1、考研数学三（概率统计）模拟试卷 4 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 X 为随机变量，E(X)=，D(X)= 2，则对任意常数 C 有( )（A）EE(XC) 2=E(X 一 )2（B） E(XC)2E(X 一 )2（C） EE(XC)2=E(X2)一 C2（D）EE(XC) 2E(X) 22 设 X，Y 为两个随机变量，若 E(XY)=E(X)E(Y)，则( ) （A）D(XY)=D(X)D(Y)（B） D(X+Y)=D(X)+D(Y)（C） X，Y 独立（D）X，Y 不独立3 设 X，Y 为两个随机变量，若对任意非零常数 a，b 有 D(aX
2、+6Y)=D(aXbY)，下列结论正确的是( ) （A）D(XY)=D(X)D(Y)（B） X，Y 不相关（C） X，Y 独立（D）X，Y 不独立4 设 X，Y 为随机变量，若 E(XY)=E(X)E(Y)，则 ( )（A）X，Y 独立（B） X，Y 不独立（C） X，Y 相关（D）X，Y 不相关5 若 E(XY)=E(X)E(Y)，则 ( )（A）X 和 Y 相互独立（B） X2 与 Y2 相互独立（C） D(XY)=D(X)D(Y) t（D）D(X+Y)=D(X)+D(Y)6 设随机变量 XU0，2，Y=X 2，则 X，Y( )（A）相关且相互独立（B）不相互独立但不相关（C）不相关且相互
3、独立（D）相关但不相互独立二、填空题7 随机变量 X 的密度函数为 ，则 D(X)=_8 从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且遇到红灯的概率为 设 X 表示途中遇到红灯的次数，则 E(x)=_9 设随机变量 XB(n，p)，且 E(X)=5，E(X 2)= ，则n=_，p=_10 随机变量 X 的密度函数为 f(x)=kex (一 x+)，则 E(X2)=_11 设 X 表示 12 次独立重复射击击中目标的次数，每次击中目标的概率为 05，则 E(X2)=_。12 设随机变量 X 服从参数为 的指数分布，则 =_13 设随机变量 X 在一 1，
4、2上服从均匀分布，随机变量 ，则D(Y)=_。14 设随机变量 X1，X 2，X 3 相互独立，且 X1U0，6，X 2N(0，2 2)，X 3P(3) ，记 Y=X12X2+3X3，则 D(y)=_15 设随机变量 X 服从参数为 2 的泊松分布，令 Y=4X 一 3，则 E(Y)=_， D(Y)=_。16 若随机变量 XN(2， 2)，且 P(2X4)=03，则 P(X17 设随机变量 X，Y，Z 相互独立，且 XU一 1，3，Y B(10， )，ZN(1，3 2)，且随机变量 U=X+2Y 一 3Z+2，则 D(U)=_18 设常数 a0，1 ，随机变量 XU0，1，Y= Xa，则 E(
5、XY)=_19 设随机变量 X，Y 相互独立，D(X)=4D(Y)，令 U=3X+2Y，V=3X 一 2Y，则UV=_。20 设 X，Y 为两个随机变量，且 D(X)=9，Y=2X+3，则 X，Y 的相关系数为_21 设 x，y 为两个随机变量，D(X)=4，D(Y)=9 ，相关系数为 ，则 D(3X 一 2Y)=_。22 设 x，y 为两个随机变量，E(x)=E(Y)=1 ，D(X)=9，D(Y)=1，且 XY=一 ， 则E(X 一 2Y+3)2=_23 设 X，Y 相互独立且都服从标准正态分布，则 EXy=_，DXY=_24 设 D(X)=1，D(Y)=9 ， XY=一 03，则 Cov(
6、X，Y)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。25 一台设备由三大部件构成，在设备运转过程中各部件需要调整的概率分别为01，02，03，假设各部件的状态相互独立，以 X 表示同时需要调整的部件数，求 E(X)，D(X)26 设随机变量 X 服从参数为 的指数分布，对 X 独立地重复观察 4 次，用 Y 表示观察值大于 3 的次数，求 E(Y2)27 设随机变量 X，Y 同分布，X 的密度为28 某流水线上产品不合格的概率为 p= ，各产品合格与否相互独立，当检测到不合格产品时即停机检查设从开始生产到停机检查生产的产品数为 X，求 E(X)及D(X)29 设试验成功的概率为 ，独
7、立重复试验直到成功两次为止求试验次数的数学期望30 游客乘电梯从底层到顶层观光，电梯于每个整点的 5 分、25 分、55 分从底层上行，设一游客早上 8 点 X 分到达底层，且 X 在0，60上服从均匀分布，求游客等待时间的数学期望31 32 设某种零件的长度 LN(18，4)，从一大批这种零件中随机取出 10 件，求这 10件中长度在 1622 之间的零件数 X 的概率分布、数学期望和方差33 一民航班车上有 20 名旅客，自机场开出，旅客有 10 个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就不停车，以 X 表示停车次数，求 E(X)(设每位旅客下车是等可能的)34 设某箱装有 100 件产
