1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 100 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设当 xx 0 时，f(x)的极限存在，而 g(x)的极限不存在，则下列命题正确的是 ( )2 设 f(x)= x(0，1)，则fg(x)在(0 ，1)内( )（A）有一个间断点（B）有两个间断点（C）有无穷多个间断点（D）没有间断点3 设 f(x)，g(x) 都是可导函数，下列命题正确的是( )（A）如果 f(x)g(x) ，则 f(x)g(x) （B）如果 f(x)g(x) ，则 f(x)g(x)（C）如果 f(x)-g(x)=0，则 f(x)-g(x)=0（D）如果 f(
2、x0)=g(x0)，f(x) ，g(x)在点 x0 处可导，且 =0，则 f(x0)=g(x0)4 设 f(x)=x(x-1)2(x-2)，则 f(x)的零点个数为( )（A）0（B） 1（C） 2（D）35 设函数 y=f(x)在(- ，+)内连续，其二阶导函数 y=f(x)的图形如图 9 所示，则曲线 y=f(x)的拐点的个数为( )（A）1（B） 2（C） 3（D）46 设 f(x)= ，则( )（A）f(x)有驻点，但无极值点（B） f(x)有驻点，但曲线 无拐点（C） f(x)有驻点，且有极值点，但曲线 无拐点（D）f(x)有驻点，有极值点，且曲线 有拐点7 曲线 y= 的弧长为(
3、)（A）4n（B） 2n（C） n（D）8 设函数 f(r)具有二阶连续导数，则=( )9 设 I1= ，且D=(x，y) (x-1) 2+(y-1)22)，则有( )（A）I 1I 1 I3（B） I2I 3I 1（C） I3I 1I 2（D）I 3I 2 I110 设空间曲线 是球面 x2+y2+z2=R2 与平面 x+y+z=0 的交线，则 L(x2+y2-z2+2y)ds=( )11 已知级数 条件收敛，则( )12 幂级数 的和函数为( )（A）ln2+ln(3-x)，x -1， 3)（B） ln2-ln(3-x)，x -1，3)（C） ln2+ln(4-x)，x-1 ，3)（D）l
4、n2-ln(4-x)，x-1 ，3)13 微分方程 y-3y-4y=0 满足初始条件 y(0)=0，y(0)=-5 的特解为( )（A）y=e -x-e4x（B） y=2e-x-e4x（C） y=e-x-2e4x（D）y=e -x+e4x二、填空题14 =_.15 设 f(x)=sinx，g(x)= 则 fg(x)的连续区间为_16 函数 f(x)=(x2-1)x 3-x2-2x不可导的点的个数为_17 设 f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)(x-5)，则在(0，5)内方程 f(x)=0 有_个实根18 =_.19 =_.20 设 a，b 为两个非零向量， =_.21 设 u=f(x，
5、 y，z)，其中 z=z(x，y)由方程 (x2，e y，z)=0 所确定，且 y=sinx，其中 f， 都具有连续的偏导数，且 =_.22 设 f(t)为连续函数，D 是由直线 y=1，x= 与曲线 y=sinx 围成的平面区域，则x1+yf(x2+y2)dxdy=_23 在场力 F= 的作用下，一质点沿圆周 x2+y2=1 逆时针运动一周所做的功为_24 设幂级数 anxn 的收敛半径为 2，则幂级数 nan(x-1)n+1 的收敛区间为_.25 微分方程 =y(lny-lnx)的通解为_考研数学一（高等数学）模拟试卷 100 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合
6、题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 (反例排除法)取 f(x)=x，g(x)= 不存在，但，排除 A【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 D【试题解析】 当 x(0， 1)时，若 x 为有理数，g(x)=x(0，1)， fg(x)=f(x)=x；若 x 为无理数，g(x)=2-x(1，2) ， fg(x)=f(2-x)=2-(2-x)=x所以 fg(x)=x，x(0，1)故 fg(x)在(0，1)内连续，即没有间断点【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 D【试题解析】 (反例排除法) 取 f(x)=x，g(x)=x+1，则 f(x)g(x)，但 f(x)=1=g(x)，排除 A；取
