1、考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编 9 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x，y)为连续函数，则 等于2 设曲线 L：f(x，y)=1(f(x，y)具有一阶连续偏导数)过第象限内的点 M 和第象限内的点 N， 为 L 上从点 M 到点 N 的一段弧，则下列积分小于零的是3 如图，正方形(x，y)x1，y1 被其对角线划分为四个区域Dk(k=1，2，3，4)， ，则 =（A）I 1（B） I2（C） I3（D）I 44 设 L1：x 2+y2=1，L 2：x 2+y2=2，L 3：x 2+2y2=2，L 4：2x 2+y2=2 为四条逆时针
2、方向的平面曲线记 ，则maxI1，I 2，I 3，I 4)=（A）I 1（B） I2（C） I3（D）I 45 设 f(x，y)是连续函数，则 =6 设 D 是第一象限中由曲线 2xy=1，4xy=1 与直线 y=x， 围成的平面区域，函数 f(x，y)在 D 上连续，则 =7 设常数 k0，则级数（A）发散（B）绝对收敛（C）条件收敛（D）收敛或者发散与 k 的取值有关8 若 在 x=一 l 处收敛，则此级数在 x=2 处（A）条件收敛（B）绝对收敛（C）发散（D）收敛性不能确定9 设函数 f(x)=x2，0x1 ，而10 设 为常数，则级数（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）收敛性
3、与口取值有关11 已知级数 ，则级数 等于（A）3（B） 7（C） 8（D）9二、填空题12 设是锥面 的下侧，则=_13 设曲面：x+y+z=1 ，则 =_14 设曲面是 的上侧，则=_15 已知曲线 L 的方程为 y=1 一x(x 一 1，1)，起点是(一 1，0)，终点为(1，0)，则曲线积分 Lxydx+x2dy=_16 设 L 是柱面 x2+y2=1 与平面 z=x+y 的交线，从 z 轴正向往 z 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分 =_17 设 L 是柱面 x2+y2=1 与平面 y+z=0 的交线，从 z 轴正向往 z 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分 =_18 设 是由平面
4、 x+y+z=1 与三个坐标平面所围成的空间区域，则=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 设区域 D=(x，y) x 2+y21，x0 ，计算二重积分20 设在上半平面 D=(x，y)y0)内，函数 f(x，y)具有连续偏导数，且对任意的t0 都有 f(tx，ty)=t -2f(x，y)证明：对 D 内的任意分段光滑的有向简单闭线 L，都有21 计算曲面积分 其中为曲面(0z1)的上侧22 计算曲线积分 Lsin2xdx+2(x2-1)ydy，其中 L 是曲线 y=sinx 上从点(0，0)到点(，0) 的一段23 设 =(x，y，z)x 2+y2+z21)，则 =_24
5、 已知曲线 L： ，则 Lxds=_25 计算曲面积分 ，其中是曲面 2x2+2y2+z2=4 的外侧26 设 =(x，y，z)x 2+y2x1)，则 的形心的竖坐标 =_27 设 P 为椭球面 S：x 2+y2+z2 一 yz=1 上的动点，若 S 在点 P 处的切平面与 xOy 面垂直，求点 P 的轨迹 C，并计算曲面积分 ，其中是椭球面 S 位于曲线 C 上方的部分28 已知函数 f(x，y)具有二阶连续偏导数，且 f(1， y)=0，f(x，1)=0，其中 D=(x，y) 0x1，0y1)，计算二重积分29 设=(x，y，z)x+y+z=1，x0，y0，z0，则 =_30 已知 L 是
6、第一象限中从点(0，0)沿圆周 x2+y2=2x 到点(2，0)，再沿圆周 x2+y2=4到点(0 ，2) 的曲线段计算曲线积分 I=L3x2ydx+(x3+x 一 2y)dy30 设直线 L 过 A(1，0，0)，B(0，1，1) 两点，将 L 绕 z 轴旋转一周得到曲面与平面 z=0，z=2 所围成的立体为 31 求曲面的方程；32 求 的形心坐标33 设为曲面 z=x2+y2(z1)的上侧，计算曲面积分34 已知曲线 L 的方程为 ，起点为 ，终点为，计算曲线积分 I=L(y+z)dx+(z2-x2+ydy+x2y2dz35 求幂级数 的收敛域并求其和函数36 求幂级数 的收敛域37 设
7、 f(x)是周期为 2 的周期函数，它在区间( 一 1，1上的定义为，则 f(x)的傅里叶(Fourier)级数在 x=1 处收敛于_38 将函数 展为 x 的幂级数39 求幂级数 的收敛域，并求其和函数考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编 9 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 B【试题解析】 如右图，设 M(x1，y 1)，N(x 2，y 2)，【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 A【试题解析】 由于 D2，D 4 关于 x 轴对称，而被积函数 ycosx 是关于 y 的奇函
