1、考研数学一-概率论与数理统计随机事件与概率及答案解析(总分：96.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：21，分数：11.00)1.若二事件 A和 B同时出现的概率 P(AB)=0，则（分数：0.50）A.A和 B不相容(互斥)B.AB是不可能事件C.AB未必是不可能事件D.P(A)=0或 P(B)=02.对于任意二事件 A和 B，有 P(A-B)等于 AP(A)-P(B) BP(A)-P(B)+P(AB) CP(A)-P(AB) D （分数：0.50）A.B.C.D.3.以 A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则 A的对立事件 （分数：0.50）A.“甲种产品滞销，乙种产品畅
2、销”B.“甲，乙两种产品均畅销”C.“甲种产品滞销”D.“甲种产品滞销或乙种产品畅销”4.设 A，B 为两随机事件，且 （分数：0.50）A.P(A+B)=P(A)B.P(AB)=P(A)C.P(B丨 A)=P(B)D.P(B-A)=P(B)-P(A)5.设 A和 B是任意两个概率不为零的不相容事件，则下列结论中肯定正确的是 A 不相容 B （分数：0.50）A.B.C.D.6.设当事件 A与 B同时发生时，事件 C必发生，则（分数：0.50）A.P(C)P(A)+P(B)-1B.P(C)P(A)4-P(B)-1C.P(C)=P(AB)D.P(C)=P(AB)7.在电炉上安装了 4个温控器，其
3、显示温度的误差是随机的，在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度 t 0 ，电炉就断电以 E表示事件“电炉断电”，设 T (1) T (2) T (3) T (4) 为4个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件 E等于（分数：0.50）A.T(1)t0B.T(2)t0C.T(3)t0D.T(4)t08.对于任意二事件 A和 B，与 AB=B 不等价 的是 A B C D （分数：0.50）A.B.C.D.9.对于事件 A和 B，满足 P(B|A)=1的充分条件是 AA 是必然事件 B C D （分数：0.50）A.B.C.D.10.设 A，B 为任意两个事件，且 （分数：0.
4、50）A.P(A)P(A|B)B.P(A)P(A|B)C.P(A)P(A|B)D.P(A)P(A|B)11.已知 0P(B)1，且 P(A 1 +A 2 )|B=P(A 1 |B)+P(A 2 |B)，则下列选项成立的是 A （分数：0.50）A.B.C.D.12.设 0P(A)1，0P(B)1， （分数：0.50）A.事件 A和 B互不相容B.事件 A和 B互相对立C.事件 A和 B互不独立D.事件 A和 B相互独立13.设 A，B，C 是三个相互独立的随机事件，且 0P(AC)，P(C)1，则在下列给定的四对事件中不相互独立的是 A B C D （分数：0.50）A.B.C.D.14.设
5、A，B，C 三个事件两两独立，则 A，B，C 相互独立的充分必要条件是（分数：0.50）A.A与 BC独立B.AB与 AC 独立C.AB与 AC独立D.AB 与 AC 独立15.将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A 1 =掷第一次出现正面，A 2 =掷第二次出现正面，A 3 =正、反面各出现一次，A 4 =正面出现两次，则事件（分数：0.50）A.A1，A2，A3 相互独立B.A2，A3，A4 相互独立C.A1，A2，A3 两两独立D.A2，A3，A4 两两独立16.对于任意二事件 A和 B， A若 ，则 A，B 一定独立 B若 ，则 A，B 有可能独立 C若 ，则 A，B 一定独立 D若 （
6、分数：0.50）A.B.C.D.17.设随机变量 X的密度函数为 (x)，且 (-x)=(x)，F(x)为 X的分布函数，则对任意实数 ，有 A B （分数：0.50）A.B.C.D.18.设 F 1 (x)与 F 2 (x)分别为随机变量 X 1 和 X 2 的分布函数为使 F(x)-F 1 (x)-bF 2 (x)是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组值中应取 A B C D （分数：0.50）A.B.C.D.19.设随机变量 X和 Y均服从正态分布 XN(，4 2 )，YN(，5 2 )；记 P 1 =PX-4，P 2 =PY+5，则（分数：0.50）A.对任何实数 ，都有 P1=P
