1、考研数学三（微积分）模拟试卷 49 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 其中 g(x)是有界函数，则 f(x)在 x=0 处 ( )（A）极限不存在（B）极限存在，但不连续（C）连续，但不可导（D）可导2 设函数 f(x)具有任意阶导数，且 f(x)一f(x) 2，则 f(n)= ( )（A）nf(x) n+1（B） n!f(x)n+1（C） (n+1)f(x)n+1（D）(n+1)!f(x) n+13 设函数 f(x)= ，则 ( )（A）在其有定义的任何区间(x 1，x 2)内，f(x) 必是单调减少的（B）在点 x1 及 x2 处有定义，且
2、x1x 2 时，必有 f(x1)f(x 2)（C）在其有定义的任何区间(x 1，x 2)内，f(x) 必是单调增加的（D）在点 x1 及 x2 处有定义，且 x1x 2 时，必有 f(x1)f(x 2)4 设函数 f(x)在区间a，+) 内连续，且当 xa 时， f(x)l 0，其中 l 为常数，若f(A)0，则在区间 内方程 f(x)=0 的实根个数为 ( )（A）0（B） 1（C） 2（D）35 设函数 则 f(x)在点 x=0 处 ( )（A）极限不存在（B）极限存在，但不连续（C）连续，但不可导（D）可导6 设函数 f(x)在区间(-，)内有定义，若当 x(-， )时，恒有|f(x)|
3、x 2，则 x=0 必是 f(x)的 ( )（A）间断点（B）连续，但不可导的点（C）可导的点，且 f(0)一 0（D）可导的点，且 f(0)07 当 x0 时，曲线 y=xsin ( )（A）有且仅有水平渐近线（B）有且仅有铅直渐近线（C）既有水平渐近线，也有铅直渐近线（D）既无水平渐近线，也无铅直渐近线8 f(x)=xex 的 n 阶麦克劳林公式为( )二、填空题9 设函数 且 1+bx0，则当 f(x)在 x=0 处可导时，f(0)=_10 已知 a，b e ，则不等式 成立的条件是 _ 11 设 ，则 y= _ 12 设 则 y|x=0= _ 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演
4、算步骤。13 设 ，a，b，c 是三个互不相等的数，求 y(n)14 设 y=f(ln x)ef(x)，其中 f 可微，计算15 证明：不等式 ，一x+ 16 在数 中求出最大值17 已知 y=x2sin 2x，求 y5018 设 ，求 y；19 设函数 y=f(x)由参数方程 (t一 1)所确定，其中 (t)具有二阶导数，且已知 证明：函数 (t)满足方程 =3(1+t)20 设 试问当 取何值时，f(x)在点 x=0 处，连续，可导，一阶导数连续， 二阶导数存在21 设 ，求 y(n)(n1)22 设 求 y(n)(0)23 设 f(x)满足 f(x)+ ，求 f(x)24 设 试确定常数
5、 a，b，c 使f(x)在 x=0 点处连续且可导25 求函数 y=excos x 的极值26 设函数 f(x)在一 2，2上二阶可导，且|f(x)|1，又 f(0)+f2(0)2=4试证：在(一2，2)内至少存在一点 ，使得 f“()+f“()=027 试求方程 ex=ax2(a0 为常数)的根的个数28 设 f(x)在 x0 处 n 阶可导，且 f(m)(x0)=0(m=1，2，n 一 1)，f (n)(x0)0(n2)证明：(1)当 n 为偶数且 f(n)(x0)0 时，f(x)在 x0 处取得极大值； (2)当 n 为偶数且 f(n)(x0)0 时，f(x)在 x0 处取得极小值29
6、设函数 f(x)在0，3上连续，在 (0，3)内可导，且 f(0)+f(1)+f(2)=3，f(3)=1试证：必存在 (0，3)，使 f()=030 设 f(x)在闭区间1，2上可导，证明： (1，2) ，使 f(2)一 2f(1)=f()一f()31 设 f(x)=xrcsin x， 为 f(x)在0，t上拉格朗日中值定理的中值点，0t 1，求极限32 若 x一 1证明：当 01 时，有(1+x) 1+x；当 0 或 1 时，有(1+x)1+x33 求证：当 x0 时，(x 2 一 1)ln x(x1)234 设 f(x)在闭区间0，c上连续，其导数 f(x)在开区间(0，c)内存在且单调减
