1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 102 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 y=(x)在(0 ，+)内有界且可导，则( )2 设 f(x)= 如果 f(x)在 x=0 点处连续，则 k 等于( )（A）0（B） 2（C）（D）13 设 y= 则 y xx=0 等于( )4 设 f(x)在点 x=0 的某邻域内连续，且 ，则在点 x=0 处 f(x)( )（A）取得极大值（B）取得极小值（C）不可导（D）可导但 f(0)05 已知 f(sinx)=x，则 f(sinx)等于( )（A）sinx+cosx+C（B） x+arcsinx+C（C） x
2、sinx+C（D）xsinx+cosx+C6 设 an= 等于( )7 设摆线 x=a(t-sint)，y=a(1-cost)，a0，在其第一拱上分摆线的长度为 1：3 的点的坐标为( )8 设 u=f(x，y)，而 x=rcos，y=rsin(r0， 0， 2)，其中 f 具有二阶连续导数，则 等于( )（A）-f 1sin+f2cos（B） rsincos(f22-f11)-f1sin+f2cos（C） rcos2f11-f1sin+f2cos.（D）rsincos(f 22-f11)+rcos2f12-f1sin+f2cos.9 二次积分 可写成( )10 设曲线 ：x=t ，y= (0
3、t1)，其线密度 = ，则曲线的质量为( )11 下列四个级数中发散的是( )12 函数 f(x)=arctan 展开成 x 的幂级数为( )13 设曲线 y=y(x)满足 xdy+(x-2y)dx=0，且 y=y(x)与直线 x=1 及 x 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转所得旋转体的体积最小，则 y(x)=( )二、填空题14 =_.15 设 f(x)= 在(-，+)内连续，则a=_，b=_16 设函数 y=y(x)由方程 =_17 已知函数 y=f(x)具有二阶连续导数，且(a，f(a)是曲线 y=f(x)的拐点，则=_.18 x3ex2dx=_.19 设当 x0 时，连续函数 f(x)
4、满足 ，则 f(2)=_20 点 P0(1，0，-1) 到直线 L： 的距离为_21 设 f(t， et)dt，其中 f(u，v) 是连续函数，则 dz=_22 在直角坐标下二次积分 则在极坐标下先对 r 后对 的二次积分 I=_23 设 是圆柱面 x2+y2=1 与平面 z=x+y 的交线从 z 轴正向往 z 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分 xzdx+xdy+ =_24 幂级数 x2n-的收敛半径为_25 已知 是微分方程 的表达式是_考研数学一（高等数学）模拟试卷 102 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 (反例排
5、除法)取 f(x)= 显然 f(x)在(0，+)内可导因为，所以 f(x)在(0，+) 内有界不存在，排除 A因为，排除 C、D 【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 D【试题解析】 如果 f(x)在 x=0 点处连续，则【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 C【试题解析】 因为 ln(1+x2)，所以【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 B【试题解析】 因为当 x0 时，e x-1x，sinxx，所以由 与 f(x)在点 x=0 的某邻域内的连续性，知 =f(0)=0于是由排除C、D由极限的局部保号性及 知，在 x=0的某去心邻域内， ，即 f(x)f(0)，所以在点 x=0 处 f(
6、x)取得极小值【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 D【试题解析】 因为 f(sinx)=x，所以f(sinx)=f(sinx)d(sinx)=xd(sinx)=xsinx-sinxdx=xsinx+cosx+C【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 B【试题解析】 因为，所以【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 A【试题解析】 设第一拱上分摆线的长度为 1：3 的点对应的参数为 t0，则由参数方程表示下面曲线的弧长计算公式，摆线的第一拱的长度为由题设故所求点的坐标为【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查二元复合函数的二阶偏导数的计算由二元复合函数偏导数的链式法则