7、2B.对任何实数 ，都有 P1P2C.只对 的个别值，才有 P1=p2D.对任何实数 ，都有 P1P220.设随机变量 X服从正态分布 N(， 2 )，则随着 的增大，概率 P|X-|（分数：0.50）A.单调增大B.单调减少C.保持不变D.增减不定21.假设随机变量 X服从指数分布，则随机变量 Y=minX，2的分布函数（分数：1.00）A.是连续函数B.至少有两个间断点C.是阶梯函数D.恰好有一个间断点二、填空题(总题数：15，分数：29.00)22.假设 P(A)=0.4，P(AB)=0.7，那么 (1)若 A与 B互不相容，则 P(B)= 1。 (2)若 A与 B相互独立，则 P(B)
8、= 2。 （分数：2.00）23.设 A，B 为随机事件，P(A)=0.7，P(A-B)=0.3，则 P(AB)= 1。 （分数：2.00）24.设对于事件 A，B，C，有 ，P(A8)=P(BC)=0，P(AC)= （分数：2.00）25.将 C，C，E，E，I，N，S 这七个字母随机地排成一行，那么，恰好排成英语单词 SCIENCE的概率为 1。 （分数：2.00）26.设 A，B 为任意两个随机事件，则 （分数：2.00）27.设 10件产品中有 4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率为 1。 （分数：2.00）28.设一批产品中一，二
9、，三等品各占 60%，30%，10%，现从中任取一件，结果不是三等品，则取到的是一等品的概率为 1。 （分数：2.00）29.一射手对同一目标独立地进行 4次射击，若至少命中一次的概率为 （分数：2.00）30.设随机变量 X的概率分布为 PX=1=0.2，PX=2=0.3，FX=3=0.5。试写出 X的分布函数 F(x)= 1。 （分数：2.00）31.设随机变量 X的分布函数为 ，则 （分数：2.00）32.设随机变量 X的概率函数为 （分数：2.00）33.设随机变量 X的概率密度为 ，若 k使得 （分数：2.00）34.一实习生用同一台机器接连独立地制造 3个同种零件，第 i个零件是不
10、合格品的概率 （分数：2.00）35.设随机变量 x的概率密度函数为 以 Y表示对 X进行三次独立重复观察中事件 （分数：2.00）36.设随机变量 X服从参数为(2，p)的二项分布，随机变量 y服从参数为(3，p)的二项分布若 （分数：1.00）三、计算证明题(总题数：18，分数：56.00)37.从 0，1，2，9 等十个数字中任意选出 3个不同的数字，求下列事件的概率： A 1 =三个数字不含 0和 5；A 2 =三个数字含 0但不含 5 （分数：2.50）_38.考虑一元二次方程 x 2 +Bx+C=0，其中 B，C 分别是将一枚骰子接连掷两次先后出现的点数求该方程有实根的概率 p和有
11、重根的概率 q （分数：2.50）_39.假设有两箱同种零件：第一箱内装 50件，其中 10件一等品；第二箱内装 30件，其中 18件一等品，现从两箱中随机挑出一箱，然后从该箱中先后取出两个零件(取出的零件均不放回)，试求： 先取出的零件是一等品的概率 p；在先取出的零件是一等品的条件下，后取出的零件仍然是一等品的条件概率 q （分数：2.50）_40.玻璃杯成箱出售，每箱 20只，假设各箱含 0，1，2 只残次品的概率分别为 0.8，01 和 0.1。一顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，由售货员随意取一箱，而顾客开箱随机地察看 4只：若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回试求： 顾客买此箱玻璃
12、杯的概率 ；在顾客买的此箱玻璃杯中，确实没有残次品的概率 （分数：2.50）_设有来自三个地区的各 10名，15 名，25 名考生的报名表，其中女生的报名表分别为 3份，7 份和 5份随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份（分数：5.00）(1).求先抽到的一份是女生表的概率 p；（分数：2.50）_(2).已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率 q（分数：2.50）_假设一厂家生产的每台仪器，以概率 0.70可以直接出厂，以概率 0.30需进一步调试；经调试后以概率0.80可以出厂，以概率 0.20定为不合格品不能出厂现该厂新生产了 n(n2)台仪器(假设各台仪器的生产过
13、程相互独立)，求：（分数：7.50）(1).全部能出厂的概率 ；（分数：2.50）_(2).其中恰好有两台不能出厂的概率 ；（分数：2.50）_(3).其中至少有两台不能出厂的概率 （分数：2.50）_41.一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号灯显示的时间相等以 X表示汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数，求 X的概率分布(信号灯的工作是相互独立的) （分数：2.50）_假设一大型设备在任何长为 t的时间内发生故障的次数 N(t)服从参数为 t 的泊松分布（分数：5.00）(1).求相继两次故障之间时间间隔 T的
