1、考研数学三（概率统计）模拟试卷 23 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设随机变量 X 和 y 独立同分布，记 U=XY，V=X+Y，则随机变量 U 与 V 必然（A）不独立（B）独立（C）相关系数不为零（D）相关系数为零2 将一枚硬币重复掷 n 次，以 X 和 Y 分别表示正面向上和反面向上的次数，则 X和 Y 的相关系数等于（A）一 1（B） 0（C）（D）13 设随机变量(X，Y) 服从二维正态分布，且 X 与 y 不相关，f X(x)，f Y(y)分别表示X，Y 的概率密度，则在 Y=y 的条件下，X 的条件概率密度，f X|Y(x|y)为（
2、A）f X(x)（B） fY(y)（C） fX(x)fY(y)（D）4 设随机变量 XN(0，1)，YN(1 ，4)，且相关系数 XY=1，则（A）PY=一 2X 一 1)=1（B） PY=2X 一 1)=1（C） PY=一 2X+1=1（D）PY=2X5-1=1二、填空题5 设随机变量 Xij(i，j=1，2，n；n2)独立同分布，EX ij=2，则行列式的数学期望 EY=_。6 设随机变量 X 在区间一 1，2上服从均匀分布，随机变量则方差 DY=_。7 设随机变量 X 和 Y 的联合概率分布为则 X2 和 Y2 的协方差 cov(X2，Y 2)=_。8 设随机变量 X 和 Y 的相关系数
3、为 09，若 Z=X-04，则 y 与 Z 的相关系数为_。9 设随机变量服从参数为 1 的泊松分布，则 PX=EX2)=_。10 设二维随机变量(X，Y)服从正态分布 N(，； 2， 2；0)，则 E(XY2)=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 设随机变量(X，Y) 在圆域 x2+y2r2 上服从联合均匀分布。 (1) 求(X ，Y)的相关系数 ； (2)问 X 和 Y 是否独立?12 某设备由三大部件构成。在设备运转中各部件需要调整的概率相应为010，020 和 030设各部件的状态相互独立，以 X 表示同时需要调整的部件数，试求 E(X)和 D(X)。13 设随
4、机变量 X 和 Y 同分布，X 的概率密度为 (1)已知事件 A=Xa和 B=ya独立，且 PAB= 求常数 a；(2)求 的数学期望。14 设由自动线加工的某种零件的内径 X(毫米)服从正态分布 N(，1)，内径小于 10或大于 12 为不合格品，其余为合格品。销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损。已知销售利润 T(单位：元 )与销售零件的内径 X 有如下关系：问平均内径 取何值时，销售一个零件的平均利润最大?15 设一部机器在一天内发生故障的概率为 02，机器发生故障时全天停止工作。一周五个工作日，若无故障，可获利润 10 万元；发生一次故障仍可获利润 5 万元，若发生两次故障，获利润
5、 0 元；若发生三次或三次以上故障就要亏损 2 万元。求一周内的利润期望。16 游客乘电梯从底层到电视塔的顶层观光。电梯于每个整点的第 5 分钟、第 25 分钟和第 55 分钟从底层起行。设一游客在早上八点的第 X 分钟到达底层候梯处，且X 在0 ，60 上服从均匀分布，求该游客等候时间的数学期望。17 两台同样的自动记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为 5 的指数分布。先开动其中一台，当其发生故障时停用而另一台自动开动。试求两台自动记录仪无故障工作的总时间 T 的概率密度 f(t)、数学期望和方差。18 一商店经销某种商品，每周的进货量 X 与顾客对该种商品的需求量 Y 是两个相互独立的随
6、机变量，且都服从区间10，20上的均匀分布。商店每售出一单位商品可得利润 1000 元；若需求量超过了进货量，可以其他商店调剂供应，这时每单位商品的售出获利润为 500 元。试求此商店经销该种商品每周所得利润的期望值。19 假设二维随机变量(X，Y)在矩形 G=(x，y)|0x2，0y1上服从均匀分布，记(1)求 U 和 V 的联合分布；(2)求U 和 V 的相关系数 r。20 设 A，B 是二随机事件，随机变量试证明随机变量 X和 y 不相关的充分必要条件是 A 与 B 相互独立。20 假设随机变量 U 在区间一 2，2上服从均匀分布，随机变量试求21 X 和 Y 的联合概率分布；22 D(
7、X+Y)。23 设一设备开机后无故障工作的时间 X 服从指数分布，平均无故障工作的时间(EX)为 5 小时。设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作 2小时便关机。试求该设备每次开机无故障工作的时间 y 的分布函数 F(y)。24 设随机变量 x 服从参数为 的指数分布，则25 设 A，B 为两个随机事件，且 求：()二维随机变量 (X，Y)的概率分布；()X 与 y 的相关系数 (X，Y) ；()X=X2+Y2 的概率分布。26 设随机变量 X 的概率密度为 令 Y=X2，F(x，y)为二维随机变量(X，Y) 的分布函数。求()Y 的概率密度 FY(y)；()cov(X，Y)
8、；26 箱中装有 6 个球，其中红、白、黑球的个数分别为 1，2，3 个。现从箱中随机地取出 2 个球，记 X 为取出的红球个数，Y 为取出的白球个数。27 求随机变量(X，Y) 的概率分布；28 求 cov(X，Y)。考研数学三（概率统计）模拟试卷 23 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 X 与 Y 同分布，DX=DY得 cov(U，V)=cov(XY，X+Y)=cov(X，X)+cov(X，Y)一 cov(Y，X)一 cov(Y，Y)=DXDY=0相关系数 =0【知识模块】 概率与数理统计2 【正确答案】 A【试题解析