7、少，f(0)=0试应用拉格朗日中值定理证明：f(a+b)f(A)+f(b)，其中常数 a，b 满足条件 0aba+bc35 证明：当 成立36 一商家销售某种商品的价格满足关系 p=702x(万元单位)，x 为销售量，成本函数为 C=3x+1(万元)，其中 x 服从正态分布 N(5p，1)，每销售一单位商品，政府要征税 t 万元，求该商家获得最大期望利润时的销售量考研数学三（微积分）模拟试卷 49 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 故f+(0)=0，从而 f(0)存在，且 f(0)=0，应选(D)【知识模块】 微积分2 【
8、正确答案】 B【试题解析】 由 f(x)=f(x)2 得 f“(x)=f(x)=(f(x) 2=2f(x)f(x)=2f(x)3，这样n=1，2 时 f(n)(x)=n!f(x)n+1 成立假 n=k 时，f (k)(x)=k!f(x)k+1 则当 n=k+1 时，有 fk+1(x)=k!(f(x)k+1=(k+1)!f(x)kf(x)=(k+1)!f(x)k+2，由数学归纳法可知，结论成立，故选(B)【知识模块】 微积分3 【正确答案】 A【试题解析】 f(x)的定义域是( 一，3)(3，+)，f(x)在区间(一，3)及(3，+)上分别是单调减少的【知识模块】 微积分4 【正确答案】 B【试
9、题解析】 答案选择(B) 【知识模块】 微积分5 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 微积分6 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 微积分7 【正确答案】 A【试题解析】 由渐近线的求法可得正确选项【知识模块】 微积分8 【正确答案】 B【试题解析】 因为 f(x)=xex，f(0)=0，f(x)=e x(1+x)，f(0)=1，f (n)(x)=ex(n+x)，f(n)(0)=n，f (n+1)(x)=ex(n+1+x)，f (n+1)(x)=er(n+1+x)，依次代入到泰勒公式，即得(B)【知识模块】 微积分二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 利用洛必达法则， 由于
10、 f(x)在 x=0 处可导，则在该点处连续，就有 b=f(0)=-1，再由导数的定义及洛必达法则，有【知识模块】 微积分10 【正确答案】 e a b【试题解析】 ，得 x=e当 xe 时，f(x)0，函数 f(x)单调减小，因此有 eab【知识模块】 微积分11 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分12 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 运用高阶导数公式，得：【知识模块】 微积分14 【正确答案】 【知识模块】 微积分15 【正确答案】 【知识模块】 微积分16 【正确答案】 先考查连续函数 由
11、得 x=e，且当 xe 时，f(x)0，f(x)单调增加；当 xe 时， f(x)0，f(x)单调减少 所以，f(e)为 f(x)当 x0 时的最大值，而2e3，于是所求的最大值必在 中取到，又因为【知识模块】 微积分17 【正确答案】 【知识模块】 微积分18 【正确答案】 两边取对数，得 两边同时对 x 求导，得【知识模块】 微积分19 【正确答案】 因为【知识模块】 微积分20 【正确答案】 因当 0 时，极限 不存在而当 0 时，故 0 时，f(x) 在 x=0 处连续当 一 10 时，即a1 时，f(0)=0，f(x)在 x=0 处可导【知识模块】 微积分21 【正确答案】 【知识模
12、块】 微积分22 【正确答案】 【知识模块】 微积分23 【正确答案】 方程两边同时对 x 求导得【知识模块】 微积分24 【正确答案】 【知识模块】 微积分25 【正确答案】 【知识模块】 微积分26 【正确答案】 f(0)一 f(一 2)=2f(1)，一 2 10， f(2)一 f(0)=2f(2)，0 22由|f(x)|1 知|f ( 1)(1)|=令 (x)=f2(x)+f(x)2，则有 (1)2，( 2)2 因为 (x)在 1， 2上连续，且 (0)=4，设 (x)在 1， 2上的最大值在 1， 2 (一 2，2)上取到，则 ()4，且 在 1， 2上可导，由费马定理有： ()=0，