14、概率分布；（分数：2.50）_(2).求在设备已无故障工作 8小时的情形下，再无故障工作 8小时的概率 Q（分数：2.50）_42.假设随机变量 X的概率密度函数 （分数：2.50）_设随机变量 x的绝对值不大于 1； （分数：5.00）(1).X的分布函数 F(x)=PXx；（分数：2.50）_(2).X取负值的概率户（分数：2.50）_43.设随机变量 X在2，5上服从均匀分布，现在对 X进行三次独立观测，试求至少有两次观测值大于 3的概率 （分数：2.50）_44.某仪器装有三只独立工作的同型号电子元件，其寿命(单位：小时)都服从同一指数分布，分布密度为 （分数：2.50）_45.某地抽
15、样调查结果表明，考生的外语成绩(百分制)近似正态分布，平均成绩为 72分，96 分以上的占考生总数的 2.3%，试求考生的外语成绩在 60分至 84分之间的概率(正态分布表见下表，其中 (x)表示标准正态分布函数) x 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 （分数：2.50）_46.假设测量的随机误差 XN(0，10 2 )试求在 100次独立重复测量中，至少有三次测量误差的绝对值大于 19.6的概率 并用泊松分布求出 的近似值(要求小数点后取两位有效数字)泊松分布表见下表 1 2 3 4 5 6 7 e - 0.368 0.135 0.050 0.018 0.007 0.002
16、 0.001 （分数：2.50）_47.假设随机变量 X在区间(1，2)上服从均匀分布，求 y=e 2X 的概率密度 f Y (y) （分数：2.50）_48.假设随机变量 X服从参数为 2的指数分布，证明 Y=1-e-2 X 在区间(0，1)上服从均匀分布 （分数：2.50）_49.假设一设备开机后无故障工作的时间 X服从指数分布，平均无故障工作的时间(E(X)为 5小时，设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作 2小时便关机。试求该设备每次开机无故障工作的时间 Y的分布函数 F(y)。 （分数：2.50）_50.设随机变量 X的概率密度为 （分数：1.00）_考研数学一-概
17、率论与数理统计随机事件与概率答案解析(总分：96.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：21，分数：11.00)1.若二事件 A和 B同时出现的概率 P(AB)=0，则（分数：0.50）A.A和 B不相容(互斥)B.AB是不可能事件C.AB未必是不可能事件 D.P(A)=0或 P(B)=0解析：2.对于任意二事件 A和 B，有 P(A-B)等于 AP(A)-P(B) BP(A)-P(B)+P(AB) CP(A)-P(AB) D （分数：0.50）A.B.C. D.解析：3.以 A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则 A的对立事件 （分数：0.50）A.“甲种产品滞销，乙种产品畅
18、销”B.“甲，乙两种产品均畅销”C.“甲种产品滞销”D.“甲种产品滞销或乙种产品畅销” 解析：4.设 A，B 为两随机事件，且 （分数：0.50）A.P(A+B)=P(A) B.P(AB)=P(A)C.P(B丨 A)=P(B)D.P(B-A)=P(B)-P(A)解析：5.设 A和 B是任意两个概率不为零的不相容事件，则下列结论中肯定正确的是 A 不相容 B （分数：0.50）A.B.C.D. 解析：6.设当事件 A与 B同时发生时，事件 C必发生，则（分数：0.50）A.P(C)P(A)+P(B)-1B.P(C)P(A)4-P(B)-1 C.P(C)=P(AB)D.P(C)=P(AB)解析：7
19、.在电炉上安装了 4个温控器，其显示温度的误差是随机的，在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度 t 0 ，电炉就断电以 E表示事件“电炉断电”，设 T (1) T (2) T (3) T (4) 为4个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件 E等于（分数：0.50）A.T(1)t0B.T(2)t0C.T(3)t0 D.T(4)t0解析：8.对于任意二事件 A和 B，与 AB=B 不等价 的是 A B C D （分数：0.50）A.B.C.D. 解析：9.对于事件 A和 B，满足 P(B|A)=1的充分条件是 AA 是必然事件 B C D （分数：0.50）A.B.C.D.
