上凹曲线 y=y(x)过点(0，2)，在该点处的切线水平，曲线上任一点(x， y)处的曲率与 ，求y=y(x)24 一条曲线经过点(2，0)，且在切点与 Y 轴之间的切线长为 2，求该曲线25 设曲线 L1 与 L2 皆过点(1，1) ，曲线 L1 在点(x，y)处纵坐标与横坐标之商的变化率为 2，曲线 L2 在点(x ， y)处纵坐标与横坐标之积的变化率为 2，求两曲线所围成区域的面积26 用变量代换 x=sint 将方程 (1
7、 一 x2) 一 4y=0 化为 y 关于 t 的方程，并求微分方程的通解27 用变量代换 x=lnt 将方程 +e2xy=0 化 y 关于 t 的方程，并求原方程的通解28 设 y=y(x)是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率为 ，又此曲线上的点(0，1) 处的切线方程为 y=x+1，求该曲线方程，并求函数 y(x)的极值29 飞机以匀速 v 沿 y 轴正向飞行，当飞机行至 O 时被发现，随即从 x 轴上(x 0，0)处发射一枚导弹向飞机飞去(x 00)，若导弹方向始终指向飞机，且速度大小为2v (1)求导弹运行的轨迹满足的微分方程及初始条件； (2)导弹运行方程30 细菌的
8、增长率与总数成正比如果培养的细菌总数在 24 小时内由 100 增长到400，求前 12 小时后的细菌总数31 某湖泊水量为 V，每年排入湖泊中内含污染物 A 的污水量为 ，流入湖泊内不含 A 的水量为 设 1999 年底湖中 A 的含量为 5m0，超过国家规定指标为了治理污染，从 2000 年初开始，限定排人湖中含 A 污水的浓度不超过 问至多经过多少年，湖中污染物 A 的含量降到 m0 以内(设湖中 A 的浓度是均匀的)?32 在 t=0 时，两只桶内各装 10 L 的盐水，盐的浓度为 15 gL，用管子以 2 Lmin 的速度将净水输入到第一只桶内，搅拌均匀后的混合液又由管子以 2 Lm
9、in 的速度被输送到第二只桶内。再将混合液搅拌均匀，然后用 1 Lmin 的速度输出求在任意时刻 t0，从第二只桶内流出的水中含盐所满足的微分方程33 某人的食量是 2 500 卡天，其中 1200 卡天用于基本的新陈代谢在健身运动中，他所消耗的为 16 卡千克天乘以他的体重假设以脂肪形式储存的热量百分之百有效，而一千克脂肪含热量 10 000 卡，求该人体重怎样随时间变化34 一条均匀链条挂在一个无摩擦的钉子上，链条长 18 m，运动开始时链条一边下垂 8 m，另一边下垂 10 m，问整个链条滑过钉子需要多长时间?35 质量为 1 g 的质点受外力作用作直线运动，外力和时间成正比，和质点的运
10、动速度成反比，在 t=10 s 时，速度等于 50 cms外力为 392 cms 2，问运动开始 1 min 后的速度是多少?36 设非负函数 f(x)当 x0 时连续可微，且 f(0)=1由 y=f(x)，x 轴，y 轴及过点(x，0)且垂直于 x 轴的直线围成的图形的面积与 y=f(x)在0，x上弧的长度相等，求 f(x)37 设函数 f(x)二阶连续可导，f(0)=1 且有 f(x)+30xf(t)dt+2x01f(tx)dt+e-x=0，求f(x)38 高度为 h(t)(t 为时间)的雪堆在融化过程中，其侧面满足 z=h(t)一 ，已知体积减少的速度与侧面积所成比例系数为 09，问高度
11、为 130 的雪堆全部融化需要多少时间(其中长度单位是 cm，时间单位为 h)?39 早晨开始下雪整天不停，中午一扫雪车开始扫雪，每小时扫雪体积为常数，到下午 2 点扫雪 2 km，到下午 4 点又扫雪 1 km，问降雪是什么时候开始的?40 设 A 从原点出发，以固定速度 v0 沿 y 轴正向行驶， B 从(x 0，0)出发(x 00)，以始终指向点 A 的固定速度 v1 朝 A 追去，求 B 的轨迹方程41 飞机在机场开始滑行着陆，在着陆时刻已失去垂直速度，水平速度为 v0(ms) ，飞机与地面的摩擦系数为 ，且飞机运动时所受空气的阻力与速度的平方成正比，在水平方向的比例系数为 kx(kg
12、s 2m 2)，在垂直方向的比例系数为ky(kg s2m 2)设飞机的质量为 m(kg)，求飞机从着陆到停止所需要的时间考研数学三（微积分）模拟试卷 44 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 微分方程 y“+(x 一 1)y+x2y=e-x 中，令 x=0，则 y“(0)=2，于是，选 A【知识模块】 微积分2 【正确答案】 D【试题解析】 方程 y“一 2y一 3y=(2x+1)e-x 的特征方程为 x 一 2 一 3=0，特征值为 1=一 1， 2=3，故方程 y“一 2y一 3y=(2x+1)e-x 的特解形式为 x(
