1、考研数学三（微积分）模拟试卷 45 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 以下 3 个命题： 若数列 un收敛于 A，则其任意子数列u ni必定收敛于 A； 若单调数列x n的某一子数列 xni收敛于 A，则该数列必定收敛于 A； 若数列x 2n与x 2n+1都收敛于 A，则数列x n必定收敛于 A 正确的个数为 ( )（A）0（B） 1（C） 2（D）32 设在区间(一，+)内 f(x)0，且当忌为大于 0 的常数时有 f(x+k)= ，则在区间(一 ，+)内函数 f(c)是 ( )（A）奇函数（B）偶函数（C）周期函数（D）单调函数3 两个无穷小比较
2、的结果是 ( )（A）同阶（B）高阶（C）低阶（D）不确定4 极限 =A0 的充要条件是 ( )（A）1（B） 1（C） 0（D）与 无关5 设当 xx 0 时，(x)，(x)都是无穷小(x)0)，则当 xx 0 时，下列表达式中不一定为无穷小的是 ( )（A）（B） 2(x)+2(x).（C） ln1+(x).2(x)（D）|(x)|+|(x)|6 设当 x0 时，f(x)=ax 3+bx 与 g(x)=0sinx(ex2 一 1)dx 等价，则 ( )（A）a= ， b=1（B） a=3，b=0（C） a= ，b=0（D）a=1 ，b=07 设 f(x)= ，则 ( )（A）x=0，x=1
3、 都是 f(x)的第一类间断点（B） x=0，x=1 都是 f(x)的第二类间断点（C） x=0 是 f(x)的第一类间断点， x=1 是 f(x)的第二类间断点（D）x=0 是 f(x)的第二类间断点，x=1 是 f(x)的第一类间断点二、填空题8 对充分大的一切 x，给出以下 5 个函数：100 2，log 10100，e 10x，x 1010， ，则其中最大的是_9 = _ 10 = _ 11 若当 x0 时，有 ，则 a _ 12 当 x 时，若有 一 1A(x 一 )k，则 A= _ ，k= _ 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 设 g(x)=ex，求 fg(x
4、)14 讨论函数 f(x)的连续性15 求极限16 求极限17 求极限18 求极限19 已知 ，求 f(x)20 设 =10，试求 ， 的值21 计算22 数列x n通项 xn=23 如果数列x n收敛，y n发散，那么x nyn是否一定发散?如果x n和y n都发散，那么x nyn的敛散性又将如何?24 计算25 计算26 求函数 的间断点，并判断它们的类型27 设 求 f(x)的间断点并判定其类型28 设 求 f(x)的间断点，并说明间断点的类型，如是可去间断点，则补充或改变定义使它连续29 设函数 f(x)在a，b上连续，x 1，x 2，x n，是a，b上一个点列，求考研数学三（微积分）
5、模拟试卷 45 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 对于命题，由数列收敛的定义可知，若数列 un收敛于 A，则对任意给定的 0，存在自然数 N，当 nN 时，恒有 |u n 一 A| ，则当 niN 时，恒有 |u ni 一 A| ，因此数列 un也收敛于 A，可知命题正确 对于命题，不妨设数列x n为单调增加的，即 x 1x2x n，其中某一给定子数列x n收敛于A，则对任意给定的 0，存在自然数 N，当 niN 时，恒有 |x ni 一 A| 由于数列x n为单调增加的数列，对于任意的 nN，必定存在 ninni+1，有
6、 一 niAxn一 Axni+1 一 A，从而 |x n 一 A|可知数列x n收敛于 A 因此命题正确对于命题，因 由极限的定义可知，对于任意给定的 0，必定存在自然数 N1，N 2； 当 2nN1 时，恒有 |x 2n 一 A|； 当 2n+1N2 时，恒有 |x 2n+1 一 A| 取 N=maxN1，N 2)，则当 nN 时，总有 |x n 一 A|因此=A可知命题正确故答案选择(D)【知识模块】 微积分2 【正确答案】 C【试题解析】 因为 f(x+2k)= =f(x)，故 f(x)是周期函数【知识模块】 微积分3 【正确答案】 D【试题解析】 如 ，(x)=x ，当 x0 时，都是