9、】 【知识模块】 概率与数理统计3 【正确答案】 A【试题解析】 由(X，Y) 服从二维正态分布，且 X 与 Y 不相关，故 X 与 y 独立，(X，y) 的概率密度 f(x， y)=故选(A)。【知识模块】 概率与数理统计4 【正确答案】 D【试题解析】 如果(A) 或 (C)成立，则应 XY=1，矛盾；如果 (B)成立，那么EY=2EX 一 1=一 1，与本题中 EY=1 矛盾。只有(D)成立时，XY=1，EY=2EX+1=1，DY=4DX=4，符合题意，故选(D)。【知识模块】 概率与数理统计二、填空题5 【正确答案】 0【试题解析】 由 n 阶行列式的定义知 ，p1，p n 为(1，n
10、)的排列，r(p 1p2pn)为排列 p1p2pn 的逆序数。而Xij(i，j=1，2 ，n)独立同分布且 EXij=2，故【知识模块】 概率与数理统计6 【正确答案】 【试题解析】 由题意，X 的概率密度为：【知识模块】 概率与数理统计7 【正确答案】 一 002【试题解析】 E(X 2Y2)=02(一 1)2007+0 202018+0 212015+1 2(一 1)2008+1 202032+1 212020=028 而关于 X 的边缘分布律为：关于 Y 的边缘分布律为：EX2=0204+1 206=06，EY 2=(一 1)2015+0 205+1 2035=05 故 cov(X2，Y
11、 2)一 E(X2Y2)一 EX2FY 2=028060 5= 一 002【知识模块】 概率与数理统计8 【正确答案】 09【试题解析】 因为 D(Z)=D(X 一 04)=DX，且 cov(Y，Z)=cov(Y ，X 一 04)=cov(Y，X)=cov(X ，Y)【知识模块】 概率与数理统计9 【正确答案】 【试题解析】 由 EX2=DX+(EX)2=1+12=2，故 PX=EX2=PX=2)=【知识模块】 概率与数理统计10 【正确答案】 2+2【试题解析】 由题意知 X 与 Y 独立同分布，且 XN( ， 2)， 故 EX=，E(Y 2)=DY+(EY)2=2+2 E(XY2)=EXE
12、(Y 2)=(2+2)=3+2【知识模块】 概率与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 由题意，(X，Y)的联合概率密度为【知识模块】 概率与数理统计12 【正确答案】 设这三个部件依次为第 1、2、3 个部件，记 Ai=(第个部件需调整)，i=1，2，3则 A1，A 2，A 3 相互独立。显然，X1，X 2，X 3 相互独立则 E(Xi)=1P(A i)= ，i=1 ， 2，3且 X=X1+X2+X3【知识模块】 概率与数理统计13 【正确答案】 由题意，P(A)=P(B)= 0+f(x)dx【知识模块】 概率与数理统计14 【正确答案】 【知识模块】
13、 概率与数理统计15 【正确答案】 设这部机器一周内有 X 天发生故障，这一周的利润为 y 万元。由题意可知 XB(5，02) 故 EY=10P(X=0)+5P(X=1)+0P(X=2)+(一 2)P(X3)=10C 5002 00 85+5C5102 108 4 一 21一 C50 0208 5 一 C5102 108 4 一 C5202 208 3=520896【知识模块】 概率与数理统计16 【正确答案】 设 y(分钟)为该游客的等候时间，由题意知：【知识模块】 概率与数理统计17 【正确答案】 设第 i 台自动记录仪无故障工作的时间为 Xi，(i=1 ，2) ，由题意，X1 与 X2
14、独立同分布，概率密度为下面求 f(t)。解T 的分布函数 F(t)=P(Tt)=P(X1+X2t)【知识模块】 概率与数理统计18 【正确答案】 设此商店经销该种商品每周所得利润为 元，则由题意得：而 X 和 Y 的概率密度均为： 故(X，Y)的联合密度为G2、G 2 见图 46【知识模块】 概率与数理统计19 【正确答案】 G 的面积为 SG 一 2如图 47 分得 G=D1D2D3于是写出(U，V) 的分布列(附带写出边缘分布列) 如下：【知识模块】 概率与数理统计20 【正确答案】 由已知得：【知识模块】 概率与数理统计【知识模块】 概率与数理统计21 【正确答案】 二维随机变量可能取的
15、值为(一 1，一 1)，(一 1，1)，(1，一 1)，(1，1)。由题意，可设 U 的概率密度为【知识模块】 概率与数理统计22 【正确答案】 由(1)可得关于 X 和 Y 的边缘分布律分别为：【知识模块】 概率与数理统计23 【正确答案】 设 X 的分布参数为 ，由已知， 即知 X的概率密度为【知识模块】 概率与数理统计24 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率与数理统计25 【正确答案】 【知识模块】 概率与数理统计26 【正确答案】 ()Y 的分布函数为 Fy(y)=P(Yy)=P(X2y)y0 时，F y(y)=0，f Y(y)=FY(y)=0；【知识模块】 概率与数理统计【知识模块】 概率与数理统计27 【正确答案】 (X，Y) 的概率分布为：【知识模块】 概率与数理统计28 【正确答案】 可求得关于 X，Y 的边缘分布列分别为：【知识模块】 概率与数理统计