7、 f(x)=x+1，g(x)=x，则 f(x)g(x)，但 f(x)=1=g(x)，排除 B、C ；故应选 D【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 D【试题解析】 由于 f(x)=x(x-1)2(x-2)在0，1，1 ， 2上连续，在(0，1)，(1 ，2)内可导，且 f(0)=f(1)=f(2)=0，由罗尔定理可知，存在 1(0，1)， 2(1，2)使 f(1)=f(2)=0又因为 f(x)=(x-1) 2(x-2)+2x(x-1)(x-2)+x(x-1)2=2(x-1)(2x2-4x+1)， 易知f(1)=0，所以 f(x)=0 至少有三个根 x=1， 1， 2，由于 f(x)为三次多项
8、式，因此f(x)=0 至多有三个实根，故 1， 2，1 是 f(x)=0 的全部根，所以 f(x)的零点个数为 3【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 C【试题解析】 只需考察 f(x)=0 的点与 f(x)不存在的点 由于 f(x1)=f(x4)=0，在点 x1，x 4 的两侧，f(x)变号，即从 x1，x 4 的左侧到右侧，曲线 y=f(x)由凹变凸，所以(x 1，f(x 1)，(x 4，f(x 4)是曲线 y=f(x)的拐点 当 x=0 时 f(0)不存在，但 f(x)在点 x=0 处连续，且在 x=0 的两侧，f(x)变号，即从 0 的左侧到右侧，曲线由凸变凹，所以(0 ，f(0)是
9、曲线 y=f(x)的拐点 虽然 f(x2)=0，但在点 x2 的两侧，f(x)0，即曲线 y=f(x)是凹的，所以 (x2，f(x 2)不是曲线 y=f(x)的拐点，故应选 C【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 D【试题解析】 研究函数的驻点与曲线的拐点，须先求函数的一、二阶导数f(x)=e-x2+e-x2+xe-x2(-2x)=2(1-x2)e-x2当 x=0 时，f(0)=0， f(x)有驻点 x=0；当 x0 时，f(x) 0，当 x0 时，f(x) 0，由极值的第一充分条件知，f(x)有极值点 x=0；当 x=1 时，f(1)=0 ，列表 5：由此可知，曲线 有拐点(-1，y(-1
10、)，(1 ，y(1)【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 A【试题解析】 因为 ，由积分上限函数的求导公式得再由弧长计算公式，得所求曲线弧长为【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 B【试题解析】 由于u= 中的 x，y，z 具有轮换对称性，同理可得【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 A【试题解析】 在同一积分区域上比较二重积分的大小，只要比较被积函数在积分区域上的大小即可对于本题，要比较 I1，I 2，I 3 的大小，即比较的大小，关键看 在 D 上是大于 1 或小于 1如图 20所示，显然有【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 高等数学11 【正确答
11、案】 D【试题解析】 由级数 收敛，而即条件收敛知，02-x1，即 1x2综上所述， x2【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 B【试题解析】 令 s(x)= ，s(1)=0，等式两边求导得等式两边从 1 到x 积分，得 s(x)-s(1)= =ln2-ln(3-x)，x(-1，3)，所以 s(x)=ln2-ln(3-x)，x(-1，3). 当 x=-1 时，s(x)连续， 收敛；当 x=3 时，s(x)无意义， 的和函数为 s(x)=ln2-ln(3-x)，x -1，3)【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 A【试题解析】 本题考查二阶线性常系数齐次微分方程满足初始条件的特解问题 微
12、分方程 y-3y-4y=0 的特征方程为 r2-3r-4=0，特征根为 r1=-1，r 2=4，故微分方程的通解为 y=C1e-x+C2e4x从而 y=-C1e-x+4C2e4x，由 y(0)=0，y(0)=-5 得解得 C1=1，C 2=-1故微分方程的特解为 y=e-x-e4x【知识模块】 高等数学二、填空题14 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 (-，4-)【试题解析】 因为 fg(x)=sin g(x)= 所以 fg(x)=-sinx，x (-， +)，故 fg(x)的连续区间为(-，+)【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 2【试题解析】 由于
