1、考研数学三（概率统计）模拟试卷 41 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设随机变量 XU1，7，则方程 x2+2Xx+9=0 有实根的概率为( ) 2 设随机变量 且满足 P(X1X2=0)=1，则 P(X1=X2)等于( )（A）0（B）（C）（D）13 设随机变量 X，Y 相互独立，XU(0，2)，Y E(1)，则 P(X+Y1)等于( )（A）（B） 1 一 e（C） e（D）2e4 设随机变量(X，Y) 的分布函数为 F(x，y)，用它表示概率 P(一 Xy)=_13 设随机变量 XN(0， 2)，YN(0，4 2)，且 P(X1，Y-2)=
2、 则P(X1，Y-2)=_14 随机变量 X 的密度函数为 则 D(X)=_15 从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且遇到红灯的概率为 设 X 表示途中遇到红灯的次数，则 E(X)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 设 XN(， 2)，其分布函数为 F(x)，对任意实数 a，讨论 F(一 a)+F(a)与 1 的大小关系17 设 XN(0，1) ，Y=X 2，求 Y 的概率密度函数18 设 XU(0，2) ，Y=X 2，求 Y 的概率密度函数18 设 X，Y 的概率分布为 且 P(XY=0)=119 求(X，Y)的联合分
3、布；20 X，Y 是否独立?20 设起点站上车人数 X 服从参数为 (0)的泊松分布，每位乘客中途下车的概率为 p(0p1) ，且中途下车与否相互独立，以 Y 表示中途下车人数21 求在发车时有 n 个乘客的情况下，中途有 m 个乘客下车的概率；22 求(X，Y)的概率分布22 袋中有 10 个大小相等的球，其中 6 个红球 4 个白球，随机抽取 2 个，每次取 1个，定义两个随机变量如下： 就下列两种情况，求(X，Y)的联合分布律：23 第一次抽取后放回；24 第一次抽取后不放回24 设(X，Y)在区域 D：0 x1，|y|x 内服从均匀分布25 求随机变量 X 的边缘密度函数；26 设 Z
4、=2X+1，求 D(Z)26 设(X，Y)的联合概率密度为 求：27 (X， Y)的边缘密度函数；28 Z=2XY 的密度函数28 随机变量(X，Y) 的联合密度函数为29 求常数 A；30 求(X，Y)落在区域 内的概率31 设两台同样的记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为 5 的指数分布，首先开动其中一台，当发生故障时停用而另一台自动开动求两台记录仪无故障工作的总时间 T 的概率密度32 设 X，Y 相互独立，且 XN(1，2)，YN(0 ，1)，求 Z=2XY+3 的密度考研数学三（概率统计）模拟试卷 41 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【
5、正确答案】 C【试题解析】 方程 x2+2Xx+9=0 有实根的充要条件为 =4X2 一 36O X29P(X 29)=1 一 P(X2【知识模块】 概率统计2 【正确答案】 A【试题解析】 由题意得 P(X 1=一 1，X 2=一 1)=P(X1=一 1，X 2=1) =P(X1=1，X 2=一1)=P(X1=1，X 2=1)=0 P(X1=一 1，X 2=0)=P(X1=一 1)= P(X1=1，X 2=0)=P(X1=1)=P(X1=0，X 2=一 1)=P(X2=一 1) P(X1=0，X 2=1)=P(X2=)= 故 P(X1=0，X 2=0)=0，于是 P(X 1=X2)=P(X1
6、=一 1，X 2=一 1)+P(X1=0，X 2=0)+P(X1=1，X 2=1)=0，选(A)【知识模块】 概率统计3 【正确答案】 A【试题解析】 由 XU(0，2)，YE(1) 得 再由 X，Y 相互独立得(X，Y) 的联合密度函数为 【知识模块】 概率统计4 【正确答案】 C【试题解析】 P( 一 Xa，Yy)=P(X 一 a，Yy)因为 P(Y y)=P(X一 a，Yy)+P(X一 a，Yy)，所以 P(X一 a，Yy)=P(Yy)一 P(X一 a， Yy)=F(+，y 一 0)一 F(一 a，y0)，选(C)【知识模块】 概率统计5 【正确答案】 B【试题解析】 X，Y 独立，XN
