1、考研数学三（微积分）模拟试卷 87 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 x0 时，（1+sinx ） x1 是比 xtanxn 低阶的无穷小，而 xtanxn 是比 l）ln（1+x 2）低阶的无穷小，则正整数 n 等于（ ）（A）1（B） 2（C） 3（D）42 设 f（ x）在 x=0 的某邻域内连续，在 x=0 处可导，且 f（0）=0 。则 （x）在 x=0 处（ ）（A）不连续（B）连续但不可导（C）可导但 （x）在 x=0 不连续（D）可导且 （x）在 x=0 连续3 设 y=f（x）在（a，b）可微，则下列结论中正确的个数是（ ） x
2、 0（a，b），若 f（x 0）0，则 Ax0 时 dy|x=x0 与 x 是同阶无穷小。 df（x）只与x（ a，b）有关。 y=f（x+Ax）f（x），则 dyy。 x时，dy y 是x 的高阶无穷小。（A）1（B） 2（C） 3（D）44 设 f（ x）=xsmx+cosx，下列命题中正确的是（ ）5 曲线 y=1x+（A）既有垂直又有水平与斜渐近线（B）仅有垂直渐近线（C）只有垂直与水平渐近线（D）只有垂直与斜渐近线6 设 F（x）= xx+2 esint dt，则 F （x）（ ）（A）为正常数（B）为负常数（C）恒为零（D）不为常数7 设 f（ x，y）= 则 f（x，y）在点（0
3、，0）处（ ）（A）两个偏导数都不存在（B）两个偏导数存在但不可微（C）偏导数连续（D）可微但偏导数不连续8 设 f（ x，y）与 （x，y）均为可微函数，且 y（x，y）0。已知（x 0，y 0）是f（x， y）在约束条件 （x，y）=0 下的一个极值点，下列选项正确的是（ ）（A）若 fx（x 0，y 0）=0 ，则 fy（x 0，y 0）=0（B）若 fx（x 0，y 0）=0，则 fy（x 0，y 0）0（C）若 fx（x 0，y 0）0，则 fy（x 0，y 0）=0（D）若 fx（x 0，y 0）0 ，则 fy（x 0，y 0）09 累次积分 0cosf（rcos，rsin）rdr
4、 可以写成（ ）10 级数 （a 0， 0）的敛散性（ ）（A）仅与 取值有关（B）仅与 取值有关（C）与 和 的取值都有关（D）与 和 的取值都无关11 微分方程 y“+y=x2+1+sinx 的特解形式可设为（ ）（A）y *=ax2+bx+c+x（Asinx 十 Bcosx）（B） y*=x（ax 2+bx+c+Asinx+Bcosx）（C） y*=ax2+bx+c+Asinx（D）y *=ax2+bx+c+Acosx二、填空题12 13 设 f（x）= ，则 f（x）=_。14 设有界函数 f（x）在（c，+ ）内可导，且 f（x）=b，则 b=_。15 16 广义积分17 设函数 f
5、（u， ）由关系式 fxg（y），y=x+g （ y）确定，其中函数 g（y）可微，且 g（y）0，则18 D 是圆周 x2+y2=Rx 所围成的闭区域，则19 幂级数 的收敛半径 R=_。20 已知 y1=e3xxe2x，y 2=exxe2x，y 3=xe2x 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的 3 个解，则该方程的通解为 y=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 设数列x n满足 0 x 1 ，x n+1=smxn（n=1，2，）。22 设 f（x）为 a，a上的连续偶函数且 f（x）0，令 F（x）= aa|xt|f（t ）dt。 （）证明 F（x）单调增加； （）
6、当 x 取何值时， F（x）取最小值； （）当 F（ x）的最小值为 f（a）一 a21 时，求函数 f（x）。23 假设函数 f（x）和 g（x）在a ，b上存在二阶导数，并且 g“（x）0，f（a）=f（b）=g （A）=g （b）=0 ，试证：（）在开区间（a，b）内 g（x）0；（）在开区间（a，b）内至少存在一点 ，使24 设 f（x）= 1xt|t| dt（x1），求曲线 y=f（x）与 x 轴所围封闭图形的面积。25 设 其中 f 具有二阶连续偏导数，g 具有二阶连续导数，求26 求|z|在约束条件 下的最大值与最小值。27 设二元函数 f（x，y）d，其中D=（x，y）|x|+
7、|y|2。28 设方程 xn+nx1=0，其中 n 为正整数。证明此方程存在唯一正实根 xn，并证明当 1 时，级数 xn收敛。29 设 an 为曲线 y=xn 与 y=xn+1（n=1，2，）所围成区域的面积，记 S1=a2n1，求 S1 与 S2 的值。30 设 y=y（x ）是区间（ ，）内过 的光滑曲线，当 x0 时，曲线上任一点处的法线都过原点，当 0x 时，函数 y（x）满足 y“+y+x=0。求函数 y（x）的表达式。考研数学三（微积分）模拟试卷 87 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 当 x0 时，（1+s