13、 y=x-x 0在 x0 点连续，不可导，而 f(x)=(x2-1)x 3-x2-2x=(x-1)(x+1)x.x-2.x+1 ，所以 f(x)不可导的点可能为 0，2，-1，又由于 故f(x)不可导的点为 0，2【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 3【试题解析】 用罗尔定理研究方程 f(x)=0，f(x)=0 根的存在性 由于 f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)(x-5)在0，1，1，2，2，3 ，3，5上连续，在 (0，1)，(1，2)，(2，3)，(3，5)内可导，且 f(0)=f(1)=f(2)=f(3)=f(5)=0， 所以由罗尔定理可知，存在1(0， 1)， 2(1，
14、2)， 3(2，3)， 4(3，5)，使得 f( 1)=f(2)=f(3)=f(4)=0 又由于 f(x)为四次多项式，它在 1， 2， 2， 3， 3， 4上满足罗尔定理条件，所以存在 1(1， 2)， 2(2， 3)， 3(3， 4)，使得 f( 1)=f(2)=f(3)=0， 故f(x)=0 在(0 ， 5)内至少有三个实根 由于 f(x)为三次多项式，它最多有三个根，所以在区间(0，5) 内，方程 f(x)=0 有三个实根 1， 2， 3.【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 【试题解析】 由于被积函数中含 ，故可考虑用三角变换令 x=sint，t，则【知识模块】 高等数学19 【
15、正确答案】 【试题解析】 这是一个无穷限的反常积分【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 【试题解析】 本题是 型未定式的极限，由于分子中涉及向量的长度，不好处理，因此将分子“有理化”，转化为向量的内积运算，问题即可迎刃而解【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 f 1+cosx.f2- .f3【试题解析】 本题是一个抽象方程组 的求导问题将每一个方程两边求全微分，du=f 1dx+f2dy+f3dz， (1) 1.2xdx+2eydy+3dz=0， (2) dy=cosxdx (3) 将(3)式代入(1)、(2) ，得 du=f 1dx+f2cosxdx+f3dz， (4) 1.2xdx
16、+2eycosxdx+3dz=0， (5)由(5)式，得将(6)式代入(4)式，得【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 -2【试题解析】 由于被积函数中含有抽象函数，所以不能直接化二重积分为二次积分计算在积分区域 D 上作辅助线，将 D 分成 D1+D2，如图 47 所示，则由于平面区域 D1 关于 x 轴对称，被积函数 xyf(x2+y2)关于 y 为奇函数，所以 xyf(x2+y2)dxdy=0，而被积函数 x 关于 y 为偶函数，有 (D11 如图所示)；又平面区域D2 关于 y 轴对称，被积函数 x，xyf(x 2+y2)关于 x 为奇函数，所以【知识模块】 高等数学23 【正确答
17、案】 【试题解析】 本题考查第二类曲线积分的物理意义圆周 L：x 2+y2=1 的参数方程为 (02)由第二类曲线积分的物理意义，所求功为【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 (-1，3)【试题解析】 因为幂级数 anxn 的收敛半径为 2，且逐项求导所得幂级数与原级数有相同的收敛半径，所以幂级数 nan(x-1)n-1 的收敛半径也为 2，从而 nan(x-1)n+1 的收敛半径为 2，故所求收敛区间为(1-2，1+2)=(-1，3)【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 y=xe Cx+1【试题解析】 原微分方程可写成 这是一个齐次方程令，将其代入上面方程，得分离变量，得等式两边积分，得 所以lnu-1=Cx，变量还原，得 =Cx， y=xe Cx+1【知识模块】 高等数学
