1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 103 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)= 则 x=0 是间断点的函数是( )（A）maxf(x) ，g(x)（B） minf(x)，g(x)（C） f(x)-g(x)（D）f(x)+g(x)2 设 f(x)= ，讨论 f(x)的间断点，其结论为 ( )（A）不存在间断点（B） x=1 为其第一类间断点（C） x=1 为其第二类间断点（D）x=0 为其第一类间断点3 设 y= ，则 y(n)等于( )4 曲线 的渐近线的条数为( )（A）1（B） 2（C） 3（D）05 设 f(x)的一个原函数是 sin
2、x，则f(x)sinxdx 等于( )6 xln2xdx 是( )（A）定积分且值为（B）定积分且值为（C）反常积分且发散（D）反常积分且收敛于7 横截面积为 S，深为 h 的长方体水池里装满了水现要把水全部抽到高为 H 的水塔上，需要做的功为( )(其中 g 为重力加速度， 为水的密度)8 设由方程 F(x，y，z)=0 所确定的函数关系中，已知=( )9 直角坐标下的二次积分 可写成( )10 设曲线 L：f(x，y)=1(f(x，y)具有一阶连续偏导数)，过第象限内的点 M 和第象限内的点 N， 为 L 上从点 M 到点 N 的一段弧，则下列积分小于零的是( )（A） f(x，y)dx（
3、B） f(x， y)dy.（C） f(x,y)ds（D）f x(x， y)dx+fy(x，y)dy.11 设 (-1)nan 条件收敛，则必有( )12 设 f(x)=其中 an= 等于( )（A）（B）（C） -1（D）113 微分方程 y+y-y-y=0 的通解为( )（A）y=C 1e-x+C2xe-x+C3ex（B） y=C1cosx+C2sinx+C3ex（C） y=ex(C1cosx+C2sinx)+C3e-x（D）y=C 1ex+C2xex+C3e-x二、填空题14 =_.15 已知 f(x)= 在 x=0 处连续，则 k=_16 设 f(x)= ，则 f(1)=_17 =_18
4、 =_.19 设函数 f(x)在(0，+)内可导，且 f(x)=1+ ，则 f(x)=_，20 设直线 L1： 与直线 L2：x+1=y-1=x 相交于一点，则=_21 如果函数 z=f(x，y)满足 ，且 f(x，1)=x+2，f y(x，1)=x+1，则 f(x，y)=_22 设平面区域 D=(x，y)x+y1 ，则 (x+y)dxdy=_ 23 设曲面 为锥面 被柱面 x2+y2=2x 所截得的有限部分，则曲面积分 =_.24 幂级数 的收敛域为_25 已知函数 y=y(x)在任意点 x 处的增量 ，且当x0 时，a是x 的高阶无穷小，y(0)=，则 y(1)_考研数学一（高等数学）模拟
5、试卷 103 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 写出 A、B、C、D 选项中的表达式，即可知道正确选项因为当x0 时， 故Amaxf(x)，g(x)=1，x(-，+) ；Bminf(x) ，g(x)=由 ，则 A、B、D 都在 x=0 点连续，故应选 C事实上【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 B【试题解析】 当x1 时，f(x)= 当x=1 时，f(x)=0；当x1 时， 所以 f(x)=由x=-1 是跳跃间断点，即第一类间断点；由x=1 是跳跃间断点，即第一类间断点【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 B【试题解
6、析】 先将 拆项分开，然后利用不完全归纳法求解【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 B【试题解析】 水平渐近线：因为 ，所以曲线无水平渐近线铅直(垂直)渐近线：因为 是曲线的铅直(垂直)渐近线斜渐近线：因为所以 是曲线的斜渐近线综上所述，曲线 有 2 条渐近线【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 B【试题解析】 因为 f(x)的一个原函数是 sinx，所以 f(x)=(sinx)=cosx，f(x)dx=sinx+C1利用分部积分公式， f(x)sinxdx=sinxdf(x)=sinx.f(x)-f(x)cosxdx【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 B【试题解析】 虽然被积函数 f
7、(x)=xln2x 在点 x=0 处无定义，但若补充定义 f(0)=0，则 f(x)在0，1上连续，因而 xln2xdx 是定积分，且【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 A【试题解析】 将坐标原点取在水池底，y 轴竖直向上，建立坐标系，如图17(a)取 y 为积分变量，则 y0，h，考虑0，h上的微元y，y+dy，要将横截面积为 S，高为 dy 的水抽到高为 H 的水塔上，需提升的高度为 H+h-y，故做功微元为 dW=Sg(H+k-y)dy，所以需做的功为 W= (H+h-y)dy【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 A【试题解析】 本题考查由三元方程 F(x，y，z)=0 所确定的二
8、元隐函数 z=z(x，y)，y=y(x，z)，x=x(y，z)的偏导数计算公式由【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 A【试题解析】 这是一个将直角坐标下的二次积分转化为极坐标下的二次积分问题，应根据直角坐标下的二次积分画出积分区域图 由已知二次积分知，积分区域 D由直线 x=1，y=0 及曲线 y=x2 围成，如图 22 所示曲线 y=x2 的极坐标方程为rsin=(rcos)2，即 r=tansec，直线 x=1 的极坐标方程为 r=sec于是，在极坐标下，积分区域为 D=(r，) 0 ，tansecrsec，故应选 A【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 B【试题解析】 本题主要考