20、解析：10.设 A，B 为任意两个事件，且 （分数：0.50）A.P(A)P(A|B)B.P(A)P(A|B) C.P(A)P(A|B)D.P(A)P(A|B)解析：11.已知 0P(B)1，且 P(A 1 +A 2 )|B=P(A 1 |B)+P(A 2 |B)，则下列选项成立的是 A （分数：0.50）A.B. C.D.解析：12.设 0P(A)1，0P(B)1， （分数：0.50）A.事件 A和 B互不相容B.事件 A和 B互相对立C.事件 A和 B互不独立D.事件 A和 B相互独立 解析：13.设 A，B，C 是三个相互独立的随机事件，且 0P(AC)，P(C)1，则在下列给定的四对事
21、件中不相互独立的是 A B C D （分数：0.50）A.B. C.D.解析：14.设 A，B，C 三个事件两两独立，则 A，B，C 相互独立的充分必要条件是（分数：0.50）A.A与 BC独立 B.AB与 AC 独立C.AB与 AC独立D.AB 与 AC 独立解析：15.将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A 1 =掷第一次出现正面，A 2 =掷第二次出现正面，A 3 =正、反面各出现一次，A 4 =正面出现两次，则事件（分数：0.50）A.A1，A2，A3 相互独立B.A2，A3，A4 相互独立C.A1，A2，A3 两两独立 D.A2，A3，A4 两两独立解析：16.对于任意二事件 A和 B
22、， A若 ，则 A，B 一定独立 B若 ，则 A，B 有可能独立 C若 ，则 A，B 一定独立 D若 （分数：0.50）A.B. C.D.解析：17.设随机变量 X的密度函数为 (x)，且 (-x)=(x)，F(x)为 X的分布函数，则对任意实数 ，有 A B （分数：0.50）A.B. C.D.解析：18.设 F 1 (x)与 F 2 (x)分别为随机变量 X 1 和 X 2 的分布函数为使 F(x)-F 1 (x)-bF 2 (x)是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组值中应取 A B C D （分数：0.50）A. B.C.D.解析：19.设随机变量 X和 Y均服从正态分布 XN(，
23、4 2 )，YN(，5 2 )；记 P 1 =PX-4，P 2 =PY+5，则（分数：0.50）A.对任何实数 ，都有 P1=P2 B.对任何实数 ，都有 P1P2C.只对 的个别值，才有 P1=p2D.对任何实数 ，都有 P1P2解析：20.设随机变量 X服从正态分布 N(， 2 )，则随着 的增大，概率 P|X-|（分数：0.50）A.单调增大B.单调减少C.保持不变 D.增减不定解析：21.假设随机变量 X服从指数分布，则随机变量 Y=minX，2的分布函数（分数：1.00）A.是连续函数B.至少有两个间断点C.是阶梯函数D.恰好有一个间断点 解析：二、填空题(总题数：15，分数：29.
24、00)22.假设 P(A)=0.4，P(AB)=0.7，那么 (1)若 A与 B互不相容，则 P(B)= 1。 (2)若 A与 B相互独立，则 P(B)= 2。 （分数：2.00）解析：23.设 A，B 为随机事件，P(A)=0.7，P(A-B)=0.3，则 P(AB)= 1。 （分数：2.00）解析：0.624.设对于事件 A，B，C，有 ，P(A8)=P(BC)=0，P(AC)= （分数：2.00）解析：25.将 C，C，E，E，I，N，S 这七个字母随机地排成一行，那么，恰好排成英语单词 SCIENCE的概率为 1。 （分数：2.00）解析：26.设 A，B 为任意两个随机事件，则 （分
25、数：2.00）解析：027.设 10件产品中有 4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率为 1。 （分数：2.00）解析：28.设一批产品中一，二，三等品各占 60%，30%，10%，现从中任取一件，结果不是三等品，则取到的是一等品的概率为 1。 （分数：2.00）解析：29.一射手对同一目标独立地进行 4次射击，若至少命中一次的概率为 （分数：2.00）解析：30.设随机变量 X的概率分布为 PX=1=0.2，PX=2=0.3，FX=3=0.5。试写出 X的分布函数 F(x)= 1。 （分数：2.00）解析：31.设随机变量 X的分布函数为
26、，则 （分数：2.00）解析：32.设随机变量 X的概率函数为 （分数：2.00）解析：33.设随机变量 X的概率密度为 ，若 k使得 （分数：2.00）解析：1,334.一实习生用同一台机器接连独立地制造 3个同种零件，第 i个零件是不合格品的概率 （分数：2.00）解析：35.设随机变量 x的概率密度函数为 以 Y表示对 X进行三次独立重复观察中事件 （分数：2.00）解析：36.设随机变量 X服从参数为(2，p)的二项分布，随机变量 y服从参数为(3，p)的二项分布若 （分数：1.00）解析：三、计算证明题(总题数：18，分数：56.00)37.从 0，1，2，9 等十个数字中任意选出