7、，有 =f11(-rsin)+f12rcoscos-f1sin+f21(-rsin)+f22rcossin+f2cos，因为 f 具有二阶连续偏导数，所以 f12=f21，于是 =rsincos(f22-f11)+rcos2f12-f1sin+f2cos【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 C【试题解析】 的积分区域 D1 为由直线 x=0，y=x，y=1 围成；的积分区域 D2 为由直线 y=1，x=0，x=2-y 围成所以二次积分的积分区域 D=D1D2 是由直线 x=0，y=x，x+y=2 围成，如图 21 所示，故原积分形式可写成【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 A【试题解析
8、】 本题主要考查第一类曲线积分的物理意义与计算方法根据第一类曲线积分的物理意义与计算方法，曲线的质量为【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 B【试题解析】 对于 A，因为 由比值审敛法知，级数 收敛对于 B，因为而级数 发散，由比较审敛法的极限形式知，级数 发散如果从考试的角度讲，应选 B，解题结束但为便于考生复习，对于 C，这是一个交错级数，因为当xe 2 时，f(x)单调减少，所以当 ne 2时， ，故由交错级数的莱布尼茨定理知，级数 收敛对于 D，因为【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 D【试题解析】 将 f(x)= 展开成 x 的幂级数非常困难，考虑用“先导后积”法显然 f(
9、0)= 对 f(x)求导得等式两边从 0到 x 积分，得【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 C【试题解析】 原微分方程可化为 ，这是一阶线性微分方程由其通解公式有 曲线y=x+Cx2 与直线 x=1 及 x 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转所得旋转体的体积为故当 C=时，V 取得最小值 所以 y(x)=x- x2【知识模块】 高等数学二、填空题14 【正确答案】 【试题解析】 这是一个 型未定式的极限，可考虑用洛必达法则，也可利用对数的运算性质进行转换【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 -1，1【试题解析】 因为 f(x)在(-，+) 内连续，所以 x=0 与 x=1 是 f(x)
10、的连续点，故所以 b=1，a+b=0，即 a=-1，b=1【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 【试题解析】 这是一个隐函数求导问题，由于方程两边表达式是幂指函数，故可先对方程两边取对数，再将方程两边对 x 求导方程，xlnx=ylny，两边对 x 求导，得【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 0【试题解析】 因为 y=f(x)具有二阶连续导数，且(a，f(a)是曲线 y=f(x)的拐点，所以 f(a)=0，由洛必达法则【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 【试题解析】 先作变换 x2=t，再用分部积分公式计算令 x2=t，则【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 【试题解析】
11、已知方程两边对 x 求导，得 f(x2+x3).(2x+3x2)=1， f(x 2+x3)=取 x=1，得 f(2)=【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 【试题解析】 过点 P0 作平面垂直于直线 L，记平面 与直线 L 的交点为 P，则点 P0 与 P 之间的距离即为点 P0 到直线 L 的距离(如图 43)直线 L 的方向向量也是所作平面的法向量，由平面的点法式方程，得所作平面为 -(x-1)-(y-0)+2(x+1)=0， 即 x+y-2z-3=0，联立方程组所以 P 点坐标为 ，故点 P0 到直线 L 的距离为【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 xf(x 2y,ex2y)(
12、2ydx+xdy)【试题解析】 这是一个积分上限的二元函数的全微分计算问题利用积分上限函数的求导公式及偏导数的计算方法，有 =f(x2 y,ex2y)2xy， =f(x2y,ex2y)x 2，所以 dz=xf(x 2y,ex2y)(2ydx+xdy)【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 【试题解析】 由已知二次积分知，积分区域由直线 y=0，y=2 ，x=-y 及曲线围成，如图 48 所示在极坐标下积分区域可分成两部分【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 【试题解析】 本题考查空间曲线上第二类曲线积分的计算将 化成参数方程，把曲线积分转化为定积分直接计算将曲线 化为参数方程02则【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 【试题解析】 考查缺奇数项的幂级数的收敛半径考虑幂级数由高等数学知该幂级数的收敛半径【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 【试题解析】 将 y= 代入微分方程，得【知识模块】 高等数学