8、品，其中一、二、三等品分别为 80 件、10 件和 10 件，现从中随机抽取一件，记 Xi= (1)求(X 1，X 2)的联合分布； (2)求X1，X 2 的相关系数35 在长为 L 的线段上任取两点，求两点之间距离的数学期望及方差36 设 X 与 Y 相互独立，且 XN(0， 2)，YN(0， 2)，令 Z= ，求 E(Z)，D(Z)37 设随机变量 X，Y 独立同分布，且 XN(0， 2)，再设 U=aX+bY，V=aX 一by，其中 a， b 为不相等的常数求： (1)E(U)，E(V)，D(U)，D(V) ， UV； (2)设U，V 不相关，求常数 a， b 之间的关系38 设 XU(
9、一 1，1) ，Y=X 2，判断 X，Y 的独立性与相关性考研数学三（概率统计）模拟试卷 4 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 E(XC) 2一 E(X 一 )2=E(X2)一 2CE(X)+C2一E(X 2)一 2E(X)+2 =C2+2E(X)EE(X)一 X一E(X) 2=CE(X)20，选 B【知识模块】 概率统计2 【正确答案】 B【试题解析】 因为 E(XY)=E(X)E(Y)，所以 Cov(X，Y)=0，又 D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Coy(X，Y)，所以 D(X+Y)=D(X)+D(Y)，选 B【
10、知识模块】 概率统计3 【正确答案】 B【试题解析】 D(aX+bY)=a 2D(X)+b2D(y)+2abCov(X，Y)， D(aX 一 bY)=a2D(X)+b2D(Y)一 2abCoy(X，Y)， 因为 D(aX+by)=D(aXbY)，所以 Cov(X，Y)=0，即X，Y 不相关，选 B【知识模块】 概率统计4 【正确答案】 D【试题解析】 因为 Cov(X，Y)=E(XY)E(X)E(Y)，所以若 E(XY)=E(X)E(Y)，则有 Cov(X，Y)=0，于是 X，Y 不相关，选 D【知识模块】 概率统计5 【正确答案】 D【试题解析】 因为 E(XY)=E(X)E(Y)，所以 C
11、ov(X，Y)=E(XY)一 E(X)E(Y)=0，而 D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Coy(X，Y)，所以 D(X+Y)=D(X)+D(Y)，正确答案为(D)【知识模块】 概率统计6 【正确答案】 D【试题解析】 因为 E(XY)E(X)E(Y)，所以 X，Y 一定相关，故 X，Y 不独立，选 D【知识模块】 概率统计二、填空题7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率统计8 【正确答案】 【试题解析】 显然【知识模块】 概率统计9 【正确答案】 15；【试题解析】 因为 E(X)=np，D(X)=np(1 一 p)，E(X 2)=D(X)+E(X)2=np(1 一 p)+n2
12、p2，所以 np=5，np(1 一 p)+n2p2= 【知识模块】 概率统计10 【正确答案】 2【试题解析】 【知识模块】 概率统计11 【正确答案】 39【试题解析】 XB(12，05)， E(X)=6，D(X)=3，E(X 2)=D(X)+E(X)2=3+36=39【知识模块】 概率统计12 【正确答案】 e 1【试题解析】 【知识模块】 概率统计13 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率统计14 【正确答案】 46【试题解析】 由 D(X1)= =3，D(X 2)=4，D(X 3)=3 得 D(Y)=D(X 12X2+3X3)=D(X1)+4D(X2)+9D(X3)=3+16
13、+27=46【知识模块】 概率统计15 【正确答案】 32【试题解析】 因为 XP(2)，所以 E(X)=D(X)=2，于是 E(y)=4E(X)一 3=5，D(Y)=16D(X)=32【知识模块】 概率统计16 【正确答案】 0.2【试题解析】 【知识模块】 概率统计17 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率统计18 【正确答案】 【试题解析】 E(XY)=EXX 一 a= 01xx 一 af(x)dx =01xx 一 adx=【知识模块】 概率统计19 【正确答案】 【试题解析】 Cov(U，V)=Cov(3X+2Y，3X 一 2Y) =9Cov(X，X) 一 4Cov(Y，Y)
