1、考研数学三（概率统计）模拟试卷 32 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 X 为随机变量，E(X)=，D(X)= 2，则对任意常数 C 有( )（A）E(XC) 2=E(X)2（B） E(XC)2E(X 一 )2（C） E(X 一 C)2=E(X2)一 C2（D）E(XC) 2E(X) 22 设 X，Y 为两个随机变量，若 E(XY)=E(X)E(Y)，则( ) （A）D(XY)=D(X)D(Y)（B） D(X+y)=D(X)+D(Y)（C） X，Y 独立（D）X，Y 不独立3 设 X，Y 为两个随机变量，若对任意非零常数 a，b 有 D(aX+b
2、Y)=D(aX 一 bY)，下列结论正确的是( ) （A）D(XY)=D(X)D(Y)（B） X，Y 不相关（C） X，Y 独立（D）X，Y 不独立4 设 X，Y 为随机变量，若 E(XY)一 E(X)E(y)，则( )（A）X，Y 独立（B） X，Y 不独立（C） X，Y 相关（D）X，Y 不相关5 若 E(XY)一 E(X)E(y)，则( )（A）X 和 Y 相互独立（B） X2 与 Y2 相互独立（C） D(XY)=D(X)D(Y)（D）D(X+Y)=D(X)+D(Y)6 设随机变量 XNU0，2，Y=X 2，则 X，Y( )（A）相关且相互独立（B）不相互独立但不相关（C）不相关且相互
3、独立（D）相关但不相互独立二、填空题7 设 X，Y 相互独立且都服从标准正态分布，则 E|X 一 Y|=_，D|X 一Y|=_8 设 D(X)=1， D(Y)=9， XY=一 03，则 Cov(X，Y)=_9 设随机变量 X 方差为 2，则根据切比雪夫不等式有估计 P|X 一 E(X)|2)_10 若随机变量 X1，X 2，X n 相互独立同分布于 N(，2 2)，则根据切比雪夫不等式得 P| 一 |2_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 一台设备由三大部件构成，在设备运转过程中各部件需要调整的概率分别为01，02，03，假设各部件的状态相互独立，以 X 表示同时需要调整的
4、部件数，求 E(X)，D(X)12 设随机变量 X 服从参数为 的指数分布，对 X 独立地重复观察 4 次，用 Y 表示观察值大于 3 的次数，求 E(Y2)12 设随机变量 X，Y 同分布，X 的密度为 f(x)= 设A=Xa)与 B=Ya)相互独立，且 P(A+B)= 求：13 a；14 15 某流水线上产品不合格的概率为 p= ，各产品合格与否相互独立，当检测到不合格产品时即停机检查，设从开始生产到停机检查生产的产品数为 X，求 E(X)及 D(X)16 设试验成功的概率为 ，失败的概率为 ，独立重复试验直到成功两次为止求试验次数的数学期望17 游客乘电梯从底层到顶层观光，电梯于每个整点
5、的 5 分、25 分、55 分从底层上行，设一游客早上 8 点 X 分到达底层，且 X 在0，60上服从均匀分布，求游客等待时间的数学期望18 设 Xf(x)= 对 X 进行独立重复观察 4 次，用 Y表示观察值大于 的次数，求 E(Y2)19 设某种零件的长度 LN(18，4)，从一大批这种零件中随机取出 10 件，求这 10件中长度在 1622 之间的零件数 X 的概率分布、数学期望和方差20 一民航班车上有 20 名旅客，自机场开出，旅客有 10 个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就不停车，以 X 表示停车次数，求 E(X)(设每位旅客下车是等可能的)20 设某箱装有 100 件
6、产品，其中一、二、三等品分别为 80 件、10 件和 10 件，现从中随机抽取一件，记 Xi=21 求(X 1，X 2)的联合分布；22 求 X1，X 2 的相关系数23 在长为 L 的线段上任取两点，求两点之间距离的数学期望及方差24 设 X 与 Y 相互独立，且 XN(0， 2)，yN(0， 2)，令 Z= ，求E(Z)，D(Z)24 设随机变量 X，Y 独立同分布，且 XN(0， 2)，再设 U=aX+bY，V=aX 一bY，其中 a， b 为不相等的常数求：25 E(U)，E(V)，D(U) ，D(V) ， UV；26 设 U，V 不相关，求常数 a，b 之间的关系27 设 XU(一