13、即 2f().f()+2f().f()=0 因为|f(x)|1，且 ()4，所以f()0，于是有 f()+f“()=0， (一 2，2)【知识模块】 微积分27 【正确答案】 令 (1)不是原方程的根(2)考查区间(一，0) f(x)在(一 ，0)单调增，又 则有对0，f(x)在(一，0)有唯一零点(3) 考查区间 (0，+)f(x)在(0，2单调减，在2， +)单调增，又 于是，当f(2)0 即 a 时，f(x)在(0，+)内无零点当 时，f(x)在(0，+)有唯一零点(即 x=2)当 时， f(x)在(0，2)及(2 ，+)内分别有唯一零点，即在(0，+) 内有且仅有两个零点【知识模块】
14、微积分28 【正确答案】 n 为偶数，令 n=2k，构造极限当 f(2k)D(x0) 0 时，由极限保号性 f(x)f(x 0)，故 x0 为极大值点；当 f(2k)(x0)0 时，由极限保号性 f(x)f(x 0)，故 x0 为极小值点【知识模块】 微积分29 【正确答案】 函数 f(x)在0 ，3上连续，则 f(x)在0，2上连续，那么其在0，2上必有最大值 M 和最小值 m，于是 mf(0)M，mf(1)M，mf(2)M，由介值定理知，至少存在一点 0，2，使得于是便有 f()一 1 一 f(3)，满足罗尔定理条件，于是存在 (，3) (0，3)，使 f()=0【知识模块】 微积分30
15、【正确答案】 把所证等式 改为 x，得 xf(x)一 f(x)=f(2)一 2f(1)，f(2)一2f(1)=f()一 f()【知识模块】 微积分31 【正确答案】 因 f(x)=arcsin x 在0，t 上连续，在(0，t)内可导，对它用拉格朗日中值定理，得【知识模块】 微积分32 【正确答案】 令 f(x)=(1+x)，则有 f(x)=(1+x)-1，f“(x)=(-1)(1+x) -2由 f(x)的泰勒展开式 可知当 x一1，01 时，( 一 1)0，1+0故 0，所以 f(x)f(0)+f(0)x，即 (1+x)1+x同理可证当 x一 1，0 或 1 时，有(1+x) 1+x【知识模
16、块】 微积分33 【正确答案】 设 f(x)=(x2 一 1)ln x 一(x 一 1)2，所以 f(1)=0又因为所以当 x1 时，f“(x) 0，知 f(x)单调递增，则 f(x)f(1)=0，从而 f(x)单调递增，故 f(x)f(1)=0，原式成立 当 0x1 时，f“(x)0，知f“(x)单调递减，则 f“(x)f“(1)=20，从而 f(x)单调递增，故 f(x)f(1)=0，所以f(x)单调递减，知 f(x)f(1)=0原式成立【知识模块】 微积分34 【正确答案】 用拉格朗日中值定理 当 a=0 时，等号成立 当 a0 时，由于f(x)在区间0，a及b，a+b上满足拉格朗日中值
17、定理，所以，存在 1 (0，a)，2(b， a+b)， 1 2，使得f(a+b) 一 f(b)一f(A)一 f(0)=af(2)一 af(1)因为 f(x)在(0， c)内单调减少，所以 f(2)f(1)，于是， f(a+b)一 f(b)一f(A)一 f(0)0，即f(a+b)f(A)+f(b)【知识模块】 微积分35 【正确答案】 上式中，当 但是，2xcos x-2sin x+x 3 的符号无法直接确定，为此，令 g(x)=2xcos x 一 2sin x+x3，则 g(0)=0，且 g(x)=x2+2x(xsin x)0，所以，当 x时， g(x)=2xcos x 一 2sin x+x30【知识模块】 微积分36 【正确答案】 收益为 R=x.p，利润为 L=RCT，其中税收 T=tx于是 L=x.p一(3x+1)一 t.x=x(702x)一(3x+1)一 t.z=-02x 2+(4 一 t)x 一 1， EL=-02Ex 2+(4一 t)Ex 一 1=-02(Dx+(Ex) 2)+(4 一 t)Ex 一 1 =一 021+(5p) 2+(4 一 t).5p 一 1=-5p2+5(4 一 t)p 一 12， 【知识模块】 微积分