8、inx ） x1ln（ 1+sinx）x1+1=xln（1+sinx）xsmxx 2， ln（1+x 2）sln 2x 而xtanxnxx=x n+1。因此 2n+1 4，则正整数 n=2，故选 B。【知识模块】 微积分2 【正确答案】 D【试题解析】 因为因此 （x）在 x=0 连续。故选 D。【知识模块】 微积分3 【正确答案】 B【试题解析】 逐一分析。正确。因为 =f（x 0）0，因此x0 时 dy|x=x0 与x 是同阶无穷小。错误。df（x）=f（x）x，df （x）与x（ a， b）及x 有关。错误。当），=f（x）为一次函数，f（x）=ax+b，则dy=ax=y。正确。由可微概
9、念知 f（x+ x） f（x）=f（x）x+o （ x）（x0），即ydy=o（x）（ x0）。故选 B。【知识模块】 微积分4 【正确答案】 B【试题解析】 f（x）=slnx+xcosxslnx=xcosx ，因此 又f“（x）=cosx xsinx，且 故 f（0）是极小值，是极大值。应选 B。【知识模块】 微积分5 【正确答案】 A【试题解析】 函数 y 的定义域为（一，一 3）（0，+），且只有间断点 x=3，又【知识模块】 微积分6 【正确答案】 A【试题解析】 由于被积函数以 2 为周期，所以 F（x）=F（0），而 F （0）=02esintsintdt=02esintdcos
10、t =esintcost|02+02esintcos2tdt =02esintcos2tdt 0 故选A。【知识模块】 微积分7 【正确答案】 B【试题解析】 由偏导数定义，有故 f（x ，y）在（0，0）点不可微。应选 B。【知识模块】 微积分8 【正确答案】 D【试题解析】 令 F=f（x，y）+ （x，y），若 fx（x 0，y 0）=0，由（1）得 =0 或 x（x 0，y 0）=0。当 =0 时，由（2）得 fy（x 0，y 0）=0 ，但 0 时，由（ 2）及 （x 0，y 0）0 得 fy（x 0，y 0）0。因而 A、B 错误。若fx（x 0，y 0）0，由（1），则 0，再由
11、（2）及 y （x 0，y 0）0，则fy（x 0，y 0）0。【知识模块】 微积分9 【正确答案】 D【试题解析】 由累次积分 可知，积分区域 D 为由 r=cos 为圆心在 x 轴上，直径为 1的圆可作出 D 的图形如图 146 所示。该圆的直角坐标方程为+y2= 。故用直角坐标表示区域 D 为可见 A、B、C 均不正确，故选 D。【知识模块】 微积分10 【正确答案】 C【试题解析】 由于 （1）当 01 时，级数发散。（2）当 1 时，级数收敛。（ 3）当 =1 时，原级数为 当 1 时收敛，当 1 时发散，故选 C。【知识模块】 微积分11 【正确答案】 A【试题解析】 对应齐次方程
12、 y“+y=0 的特征方程为 2+1=0 特征根为 =i， 对于方程 y“+y=x2+1=e0（x 2+1），0 不是特征根，从而其特解形式可设为 y1*=ax2+bx+c， 对于方程 y“+y=sinx，i 为特征根，从而其特解形式可设为 y2*=x（ Asinx+Bcosx）， 因此 y“+y=x2+1+sinx 的特解形式可设为 y*=ax2+bx+c+x（Asinx+Bcosx）。【知识模块】 微积分二、填空题12 【正确答案】 0【试题解析】 因为 x0 时，【知识模块】 微积分13 【正确答案】 （1+3x）e 3x【试题解析】 因为 =xe3x，因此有 f（x）=e3x+xe 3
13、x3=（1+3x）e 3x。【知识模块】 微积分14 【正确答案】 0【试题解析】 因 f（x）在（c，+ ）可导，则 f（x）在（c，+）内有界，故又因 所以 b=0。【知识模块】 微积分15 【正确答案】 （e 2xarctanex+ex+arctanex）+C【试题解析】 【知识模块】 微积分16 【正确答案】 【试题解析】 利用凑微分法和牛顿一莱布尼茨公式求解。【知识模块】 微积分17 【正确答案】 【试题解析】 令 u=xg（y），v=y ，则【知识模块】 微积分18 【正确答案】 【试题解析】 圆周 x2+y2=Rx 所围成的闭区域用极坐标表示为【知识模块】 微积分19 【正确答案
14、】 【试题解析】 首先设 an=时，该幂级数是收敛的。因此，此幂级数的收敛半径是【知识模块】 微积分20 【正确答案】 y=C 1e3x+C2ex 一 xe2x，C 1，C 2 为任意常数【试题解析】 显然 y1y3=e3x 和 y2y3=ex 是对应的二阶常系数线性齐次微分方程的两个线性无关的解，且 y*=xe2x 是非齐次微分方程的一个特解。由解的结构定理，该方程的通解为 y=C1e3x+C2exxe2x，其中 C1，C 2 为任意常数。【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 【正确答案】 （）因为 0x 1，则 0 x 2=sinx11 。可推得0x