7、1，1) ，Y=X 2，判断 X，Y 的独立性与相关性考研数学三（概率统计）模拟试卷 32 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 E(X 一 C)2一 E(X)2=E(X2)一 2CE(X)+C2一E(X 2)一 2E(X)+2 =C2+2E(X)E(X)一 C一E(X) 2=CE(X)20，选(B)【知识模块】 概率统计2 【正确答案】 B【试题解析】 因为 E(XY)=E(X)E(Y)，所以 Cov(X，Y)=0，又 D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y) ，所以 D(X+Y)=D(X)+D(Y)，选(B)【
8、知识模块】 概率统计3 【正确答案】 B【试题解析】 D(aX+bY)=a 2D(X)+b2D(Y)+2abCov(X，Y) ， D(aX 一 bY)=a2D(X)+b2D(Y)一 2abCov(X，Y)， 因为 D(aX+bY)=D(aX 一 bY)，所以 Cov(X，Y)=0，即 X，Y 不相关，选(B)【知识模块】 概率统计4 【正确答案】 D【试题解析】 因为 Cov(X，Y)=E(XY)一 E(X)E(Y)，所以若 E(XY)=E(X)E(Y)，则有 Cov(X，Y)=0，于是 X，Y 不相关，选(D) 【知识模块】 概率统计5 【正确答案】 D【试题解析】 因为 E(XY)=E(X
9、)E(Y)，所以 Cov(X，Y)=E(XY)一 E(X)E(Y)=0，而 D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y)，所以 D(X+Y)=D(X)+D(Y)，正确答案为(D) 【知识模块】 概率统计6 【正确答案】 D【试题解析】 由 XNU0，2得 fX(x)= E(X)=1，E(y)=E(X 2)=02x3dx=2，因为 E(XY)E(X)E(y)，所以X，Y 一定相关，故 X，Y 不独立，选(D)【知识模块】 概率统计二、填空题7 【正确答案】 2 一 【试题解析】 令 Z=X 一 Y，则 ZN(0，2)，f Z(z)= (一z+)EX一 Y|=E|Z|=一 +|Z|fZ(z
10、)dz= 因为E|Z|2=E(Z2)=D(Z)+E(Z)2=2，所以 D|Z|=E|Z|2 一(E|Z|) 2=2 一 【知识模块】 概率统计8 【正确答案】 一 09【试题解析】 Cov(X，Y)= =一 0313=一 09【知识模块】 概率统计9 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率统计10 【正确答案】 【试题解析】 因为 X1，X 2，X n 相互独立同分布于 N(，2 2)，所以从而【知识模块】 概率统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 令 Ai=(第 i 个部件需要调整)(i=1，2，3)，X 的可能取值为0，1，2，3，P(X=0)=
11、 =090807=0504，P(X=1)=0398，P(X=3)=P(A 1A2A3)=0006 ，P(X=2)=1 一 0 504 一 0398 一 0006 一 0092，所以 X 的分布律为X E(X)=10398+20092+30006=06，D(X)=E(X 2)一E(X)2=120398+2 20092+3 20006 一 036=046【知识模块】 概率统计12 【正确答案】 显然 YB(4，p)，其中 p=P(X3)=1 一 P(X3)，因为 X，所以 FX(x)= 从而 p=1 一 FX(3)=e 一 1由 E(Y)=4e 一1，D(Y)=4e 一 1(1 一 e 一 1)，