13、ax+b)e-x，选D【知识模块】 微积分3 【正确答案】 D【试题解析】 因为 1(x)， 2(x)， 3(x)为方程 y“+a1(x)y+a2(x)y=f(x)的三个线性无关解， 所以 1(x)一 3(x)， 2(x)一 3(x)为方程 y“+a1(x)y+a2(x)y=0 的两个线性无关解， 于是方程 y“+a1(x)y+a2(x)y=f(x)的通解为 C 11(x)一 3(x)+C22(x)一 3(x)+3(x) 即 C11(x)+C22(x)+C33(x)，其中 C3=1 一 C1 一 C2 或 C1+C2+C3=1，选D【知识模块】 微积分二、填空题4 【正确答案】 【试题解析】
14、【知识模块】 微积分5 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分6 【正确答案】 y=C【试题解析】 【知识模块】 微积分7 【正确答案】 lnx+C【试题解析】 【知识模块】 微积分8 【正确答案】 y“-3y“+4y-2y=0【试题解析】 特征值为 1=1， 2,3=1i，特征方程为( 一 1)( 一 1+i)( 一 1 一 i)=0，即 3 一 32+4 一 2=0，所求方程为 y“-3y“+4y-2y=0【知识模块】 微积分9 【正确答案】 【试题解析】 y“一 4y+4y=0 的通解为 y=(C1+C2x)e2x，由初始条件 y(0)=1，y(0)=2得 C1=1，C 2=0
15、，则 y=e2x，于是 01y(x)dx= 【知识模块】 微积分10 【正确答案】 【试题解析】 y t+1 一 2yt=0 的通解为 y(t)一 C2t， f(t)=32t，因为 2 为特征值，所以设特解为 yt*=at2t，代入原方程得 a= ，故原方程的通解为 y(t)=C2t+ 2t【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 (1)y+ay=f(x)的通解为 y=0xf(t)eatdt+Ce-ax， 由 y(0)=0 得 C=0，所以 y=e-axf(t)eatdt (2)当 x0 时，y=e -ax 0xf(t)eatdte ax0xke
16、-atdt= (eax 一 1)【知识模块】 微积分12 【正确答案】 当 x1 时，y一 2y=2 的通解为 y=C1e2x 一 1，由 y(0)=0 得C1=1，y=e 2x 一 1；当 x1 时，y一 2y=0 的通解为 y=C2e2x，根据给定的条件，y(1+0)=C2e2=y(10)=e2 一 1，解得 C2=1 一 e-2，y=(1 一 e-2)e2x，补充定义 y(1)=e2一 1，则得在(一，+)内连续且满足微分方程的函数【知识模块】 微积分13 【正确答案】 令 P(x，y)=xy(x+y)一 f(x)y，Q(x，y)=f(x)+x 2y，因为xy(x+y)一f(x)ydx+
17、f(x)+x2ydy=0 为全微分方程，所以 ，即 f“(x)+f(x)=x2， 解得f(x)=C1cosx+C2sinx+x2 一 2，由 f(0)=0，f(0)=1 得 C1=2，C 2=1， 所以 f(x)=2cosx+sinx+x2 一 2 原方程为 xy2 一(2cosx+sinx)y+2ydx+(一 2sinx+cosx+2x+x2y)dy=0，整理得 (xy 2dx+x2ydy)+2(ydx+xdy)一 2(ycoscrdx+sinxdy)+(一 ysinxdx+cosxdy)=0， 即 d( x2y2+2xy 一 2ysinx+ycosx)=0， 原方程的通解为 x2y2+2x
18、y 一2ysinx+ycosx=C【知识模块】 微积分14 【正确答案】 故原方程通解为 y=(C1+C2tanx)e-tanx+tanx 一 2【知识模块】 微积分15 【正确答案】 0xf(tx)dt=一 0xf(t 一 x)d(x 一 t)=一 x0f(-u)du=0x(u)du， 则有 f(x)+2f(x)一 30xf(u)du=一 3x+2，因为 f(x)为偶函数，所以 f(x)是奇函数， 于是 f(0)=0，代入上式得 f(0)=1 将 f(x)+2f(x)一 30xf(u)du=一 3x+2 两边对 x 求导数得 f“(x)+2f(x)一 3f(x)=一 3， 其通解为 f(x)
19、=C1ex+C2e-3x+1，将初始条件代入得 f(x)=1【知识模块】 微积分16 【正确答案】 将 y=e2x+(1+x)ex 代入原方程得(4+2a+b)e 2x+(3+2a+b)ex+(1+a+b)xex=cex，则有 解得 a=一 3，b=2，c=一 1， 原方程为 y“一3y+2y=一 ex 原方程的特征方程为 x 一 3+2=0，特征值为 1=1， 2=2，则 y“一3y+2y=0 的通解为 y=C1ex+C2e2x，于是原方程的通解为 y=C1ex+C2e2x+e2x+(1+x)ex【知识模块】 微积分17 【正确答案】 【知识模块】 微积分18 【正确答案】 (1)(x+1)