15、n+1=sinxn1，n=1，2，则数列x n有界。于是 1（因当x0 时，sinxx），则有 xn+1x n，可见数列x n单调减少，故由单调减少有下界数列必有极限知，极限 存在。【知识模块】 微积分22 【正确答案】 （）F（x）= aa|x 一 t|f（t）dt=t ax（x 一 t）f（t ）dt+ xa（t一 x）f（t ）dt=x axf（t）dt 一 axtf（t）dt+ xatf（t）dt 一 xxaf（t ）dt=x axf（t）dt 一 axtf（t）dt 一 axtf（t）dt+x axf（t）dt，F（x）= axf（t）dt+xf（x）一xf（x）一 xf（x）+ a
16、xf（t）dt+xf（x）= axf（t）dt 一 xaf（t ）dt 。所以 F“（x）=2f（x）0，因此 F（x）为单调增加的函数。（）因为 F“（0）= a0f（x）dx一 0af（x）dx，且 f（x）为偶函数，所以 F“（0） =0，又因为 F“（0）0，所以x=0 为 F（x）的唯一极小值点，也为最小值点。（ ）由 20atf（x）dt=f （A ）一a21，两边求导得 2af（ A）=f （A）2a ，于是 f（x）2xf（x）=2x，解得 f（x） =2xe2xdxdx+Ce2xdx= 1。在 20atf（t ）dt=f （a）一 a21 中令 a=0得 f（0 ）=1，则
17、C=2，于是 f（x）= 1。【知识模块】 微积分23 【正确答案】 （）利用反证法。假设存在 c（a，b），使得 g（c）=0，则对 g（x）在a，c和c ，b上分别应用罗尔定理，可知存在 1（a，c ）和2（c，b），使得 g （ 1）=g（ 2）=0 成立。接着再对 g （x）在区间 1， 2上应用罗尔定理，可知存在 3（ 1， 2），使得 g“（ 3）=0 成立，这与题设条件g“（ x） 0 矛盾，因此在开区间（ a，b）内 g（x）0。（）构造函数 F（x）=f（x）g（x ）g（x）f（x），由题设条件得，函数 F（x）在区间a，b上是连续的，在区间（a ，b）上是可导的，且满足
18、F（A ）=F（b）=0 。根据罗尔定理可知，存在点 （a，b），使得 F（）=0 。即 f（）g“（ ）f“ （）g（ ）=0，因此可得【知识模块】 微积分24 【正确答案】 因为 t|t|为奇函数，可知其原函数 f（x）= 1x|t|dt=10t|t|dt+0xt|t|dt为偶函数，因此由 f（1）=0，得 f（1）=0，即 y=f（x）与 x 轴有交点（1，0），（1，0）。又由 f（x）=x|x| ，可知 x0 时，f（x）0，故 f（x）单调减少，从而 f（x）f （1）=0 （1 x0）；当 x0 时，f（x）=x|x|0，故x0 时 f（x）单调增加，且 y=f（x）与 x 轴有
19、唯一交点（1，0）。因此 y=f（x）与 x 轴交点仅有两个。所以封闭曲线所围面积【知识模块】 微积分25 【正确答案】 根据复合函数的求导公式，有【知识模块】 微积分26 【正确答案】 |z |的最值点与 z2 的最值点一致，用拉格朗日乘数法，作F（x，y，z，）=z 2+（x 2+9y22z2）+（x+3y+3z5）。令【知识模块】 微积分27 【正确答案】 因为被积函数关于 x，y 均为偶函数，且积分区域关于 x，y 轴均对称，所以 ，其中 D1 为 D 在第一象限内的部分。【知识模块】 微积分28 【正确答案】 记 fn（x）=x n+nx1，由 fn（0）= 一 10，f n（1）=
20、n0，结合连续函数的零点定理知，方程 xn+nx1=0 存在正实数根 xn（0，1）。当 x0 时，fn（x）=nx n1+n0，可见 fn（x）在0，+）上单调增加，故方程 xn+nx1=0 存在唯一正实数根 xn。由 xn+nx1=0 与 xn0 知 xn收敛。【知识模块】 微积分29 【正确答案】 由题意，y=x n 与 y=xn+1 在点 x=0 和 x=1 处相交，所以故 Sn+2=1 一 ln2。【知识模块】 微积分30 【正确答案】 由题意，当x 0 时，法线均过原点，所以有 y= ，即ydy=xdx，得 y2=x2+C。又 代入 y2=一 x2+C 得 C=2，从而有x2+y2=2。当 0x 时，y“+y+x=0，得其对应齐次微分方程 y“+y=0 的通解为y*=C1cosx+C2sinx 设其特解为 y1=Ax+B，则有 0+Ax+B+x=0，得 A=1，B=0，故y1=x 是方程的特解，因此 y“+y+x=0 的通解为 y=C1cosx+C2sinxx。因为y=y（x ）是（ ，）内的光滑曲线，故 y 在 x=0 处连续且可导，所以由已知得 y |x=0=， y|x=0=0，故得 C1=，C 2=1，所以【知识模块】 微积分