12、得 E(Y2)=D(Y)+E(Y)2=4e 一 1 一 4e 一 2+16e 一 2=4e 一1+12e 一 2【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计13 【正确答案】 因为 P(A)=P(B)且 P(AB)=P(A)P(B)，所以令 P(A)=p，于是 2p 一p2= 解得 P= ，即 P(A)=P(Xa)= ，而 P(X a)=a2【知识模块】 概率统计14 【正确答案】 【知识模块】 概率统计15 【正确答案】 X 的分布律为 P(X=k)=(1 一 p)k 一 1p(k=1，2，)则 D(X)=E(X2)一E(X) 2=190 一 100=90【知识模块】 概率统计16 【正确答
13、案】 设试验的次数为 X，则 X 的分布律为【知识模块】 概率统计17 【正确答案】 因为 X0，60，所以 X 的密度函数为 f(x)=游客等电梯时间设为 T，则E(T)=一 +T(x)f(x)dx= 05(5 一 x)dx+225(25 一 x)dx+2555(55 一 x)dx+5560(65 一 x)dx=1167(分钟)【知识模块】 概率统计18 【正确答案】 YB(4，p)，其中 p= E(Y2)=D(y)+E(Y)2=5【知识模块】 概率统计19 【正确答案】 显然 XB(10，p)，其中 p=P(16L22)因为 LN(18，4)，所以 N(0，1) ，所以 p=P(16L22
14、)= 因此 E(X)=np=1008185=8185，D(X)=npq=1008185(1 一 08185)=14856【知识模块】 概率统计20 【正确答案】 令 Xi= (i=1，2，10)，显然X=X1+X2+X10因为任一旅客在第 i 个站不下车的概率为 09，所以 20 位旅客都不在第 i 个站下车的概率为 0920，从而第 i 个站有人下车的概率为 1 一09 20，即 Xi 的分布律为 Xi (i=1，2，10)于是 E(Xi)=1 一09 20(i=1，2，10)，从而有 E(X)= E(Xi)=10(1 一 09 20)=8784【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计2
15、1 【正确答案】 (X 1，X 2)的可能取值为(0，0) ，(0 ，1)，(1 ，0)，(1，1)P(X i=0，X 2=0)=P(X3=1)=01，P(X i=0，X 2=1)=P(X2=1)=01， P(X1=1，X 2=0)=P(X1=1)=08，P(X 1=1， X2=1)=0(X 1，X 2)的联合分布律为【知识模块】 概率统计22 【正确答案】 X 1 ，X 2 ，X 1X2 E(X1)=E(X12)=08，E(X 2)=E(X22)=01，E(X 1X2)=0，则 D(X1)=016，D(X 2)=009Cov(X 1X2)=一 008，于是【知识模块】 概率统计23 【正确答
16、案】 线段在数轴上的区间为0，L，设 X，y 为两点在数轴上的坐标，两点之间的距离为 U=|X 一 Y|，X ，Y 的边缘密度为因为 X，Y 独立，所以(X ， Y)的联合密度函数为 f(x，y)= 于是 E(U)=E|X 一 Y|=一+dx一 +|x 一 y|f(x，y)dy E(U2)=E|X 一 Y|2=一+dx一 +|x 一 y|2f(x，y)dy= 则 D(U)=E(U2)一E(U) 2=【知识模块】 概率统计24 【正确答案】 因为 X 与 y 相互独立，且 X，N(0， 2)，yN(0， 2)，所以(X， Y)的联合密度函数为 f(x，y)=【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计25 【正确答案】 E(U)=E(aX+bY)=0，E(V)=E(aX 一 bY)=0，D(U)=D(V)=(a 2+b2)2Cov(U ， V)=Cov(aX+bY，aX 一 bY)=a2D(X)一 b2D(Y)=(a2b2)2【知识模块】 概率统计26 【正确答案】 U，V 不相关 |a|=|b|【知识模块】 概率统计27 【正确答案】 Cov(X，Y)=E(XY)一 E(X)E(Y)，E(X)=0，E(XY)=E(X 3)=0因此 Cov(X，Y)=0 ，X，Y 不相关；判断独立性，可以采用试算法【知识模块】 概率统计
