1、考研数学三（概率统计）模拟试卷 15 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 以下结论，错误的是 ( )（A）若 0P(B)1，P(A|B)+ =1，则 A，B 相互独立（B）若 A，B 满足 P(B|A)=1，则 P(AB)=0（C）设 A，B ，C 是三个事件，则 (AB)B=AB（D）若当事件 A，B 同时发生时，事件 C 必发生，则 P(C)P(A)+P(B)一 12 设随机变量 X 与 Y 均服从正态分布，XN(，4 2)，Y N( ，5 2)，记 p1=PX一 4， p2=pY+5，则 ( )（A）对任意实数 ，都有 p1=p2（B）对任意实数
2、 ，都有 p1p 2（C）只对 的个别值，才有 p1=p2（D）对任意实数 ，都有 p1p 23 设随机变量 X 取非负整数值，PX=n)=a n(n1)，且 EX=1，则 a 的值为 ( )4 设总体 X 服从正态分布 N(， 2)，X 1，X 2，X n 是取自总体的简单随机样本，样本均值为 ，样本方差为 S2，则服从 2(n)的随机变量为 ( )5 设总体 XN(a， 2)，YN(b， 2)相互独立，分别从 X 和 Y 中各抽取容量为 9和 10 的简单随机样本，记它们的方差为 SX2 和 SY2，并记，则这四个统计量SX2，S Y2，S 122，S XY2 中，方差最小者是 ( )（A
3、）S X2（B） SY2（C） S122（D）S XY2二、填空题6 一批产品共有 10 个正品和 2 个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为_7 设随机变量 X 服从正态分布，其概率密度为 f(x)=ke-x2+2x-1(一x+)，则常数k= _ 8 设随机变量 X 的概率密度为 为 _ 9 设相互独立的两个随机变量 X，Y 具有同一分布律，且 X 的分布律为：则随机变量 Z=maxX，Y) 的分布律为 _ 10 设 X1，X 2，X n，是相互独立的随机变量序列，且都服从参数为 的泊松分布，则三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 对
4、三台仪器进行检验，各台仪器产生故障的概率分别为 p1，p 2，p 3，求产生故障仪器的台数 X 的数学期望和方差12 袋中有 n 张卡片，分别记有号码 1，2，n，从中有放回地抽取 k 张，以 X表示所得号码之和，求 EX，DX13 设 X 与 Y 为具有二阶矩的随机变量，且设 Q(a，b)=EY 一(a+bX) 2，求 a，b使 Q(a，b)达到最小值 Qmin，并证明： Q min=DY(1 一 XY2)14 设 X，Y，Z 是三个两两不相关的随机变量，数学期望全为零，方差都是 1，求XY 和 YZ 的相关系数14 将数字 1，2，n 随机地排列成新次序，以 X 表示经重排后还在原位置上的
5、数字的个数15 求 X 的分布律；16 计算 EX 和 DX16 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为求：17 方差 D(XY)；18 协方差 Cov(3X+Y，X 一 2Y)18 设随机变量 U 在一 2，2上服从均匀分布，记随机变量求：19 Cov(X，Y)，并判定 X 与 Y 的独立性；20 DX(1+Y)21 若 DX=0004，利用切比雪夫不等式估计概率 P|XEX|0222 用切比雪夫不等式确定，掷一均质硬币时，需掷多少次，才能保证正面出现的频率在 04 至 06 之间的概率不小于 0923 若随机变量序列 X1，X 2，X n，满足条件 证明：Xn服从大数定律24 某计算机系统有
6、 100 个终端，每个终端有 20的时间在使用，若各个终端使用与否相互独立，试求有 10 个或更多个终端在使用的概率25 设 X1，X 2，X n 为总体 X 的一个样本，E(X)=，D(X)= 2，求和 E(S2)26 假设你是参加某卫视“相亲节目” 的男嘉宾，现有 n 位女嘉宾在你面前自左到右排在一条直线上，每两位相邻的女嘉宾的距离为 a(米)假设每位女嘉宾举手时你必须和她去握手，每位女嘉宾举手的概率均为 ，且相：互独立，若 z 表示你和一位女嘉宾握手后到另一位举手的女嘉宾处所走的路程，求 EZ27 对于任意二事件 A1，A 2，考虑二随机变量试证明：随机变量 X1 和 X2 独立的充分必
7、要条件是事件 A1 和 A2 相互独立28 假设有四张同样卡片，其中三张上分别只印有 a1，a 2，a 3，而另一张上同时印有a1，a 2，a 3，现在随意抽取一张卡片，令 Ak=卡片上印有 ak)。证明：事件A1，A 2，A 3 两两独立但不相互独立考研数学三（概率统计）模拟试卷 15 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 A【试题解析】 用 代表标准正态分布 N(0，1)的分布函数，有由于 (-1)=1-(-1)，所以p1=p2。【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】
8、 B【试题解析】 【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 D【试题解析】 所以，方差最小者为 SXY2因此本题选(D) 【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题6 【正确答案】 【试题解析】 A i 表示“第 i 次取的是次品”，i1，2则有【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 (x)【试题解析】 由列维一林德伯格中心极限定理即
9、得【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 X 的分布为由此计算 EX 和 DX 相当麻烦，我们利用期望的性质进行计算【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 设 Xi 为第 i 张的号码，i=1 ，2，k，则 Xi 的分布为【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 记 Ai=数字 i 在原位置上)，i=1， 2，n，则 表示至少有一个数字在原位置上。则【知识模块】 概率论与数理统计16 【正
10、确答案】 令【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 D(XD=E(X 2Y2)一E(XY) 2，【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 X，Y 的全部可能取值都为一 1，1，且【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 由切比雪夫不等式【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 所以 n250【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 由切比雪夫不等式，对任意的 0 有故Xn服从大数定律【知识模块】
11、 概率论与数理统计24 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 设按从左到右的顺序将女嘉宾编号为 1，2，nX 为已经握手的女嘉宾的编号，y 表示将要去握手的女嘉宾的编号，则【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 记 pi=P(Ai)(i=1，2)，p 12=P(A1 A2)，而 是 X1 和 X2 的相关系数易见，随机变量 X1 和 X2 都服从 01 分布，并且 PX i=1=P(Ai)，PX i=0)=P(Ai)，PX 1=1，X 2=1=P(A1A2) (1)必要性设随机变量 X1 和 X2 独立，则 P(A 1 A2)=PX1=1，X 2=1)=PX1=1)PX2=1)=P(A1)P(A2) 从而，事件 A1 和 A2 相互独立(2)充分性设事件 A1 和 A2 相互独立，则 也都独立，故 从而，随机变量 X1 和 X2相互独立【知识模块】 概率论与数理统计28 【正确答案】 由于对任意 k，j=1，2，3 且 kj，有可见事件 A1，A 2，A 3 两两独立但是，由于 可见事件A1，A 2，A 3 不相互独立【知识模块】 概率论与数理统计
