1、考研数学三（概率统计）模拟试卷 31 及答案与解析一、填空题1 随机变量 X 的密度函数为 f(x)= ，则 D(X)=_2 从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且遇到红灯的概率为 ，设 x 表示途中遇到红灯的次数，则 E(X)=_3 设随机变量 xB(n，p)，且 E(X)=5，E(X 2)= ，则 n=_，p=_4 随机变量 X 的密度函数为 f(x)=ke 一|x| (一 x+)，则 E(X2)_5 设 X 表示 12 次独立重复射击击中目标的次数，每次击中目标的概率为 05，则E(X2)=_6 设随机变量 X 服从参数为 的指数分布，则
2、Px )_7 设随机变量 X 在一 1，2上服从均匀分布，随机变量 Y= 则D(Y)=_8 设随机变量 X1，X 2，X 3 相互独立，且 X1U0，6，X 2N(0，22)，X 3P(3) ，记 Y=X1 一 2X2+3X3，则 D(y)=_9 设随机变量 X 服从参数为 2 的泊松分布，令 Y=4X 一 3，则 E(Y)=_， D(Y)=_10 若随机变量 XN(2， 2，且 P(2X4)=03，则 P(X0)=_11 设随机变量 X，Y，Z 相互独立，且 XU一 1，3，Y B(10， )，ZN(1，3 2)，且随机变量 U=X+2Y 一 3Z+2，则 D(U)=_12 设常数 a0，1
3、 ，随机变量 XU0，1，Y=|X 一 a|，则 E(XY)=_13 设随机变量 X，Y 相互独立，D(X)=4D(Y)，令 U=3X+2Y，V=3X 一 2Y，则UV=_14 设 X，Y 为两个随机变量，且 D(X)=9，Y=2X+3，则 X，Y 的相关系数为_15 设 X，Y 为两个随机变量，D(X)一 49D(Y)=9，相关系数为 ，则 D(3X 一 2Y)=_16 设 X，Y 为两个随机变量，E(x)=E(y)=1，D(X)=9，D(Y)=1，且 XY= ，则E(X 一 2Y+3)2=_二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 设(X，Y)的联合密度函数为 f(x，y)=
4、17 求 a；18 求 X，Y 的边缘密度，并判断其独立性；19 求 fX|Y(X|Y)20 设一设备开机后无故障工作时间 X 服从指数分布，平均无故障工作时间为 5 小时，设备定时开机，出现故障自动关机，而在无故障下工作 2 小时便自动关机，求该设备每次开机无故障工作时间 Y 的分布20 设(X，Y)F(x ，y)=21 判断 X，Y 是否独立，说明理由；22 判断 X，Y 是否不相关，说明理由；23 求 Z=X+Y 的密度23 设随机变量 X，Y 相互独立且都服从标准正态分布，令 U=X2+Y2求：24 fU(u)；25 PUD(U)|UE(U)26 设 X，Y 相互独立，且 XB(3，
5、)，YN(0，1)，令 U=max(X，Y)，求P1U196)(其中 (1)=0841，(196)=0975)27 设随机变量 XU(0，1)，YE(1) ，且 X，Y 相互独立，求随机变量 Z=X+Y 的概率密度28 设总体 X，Y 相互独立且都服从 N(， 2)分布，(X 1，X 2，X m)与(Y1，Y 2，Y n)分别为来自总体 X，Y 的简单随机样本证明： S2=为参数 2 的无偏估计量考研数学三（概率统计）模拟试卷 31 答案与解析一、填空题1 【正确答案】 【试题解析】 E(x)= 一 +xf(x)dx=一 10x(1+x)dx+01x(1 一 x)dx=0，E(X 2)=一 1