20、f(x)+(x+1)f(x)一 0xf(t)dt=0，两边求导数，得 (x+1)f“(x)=一(x+2)f(x)f(x)= 再由 f(0)=1，f(0)+f(0)=0，得 f(0)=一 1，所以 C=一 1，于是 f(x)= (2) 当 x0 时，因为 f(x)0 且 f(0)=1，所以 f(x)f(0)=1【知识模块】 微积分19 【正确答案】 ，代入原方程得 y“一 y=sinx，特征方程为 r2 一 1=0，特征根为 r1,2=1，因为 i 不是特征值，所以设特解为 y*=acosx+bsinx，代入方程得 a=0， b=一 ，于是方程的通解为 y=C1ex+C2e-x- sinx，由初
21、始条件得 C1=1，C 2=一 1，满足初始条件的特解为 y=exe-x 一 sinx【知识模块】 微积分20 【正确答案】 即 f(x，y)=(y)e -x，由 f(0，y)=siny ，得 (y)=siny，所以 f(x，y)=e -xsiny【知识模块】 微积分21 【正确答案】 【知识模块】 微积分22 【正确答案】 (1)由 xf(x)一 2f(x)=一 xf(x)一 f(x)=一 1f(x)=x+cx 2设平面图形 D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积为 V，则【知识模块】 微积分23 【正确答案】 【知识模块】 微积分24 【正确答案】 曲线在点(x，y)处的切线方程为 Yy=
22、y(Xx)， 令 X=0，则Y=yxy，切线与 y 轴的交点为 (0，yxy)，【知识模块】 微积分25 【正确答案】 【知识模块】 微积分26 【正确答案】 故原方程的通解为 y=C1e-2arcsinx+C2e2arcsinx【知识模块】 微积分27 【正确答案】 故原方程的通解为 y=C1cosex+C2sinex【知识模块】 微积分28 【正确答案】 因为曲线是上凸的，所以 y“0，由题设得【知识模块】 微积分29 【正确答案】 (1)设 t 时刻导弹的位置为 M(x，y)，根据题意得【知识模块】 微积分30 【正确答案】 【知识模块】 微积分31 【正确答案】 设从 2000 年初开
23、始，第 t 年湖中污染物 A 的总量为 m，则浓度为 ，任取时间元素t，t+dt，排入湖中污染物 A 的含量为 ，流出湖的污染物 A 的含量为 ，则在此时间元素内污染物 A 的改变量为，令 m=m0，得 t=6ln3，即至多经过 7 年，湖中污染物 A 的含量不超过 m0【知识模块】 微积分32 【正确答案】 设在任意时刻 t0，第一只桶和第二只桶内含盐分别为 m1(t)，m2(t)，在时间t ，t+【知识模块】 微积分33 【正确答案】 输入率为 2 500 卡天，输出率为(1 200+16w)，其中 w 为体重，【知识模块】 微积分34 【正确答案】 设链条的线密度为 ，取 x 轴正向为垂
24、直向下，设 t 时刻链条下垂 x(t)m，则下垂那段的长度为(10+x)m，另一段长度为(8 一 x)m，此时链条受到的重力为 (10+x)g 一(8 一 x)g=2(x+1)g 链条的总重量为 18，由牛顿第二定理F=ma 得【知识模块】 微积分35 【正确答案】 【知识模块】 微积分36 【正确答案】 【知识模块】 微积分37 【正确答案】 因为 x01f(tx)dt=0xf(u)du，所以 f(x)+30xf(t)dt+2x01f(tx)dt+e-x=0 可化为 f(x)+30xf(t)dt+20xf(t)dt+e-x=0， 两边对 x 求导得 f“(x)+3f(x)+2f(x)=e-x
25、， 由2+3+2=0 得 1=一 1， 2=一 2， 则方程 f“(x)+3f(x)+2f(x)=0 的通解为 C1e 一+C 2e-2x 令 f“(x)+3f(x)+2f(x)=e-x 的一个特解为 y0=ax e-x，代入得 a=1， 则原方程的通解为 f(x)=C1e-x+C2e-2x+xe-x 由 f(0)=1，f(0)=一 1 得 C1=0，C 2=1，故原方程的解为f(x)=e-2x+xe-x【知识模块】 微积分38 【正确答案】 【知识模块】 微积分39 【正确答案】 设单位面积在单位时间内降雪量为 a，路宽为 b，扫雪速度为 c，路面上雪层厚度为 H(t)，扫雪车前进路程为 S(t)，降雪开始时间为 T，则 H(t)=a(t一 T)，又 bH(t)s=ct，【知识模块】 微积分40 【正确答案】 【知识模块】 微积分41 【正确答案】 水平方向的空气阻力 Rx=kxv，垂直方向的空气阻力 Ry=kyv，摩擦力为 W=【知识模块】 微积分