27、3个不同的数字，求下列事件的概率： A 1 =三个数字不含 0和 5；A 2 =三个数字含 0但不含 5 （分数：2.50）_正确答案：()解析：38.考虑一元二次方程 x 2 +Bx+C=0，其中 B，C 分别是将一枚骰子接连掷两次先后出现的点数求该方程有实根的概率 p和有重根的概率 q （分数：2.50）_正确答案：()解析：39.假设有两箱同种零件：第一箱内装 50件，其中 10件一等品；第二箱内装 30件，其中 18件一等品，现从两箱中随机挑出一箱，然后从该箱中先后取出两个零件(取出的零件均不放回)，试求： 先取出的零件是一等品的概率 p；在先取出的零件是一等品的条件下，后取出的零件仍
28、然是一等品的条件概率 q （分数：2.50）_正确答案：()解析：40.玻璃杯成箱出售，每箱 20只，假设各箱含 0，1，2 只残次品的概率分别为 0.8，01 和 0.1。一顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，由售货员随意取一箱，而顾客开箱随机地察看 4只：若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回试求： 顾客买此箱玻璃杯的概率 ；在顾客买的此箱玻璃杯中，确实没有残次品的概率 （分数：2.50）_正确答案：()解析：设有来自三个地区的各 10名，15 名，25 名考生的报名表，其中女生的报名表分别为 3份，7 份和 5份随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份（分数：5.00）(1).求先抽到的一
29、份是女生表的概率 p；（分数：2.50）_正确答案：()解析：(2).已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率 q（分数：2.50）_正确答案：()解析：假设一厂家生产的每台仪器，以概率 0.70可以直接出厂，以概率 0.30需进一步调试；经调试后以概率0.80可以出厂，以概率 0.20定为不合格品不能出厂现该厂新生产了 n(n2)台仪器(假设各台仪器的生产过程相互独立)，求：（分数：7.50）(1).全部能出厂的概率 ；（分数：2.50）_正确答案：()解析：=0.94 n(2).其中恰好有两台不能出厂的概率 ；（分数：2.50）_正确答案：()解析：(3).其中至少有两台不能
30、出厂的概率 （分数：2.50）_正确答案：()解析：41.一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号灯显示的时间相等以 X表示汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数，求 X的概率分布(信号灯的工作是相互独立的) （分数：2.50）_正确答案：()解析：假设一大型设备在任何长为 t的时间内发生故障的次数 N(t)服从参数为 t 的泊松分布（分数：5.00）(1).求相继两次故障之间时间间隔 T的概率分布；（分数：2.50）_正确答案：()解析：即 T服从参数为 的指数分布(2).求在设备已无故障工作 8小时的情形下，再无故
31、障工作 8小时的概率 Q（分数：2.50）_正确答案：()解析：Q=e -8 42.假设随机变量 X的概率密度函数 （分数：2.50）_正确答案：()解析：设随机变量 x的绝对值不大于 1； （分数：5.00）(1).X的分布函数 F(x)=PXx；（分数：2.50）_正确答案：()解析：X 的分布函数为(2).X取负值的概率户（分数：2.50）_正确答案：()解析：43.设随机变量 X在2，5上服从均匀分布，现在对 X进行三次独立观测，试求至少有两次观测值大于 3的概率 （分数：2.50）_正确答案：()解析：44.某仪器装有三只独立工作的同型号电子元件，其寿命(单位：小时)都服从同一指数分
32、布，分布密度为 （分数：2.50）_正确答案：()解析：=1-e -145.某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩(百分制)近似正态分布，平均成绩为 72分，96 分以上的占考生总数的 2.3%，试求考生的外语成绩在 60分至 84分之间的概率(正态分布表见下表，其中 (x)表示标准正态分布函数) x 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 （分数：2.50）_正确答案：()解析：0.68246.假设测量的随机误差XN(0，10 2 )试求在100次独立重复测量中，至少有三次测量误差的绝对值大于19.6的概率并用泊松分布求出 的近似值(要求小数点后取两位有效数字)泊松分布表见下表 1
33、234567e-0.3680.1350.0500.0180.0070.0020.001（分数：2.50）_正确答案：()解析：由泊松定理得近似值为：47.假设随机变量 X在区间(1，2)上服从均匀分布，求y=e 2X 的概率密度 f Y (y) （分数：2.50）_正确答案：()解析：48.假设随机变量 X服从参数为 2的指数分布，证明Y=1-e-2 X 在区间(0，1)上服从均匀分布 （分数：2.50）_正确答案：()解析：利用分布函数法49.假设一设备开机后无故障工作的时间 X服从指数分布，平均无故障工作的时间(E(X)为 5小时，设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作 2小时便关机。试求该设备每次开机无故障工作的时间 Y的分布函数F(y)。（分数：2.50）_正确答案：()解析：50.设随机变量X的概率密度为 （分数：1.00）_正确答案：()解析：Y的分布函数为