6、1x2(1一|x|)dx=2 01x2(1 一 x)dx= ，则 D(X)=E(X2)一E(X) 2= 【知识模块】 概率统计2 【正确答案】 【试题解析】 显然 XB(3， )，则 E(x)=3【知识模块】 概率统计3 【正确答案】 15；【试题解析】 因为 E(X)=np，D(X)=np(1 一 p)，E(X 2)=D(X)+E(X)2=np(1 一 p)+n2p2，所以 np=5，np(1 一 p)+n2p2= ，解得 n=15，p=【知识模块】 概率统计4 【正确答案】 2【试题解析】 因为 一 +f(x)dx=1，所以 一 +ke 一|x| dx 一 2k0+e 一 xdx=2k=1
7、，解得k= ，于是 E(X2)=一 +x2f(x)dx= 20+x2e 一 xdx=(3)=2!=2【知识模块】 概率统计5 【正确答案】 39.【试题解析】 XB(12，0.5)，E(X)=6,D(X)=3,E(X 2)=D(X)+E(X)2=3+36=39【知识模块】 概率统计6 【正确答案】 e 一 1【试题解析】 因为 XE()，所以 FX(x)= 则=e 一 1【知识模块】 概率统计7 【正确答案】 【试题解析】 随机变量 X 的密度函数为 随机变量Y 的可能取值为一 1，0，1，P(Y=一 1)=P(X0)= 一 10 ，P(Y=0)=P(X=0)=0，P(Y=1)=P(X 0)=
8、 Y 的分布律为则 D(y)=E(P)一E(Y) 2=【知识模块】 概率统计8 【正确答案】 46【试题解析】 由 D(X1)= =3，D(X 2)=4，D(X 3)=3 得 D(Y)=D(X1 一 2X2+3X3)=D(X1)+4D(X2)+9D(X3)=3+16+27=46【知识模块】 概率统计9 【正确答案】 32【试题解析】 因为 XP(2)，所以 E(X)=D(X)=2，于是 E(Y)=4E(X)一 3=5，D(Y)=16D(X)=32【知识模块】 概率统计10 【正确答案】 02【试题解析】 由 P(2X4)=03 得=08则 P(X0)=02【知识模块】 概率统计11 【正确答案
9、】 【试题解析】 由 XU一 1，3，Y ，ZNN(1，3 2)得于是 D(U)=D(X)+4D(y)+9D(Z)=【知识模块】 概率统计12 【正确答案】 【试题解析】 E(XY)=EX|X 一 a)=01x|x 一 a|f(x)dx=01x|x 一 a|dx=【知识模块】 概率统计13 【正确答案】 【试题解析】 Cov(U，V)=Cov(3X+2Y，3X 一 2Y)=9Cov(X，X) 一 4Cov(Y，Y)=9D(X)一 4D(Y)=32D(Y)由 X，Y 独立，得 D(U)=D(3X+2Y)=9D(X)+4D(Y)=40D(Y)，D(V)=D(3X 一 2Y)一 9D(X)+4D(Y
10、)=40D(Y)，所以【知识模块】 概率统计14 【正确答案】 1【试题解析】 D(Y)=4D(X)=36，Cov(X ，Y)=Cov(X ，2X+3)=2Cov(X，X)+Cov(X，3)=2D(X)+Cov(X ，3) 因为 Cov(X，3)=E(3X)一 E(3)E(X)=3E(X)一 3E(X)=0，所以 Cov(X，Y)=2D(X)=18，于是 =1【知识模块】 概率统计15 【正确答案】 36【试题解析】 Cov(X，Y)=PXY D(3X 一 2Y)=9D(X)+4D(Y)一12Cov(X，Y)=36【知识模块】 概率统计16 【正确答案】 25【试题解析】 E(X 一 2Y+3
11、)=E(X)一 2E(Y)+3=2，D(X 一 2Y+3)=D(X 一 2Y)=D(X)+4D(Y)一 4Cov(X，Y)，由 Cov(X，Y)= XY 31=一 2，得 D(X 一 2Y+3)=D(X)+4D(Y)一 4Cov(X，Y)=9+4+8=21，于是 E(X 一 2Y+3)2=D(X 一 2Y+3)+E(X 一 2Y+3)2=21+4=25【知识模块】 概率统计二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 概率统计17 【正确答案】 由 一 +dx一 +f(x，y)dy=a 0+xdx0+e 一 ydy=a一 +xe 一 xdx=1，得 a=1【知识模块】 概率统