7、(0，1)，YN(1 ，1)，选 B.【知识模块】 概率统计二、填空题6 【正确答案】 y 的可能取值为 2，3，6， 【知识模块】 概率统计7 【正确答案】 F Y(y)=P(Yy)=P(9X2y) 当 y0 时，F Y(y)=0； 当 y0 时，所以随机变量 Y 的密度函数为【知识模块】 概率统计8 【正确答案】 因为 所以【知识模块】 概率统计9 【正确答案】 X 的分布律为 Y 的可能取值为 1，2，10， 于是Y 的分布函数为 【知识模块】 概率统计10 【正确答案】 P(X+Y=一 2)=P(X=0，Y=2)+P(X=1 ，Y=1)+P(X=2 ，Y=0)， 由X，Y 相互独立得
8、P(X+Y=2)=P(X=0)P(Y=2)+P(X=1)P(Y=1)+P(X=2)P(Y=0) 【知识模块】 概率统计11 【正确答案】 令 A=(X=0)，B=(Y=0)，则 P(minXY=0)=P(A+B)=P(A)+P(B)一 P(AB) =P(X=0)+P(Y=0)一 P(X=0，Y=0)=2(1 一 P)n 一(1 一 p)2n【知识模块】 概率统计12 【正确答案】 由 得 a=6，于是【知识模块】 概率统计13 【正确答案】 令X1=A，Y一 2=B，且 则 【知识模块】 概率统计14 【正确答案】 【知识模块】 概率统计15 【正确答案】 显然 则【知识模块】 概率统计三、解
9、答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 则当 0 时，F(a)+F( 一a) 1； 当 =0 时，F(a)+F(一 a)=1； 当 0 时，F(a)+F( 一 a)1【知识模块】 概率统计17 【正确答案】 FY(y)=P(Yy)=P(X2y) 当 y0时，F Y(y)=0； 当 y0 时，因此【知识模块】 概率统计18 【正确答案】 F Y(y)=P(Yy)=P(X2y) 当 y0 时，F Y(y)=0； 当 y0 时，所以【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计19 【正确答案】 因为 P(XY=0)=1，所以 P(X=一 1，Y=1)=P(X=1，Y=1)=0
10、 ， P(X=一 1，Y=0)一 P(X=一 1)= P(X=1，Y=0)=P(X=1)= P(X=0，Y=0)=0，P(X=0，Y=1)=P(Y=1)= (X，Y) 的联合分布律为： 【知识模块】 概率统计20 【正确答案】 因为 P(X=0，Y=0)=0P(X=0)P(Y=0)= 所以 X，Y 不相互独立【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计21 【正确答案】 设 A=发车时有 n 个乘客)，B=中途有 m 个人下车，则 P(B|A)=P(Y=m|X=n)=Cnmpm(1 一 p)n-m(0mn)【知识模块】 概率统计22 【正确答案】 P(X=n ，Y=m)=P(AB)=P(B|A
11、)P(A) =Cnmpm(1 一 p)n-m (0mn，n=0，1，2，)【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计23 【正确答案】 (X，Y) 的可能取值为(0，0) ，(1，0)，(0 ，1)，(1，1) 【知识模块】 概率统计24 【正确答案】 【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计25 【正确答案】 (X，Y) 的联合密度函数为 则【知识模块】 概率统计26 【正确答案】 因为 所以【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计27 【正确答案】 当 0x1 时， 当 x0 或 xI时，f X(x)=0，所以 同理【知识模块】 概率统计28 【正确答案】 当 z0 时，F(z)
12、=0；当 z2 时，F(z)=1；当 022 时， 【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计29 【正确答案】 【知识模块】 概率统计30 【正确答案】 令区域 D： (X，Y)落在区域 D 内的概率为 【知识模块】 概率统计31 【正确答案】 用 X，Y 分别表示两台记录仪先后开动无故障工作的时间，则T=X+Y， 由已知条件得 X，Y 的密度为当 t0 时，F T(t)=0；当 f0 时 【知识模块】 概率统计32 【正确答案】 因为 X，Y 相互独立且都服从正态分布，所以 X，Y 的线性组合仍服从正态分布，即 Z=XY+3 服从正态分布，由 E(Z)=2E(X)一 E(y)+3=5，D(Z)=4 D(X)+D(Y)=9， 则 Z 的密度函数为【知识模块】 概率统计