14、=9D(X)一 4D(Y)=32D(Y) 由 X，Y 独立，得 D(U)=D(3X+2Y)=9D(X)+4D(Y)=40D(Y)， D(V)=D(3X 一 2Y)=9D(X)+4D(Y)=40D(Y)， 所以【知识模块】 概率统计20 【正确答案】 1【试题解析】 D(Y)=4D(X)=36， Cov(X ，Y)=Cov(X ，2X+3)=2Cov(X，X)+Cov(X，3)=2D(X)+Cov(X ，3) 因为 Cov(X，3)=E(3X)一 E(3)E(X)=3E(X)一 3E(X)=0，所以 Cov(X，Y)=2D(X)=18， 于是【知识模块】 概率统计21 【正确答案】 36【试题解
15、析】 Cov(X，y)= D(3X 一 2y)=9D(X)+4D(y)一 12Cov(X，Y)=36【知识模块】 概率统计22 【正确答案】 25【试题解析】 E(X 一 2Y+3)=E(X)一 2E(Y)+3=2， D(X 一 2Y+3)=D(X 一 2Y)=D(X)+4D(Y)一 4Coy(X，Y)， 由 Cov(X，Y)= =一2，得 D(X 一 2Y+3)=D(X)+4D(Y)一 4Cov(X，Y)=9+4+8=21， 于是 E(X 一 2Y+3)2=D(X 一 2Y+3)+E(X 一 2Y+3)2=21+4=25【知识模块】 概率统计23 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概
16、率统计24 【正确答案】 0.9【试题解析】 Cov(X，Y)= =0：313=一 09【知识模块】 概率统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。25 【正确答案】 令 Aii=第 i 个部件需要调整(i=1，2，3)，X 的可能取值为0，1，2，3， E(X)=10398+20092+30006=0 6， D(X)=E(X 2)一E(x)2=120398+2 20092+3 20006036=046【知识模块】 概率统计26 【正确答案】 显然 YB(4，p)，其中 p=P(X3)=1P(X3)，从而 P=1 一 FX(3)=e1由E(Y)=4e1，D(Y)=4e 1(1 一
17、e1)，得 E(Y2)=D(Y)+E(Y)2=4e1 一 4e2+16e2=4e1+12e2【知识模块】 概率统计27 【正确答案】 (1)因为 P(A)=P(B)且 P(AB)=P(A)P(B)，所以令 P(A)=p，【知识模块】 概率统计28 【正确答案】 X 的分布律为 P(X=k)=(1 一 p)k1p(X=1，2，) 【知识模块】 概率统计29 【正确答案】 设试验的次数为 X，则 X 的分布律为【知识模块】 概率统计30 【正确答案】 【知识模块】 概率统计31 【正确答案】 YB(4，p)，其中 p= ， E(Y 2)=D(Y)+E(Y)2=5【知识模块】 概率统计32 【正确答
18、案】 因此 E(X)=np=1008185=8185， D(X)=npq=1008185(108185)=14856 【知识模块】 概率统计33 【正确答案】 令 Xi= (i=1，2，10)，显然X=X1+X2+“+X10因为任一旅客在第 i 个站不下车的概率为 09，所以 20 位旅客都不在第 i 个站下车的概率为 09 20，从而第 i 个站有人下车的概率为 109 20，即 Xi 的分布律为 【知识模块】 概率统计34 【正确答案】 (1)(X 1， X2)的可能取值为(0，0)， (0，1)，(1，0)，(1，1)P(X 1=0，X 2=0)=P(X31)=01，P(X 1=0，X
19、2=1)=P(X21)=01， P(X1=1，X 2=0)=P(X11)=08，P(X 1=1，X 2=1)=0(X 1，X 2)的联合分布律为【知识模块】 概率统计35 【正确答案】 线段在数轴上的区间为0，L，设 X，Y 为两点在数轴上的坐标，两点之间的距离为 U=XY，X，Y 的边缘密度为【知识模块】 概率统计36 【正确答案】 因为 X 与 Y 相互独立，且 XN(0， 2)，Y N(0 ，)， 【知识模块】 概率统计37 【正确答案】 (1)E(U)=E(aX+bY)=0，E(V)=E(aXbY)=0D(U)=D(V)=(a 2+b2)2Cov(U ， V)=Cov(aX+bY，aX 一 bY)=a2D(X)一 b2D(Y)=(a2 一 b2)2(2)U，V 不相关 UV=0a=b【知识模块】 概率统计38 【正确答案】 【知识模块】 概率统计