12、计18 【正确答案】 当 x0 时，f X(x)=0；当 x0 时， fX(x)=一 +f(x，y)dy= x+xe 一ydy=xe 一 x于是 fX(x)= 当 y0 时，f Y(y)=0；当 y0 时，f Y(y)=一+f(x，y)dx= 0yxe 一 ydx= y2e 一 y于是 fY(y)= 因为 f(x，y)f X(x)fY(y)，所以 X，Y 不独立【知识模块】 概率统计19 【正确答案】 f X|Y(x|y)=【知识模块】 概率统计20 【正确答案】 因为 XE()，所以 E(X)= =5，从而 = ，根据题意有Y=min(X，2)当 y0 时， F(y)=0；当 y2 时，F(
13、y)=1；当 0y2 时，F(y)=P(Yy)=Pmin(X，2)y=P(Xy)=1 一 ，故 y 服从的分布为 F(y)=【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计21 【正确答案】 0x1 时，f X(x)=一 +f(x，y)dy= 0x12y2dy=4x3，则 fX(x)=因为当 0yx1时，f(x，y)f X(x)fY(y)，所以 X，Y 不独立【知识模块】 概率统计22 【正确答案】 E(x)= 一 +xfX(x)dx=014x4dx= ，E(Y)= 一 +yfY(y)dy=0112y3(1一 y)dy= E(XY)=一 +dx一 +xf(x，y)dy= 01dx0112xy3dy
14、= ，因为 Cov(X，Y)=E(XY)一 E(X)E(Y)= ，所以 X，Y 相关【知识模块】 概率统计23 【正确答案】 f Z(z)=一 +f(x，z 一 x)dx，当 z0 或 z2 时，f Z(z)=0；当 0z1时，f Z(z)= 当 1z2 时， fZ(z)= 一4(z 一 1)3所以有 f1(z)=【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计24 【正确答案】 因为 X，Y 相互独立且都服从标准正态分布，所以(X，Y) 的联合密度函数为 f(x，y)= (一x，y+)F U(u)=P(Uu)当 u0 时，F U(u)=0；当 u0 时， FU(u)=P(Uu)=P(X2+Y2u
15、)=所以 fU(u)= ，即 U 服从参数 = 的指数分布【知识模块】 概率统计25 【正确答案】 E(U)=2，D(U)=4 ， PU D(U)|UE(U)=P(U4|U2)=因为 P(U4)=1 一 P(U4)=1 一(1 一 e 一 2)=e 一2，P(U2)=1 一(1 一 e 一 1)=e 一 1，所以 PUD(U)|UE(U)=e 一 1【知识模块】 概率统计26 【正确答案】 P(Uu)=Pmax(X ，Y)u=PXu ，Yu=P(Xu)P(Yu)，P(U1.96)=P(X1.96)P(y1.96)=P(X=0)+P(X=1)P(Y1.96)P(U1)=P(X1)P(Y1)=(1
16、)=0 4205，则 P(1U196)=P(U196)一 P(U1)=0067【知识模块】 概率统计27 【正确答案】 XU(0，1)，YNE(1) fX(x)=因为 X，Y 相互独立，所以 f(x，y)=f X(x)fY(y)= 于是 FZ(z)=PZz)=PX+Yz=当 z0 时，F Z(z)=0；当 0z 1 时F Z(z)= f(x，y)dxdy=0zdx0z 一 xe 一 ydy=z+e 一 z 一 1；当 z1 时，F Z(z)= f(x，y)dxdy= 01dx0z 一xe 一 ydy=e 一 z 一 e1 一 z+1所以 FZ(z)=【知识模块】 概率统计28 【正确答案】 【知识模块】 概率统计