7、无穷小，但不存在，故 (x)和 (x)无法比较阶的高低【知识模块】 微积分4 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 微积分5 【正确答案】 A【试题解析】 有限个无穷小的和、差、积、绝对值还是无穷小量【知识模块】 微积分6 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 微积分7 【正确答案】 D【试题解析】 由 f(x)的表达式可知 x=0，x=1 为其间断点故 x=1 是第一类间断点，x=0 是第二类间断点，选(D)【知识模块】 微积分二、填空题8 【正确答案】 【试题解析】 当 x 充分大时，有重要关系：e axx ln x，其中， ， 0，故本题填【知识模块】 微积分9 【正确答案】
8、 e 6【试题解析】 【知识模块】 微积分10 【正确答案】 e 6【试题解析】 【知识模块】 微积分11 【正确答案】 一 3【试题解析】 当 x0 时，故 a=-3【知识模块】 微积分12 【正确答案】 【试题解析】 当 x 时，【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 【知识模块】 微积分14 【正确答案】 因为 所以 f(x)在0，+)上连续【知识模块】 微积分15 【正确答案】 【知识模块】 微积分16 【正确答案】 【知识模块】 微积分17 【正确答案】 连续使用完两次法则，又回到了起点，法则失效，正确的做法是先对式子恒等变形【知识模
9、块】 微积分18 【正确答案】 【知识模块】 微积分19 【正确答案】 【知识模块】 微积分20 【正确答案】 【知识模块】 微积分21 【正确答案】 【知识模块】 微积分22 【正确答案】 【知识模块】 微积分23 【正确答案】 在题设两种情况下，x nyn的敛散性都不能确定，现在先就 xn收敛，y n发散的情况来分析利用 这个恒等式，就可得到下述结论：若x n收敛且不收敛于零，y n发散，则x nyn必发散这是因为若x nyn收敛，且又x n收敛而极限不等于零，则从上述恒等式及极限相除法则，可知y n收敛，这与假设矛盾若 ，且y n发散，则x nyn可能收敛，也可能发散，如：xn= ，y
10、n=n，则 xnyn=1，于是x nyn收敛 xn= ，y n=(一 1)nn，则 xnyn=(一1)n，于是 xnyn发散 现在再就 xn和y n都发散的情况来分析x nyn的敛散性有下面的结论：若x n和y n都发散，且两者至少有一个是无穷大，则 xnyn必发散这是因为如果x nyn收敛，而x n为无穷大，从等式 yn= 便得到y n收敛于零，这与假设矛盾若x n和y n都不是无穷大且都发散，则 xnyn可能收敛，也可能发散，如x n=yn=(一 1)n 有 xnyn=1，于是 xnyn收敛x n=(一 1)n，y n=1 一(一 1)n，有 xnyn=(一 1)n 一 1，于是x nyn
11、发散【知识模块】 微积分24 【正确答案】 【知识模块】 微积分25 【正确答案】 【知识模块】 微积分26 【正确答案】 对于函数 F(x)的分段点 x=0，因【知识模块】 微积分27 【正确答案】 则 x=-1 为跳跃间断点【知识模块】 微积分28 【正确答案】 f(x)在(一 1，0)，(0，1)及(1，+)都是初等函数，是连续的。f(0)无定义，故 x=0 是间断点。因为，所以 x=0 为跳跃间断点。【知识模块】 微积分29 【正确答案】 本题考虑夹逼准则由 f(x)在a ，b上连续，知 ef(x)在a ，b 上非负连续，且 0me f(x)M，其中 M，m 分别为 ef(x)在a，b上的最大值和最小值，于是 0m M，故【知识模块】 微积分