9、查特殊形式的第一类曲线积分与第二类 M(x1，y 1)曲线积分的计算问题 设点 M 与 N 的坐标分别为 M(x1，y 1)，N(x 2，y 2)，如图 28 所示，则 f(x，y)dx= =x2-x10； f(x，y)dy= =y2-y10； (x，y)ds= ds=s0(s 是 的弧长)； fx(x，y)dx+f y(x，y)dy=0(因为fx(x，y)dx+f y(x，y)dy=0)故应选 B【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 C【试题解析】 (推理法) 级数 (an-an+1)的部分和 sn=(a1-a2)+(a2-a3)+(an-an+1)=a1-an+1，因为 (-1)nan
10、 条件收敛，所以 ，于是故级数 (an-an+1)收敛【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 D【试题解析】 f(x)的图形如图 32 所示，因为 s(x)= ancosnx(-x+)是 f(x)的傅里叶级数(余弦系数 )，所以应先将 f(x)延拓成 -1，1上的偶函数，再将其延拓成周期为 2 的周期函数，由傅里叶级数收敛定理，有故应选 D【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 A【试题解析】 这是一个求三阶线性常系数齐次微分方程的通解问题 其特征方程为 r3+r2-r-1=0，即(r+1) 2(r-1)=0，特征根为 r1=r2=-1，r 3=1，故 微分方程的通解为 y=C1e-x+C
11、2xe-x+C3ex【知识模块】 高等数学二、填空题14 【正确答案】 2【试题解析】 这是一个-型未定式的极限由于 存在，可将其分离出去【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 2【试题解析】 因为 f(x)在 x=0 处连续，所以 =f(0)而故 k=2【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 【试题解析】 利用导数的定义求导数【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 1【试题解析】 因为 ，所以【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 【试题解析】 一般地，求和式极限常见的方法有利用定积分的定义与夹逼定理，具体采用哪种方法，应根据和式极限表达式的特点去选择本题采用定积分的定义计算【知识模
12、块】 高等数学19 【正确答案】 lnx+1【试题解析】 这是一个已知函数方程求函数的问题，其方法是将函数方程转化为微分方程由已知方程，得 f(1)=1将已知方程两端乘以 x，得方程两端对 x 求导，得 f(x)+xf(x)=1+f(x)，即 f(x)= ， f(x)=lnx+C由 f(1)=1，得 C=1，所以 f(x)=lnx+1【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 【试题解析】 直线 L1 的方向向量为 s1=(1，2，)，直线 L2 的方向向量为s2=(1， 1，1)在 L1 上取一点 M1(1，-1，1) ，在 L2 上取一点 M2(-1，1，0) ，则以M1 为始点， M2 为
13、终点的向量 s3=(-1-1，1-(-1) ，0-1)=(-2，2，-1) 直线 L1，L 2 相交于一点 直线 L1 与 L2 共面 向量 s1，s 2，s 3 共面 (s1，s 2，s 3)=0【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 y 2+xy-y+2【试题解析】 将 两边对 y 积分，得 f y(x，y)=2y+ 1(x)，将 fy(x，1)=x+1 代入上式，得 1(x)=x-1，于是 f y(x，y)=2y+x-1，将上式两边对 y 积分，得 f(x ，y)=y2+xy-y+2(x)，将 f(x，1)=x+2 代入上式，得 2(x)=2，故 f(x，y)=y 2+xy-y+2【知
14、识模块】 高等数学22 【正确答案】 【试题解析】 利用积分区域的对称性与被积函数奇偶性简化二重积分的计算 因为积分区域 D 关于 x 轴、y 轴对称，被积函数x 关于 x，y 为偶函数，y 关于 y为奇函数，所以 其中 D11 如图 49 所示，【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 【试题解析】 本题考查第一类曲面积分的计算在 xOy 面上的投影区域为x2+y22x，利用 “一代二换三投影 ”将其转化为二重积分，得【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 1，3)【试题解析】 (1)求幂级数的收敛半径对于幂级数所以其收敛半径R= =1从而其收敛区间为(2-1，2+1)=(1，3)(2)讨论幂级数在收敛区间端点的敛散性当 x=1 时，幂级数为 ，这是一个交错级数因为由莱布尼茨定理， 收敛当 x=3时，幂级数为 ，发散故幂级数 的收敛域为1，3)【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 【试题解析】 将等式 两边除以x，得 令x0，因为 所以 分离变量，得 等式两边积分，得 lny=arctanx+lnC ，于是 y=Cearctanx，由 y(0)=，得 C=，所以y=earctanx，于是 y(1)=【知识模块】 高等数学