8、数，所以，I 2=I4=0在 D1 内 ycosx0，而在 D3 内 ycosx0，则 I10，I 30，故应选(A)【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 D【试题解析】 由格林公式得 其中 Di 为 Li 围成的平面域(i=1，2，3，4) 0I 1I 4 又I2I 4，I 3I 4，则 maxI 1，I 2，I 3，I 4=I4【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 D【试题解析】 累次积分 所对应的二重积分的积分域如图，【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 B【试题解析】 由题设知积分域 D 如下图所示，曲线 2xy=1，4xy=1 在极坐标下方程分别为 2r 2cossin=1，
9、4r2cossin=1故应选(B)【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 B【试题解析】 由于 在 x=一 1 处收敛，则当x-1-1-1 =2 时，原幂级数绝对收敛，而2-1=12，则原幂级数在 x=2 处绝对收敛【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 B【试题解析】 所以应选(B) 【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 高等数学二、填空题12 【正确答案】 2【试题解析】 【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 【试题解析】 由于 x 关于变
10、量 x 是奇函数，而积分曲面：x+y+ z =1关于 yOz 面对称，则 由于y关于变量 x，y，z 都是偶函数，而曲面：x+ y+ z =1 关于三个坐标面 xOy 面，yOz 面，zOx 面都对称，则其中 1 为 在第一卦限内的部分，即：x+y+z=1，(x0，y0 ，z0)计算 有以下三种方法：【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 4【试题解析】 令 S为 xOy 面上圆 x2+y24的下侧，则【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 0【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 【试题解析】 记平面 z=x+y 包含在柱面 x2+y2=1 内的部分上侧为 S，其法线向量为 n=一 1
11、，一 1，1【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 【试题解析】 柱面 x2+y2=1 与平面 y+z=0 的交线的参数方程为【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 【试题解析】 由变量的对称性知【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 【正确答案】 【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 由格林公式知，对 D 内的任意有向简单闭曲线 L，的充分必要条件是：对任意(x，y)D，有由于对任意的(x，y)D 及 t0 都有 f(tx，ty)=t-2f(x，y) 两边对 t 求导，得 xf 1(tx，ty)+yf 2(tx，ty)=一 2t-3f(x，y)令
12、 t=1，得 2f(x，y)+xf 1(x，y)+yf 2(x，y)=0 即 所以【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 【试题解析】 利用直角坐标系下的“先二后一”【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 设 1 为单位球面 x2+y2+z2=1 的外侧，则【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 椭球面 S 上点 P(x，y，z)处的法向量是 n=2x，2yz ，2zy点P 处的切平面与 xOy
13、 面垂直的充要条件是 n.k=0(k=0 ，0，1)【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 因为 f(1，y)=0 ，f(x，1)=0，所以 fy(1，y)=0，f x(x，1)=0 从而【知识模块】 高等数学29 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学30 【正确答案】 取 L1 为有向线段 x=0，y 从 2 到 0；由 L 与 L1 围成的平面区域记为 D根据格林公式，得【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学31 【正确答案】 【知识模块】 高等数学32 【正确答案】 【知识模块】 高等数学33 【正确答案】 设 S 为平面 z=1 包含在曲面 z=x2+y2 之内部分的下侧，则【知识模块】 高等数学34 【正确答案】 曲线 L： 的参数方程为【知识模块】 高等数学35 【正确答案】 【知识模块】 高等数学36 【正确答案】 【知识模块】 高等数学37 【正确答案】 【试题解析】 由傅里叶级数的收敛定理知，在 x=1 处收敛于【知识模块】 高等数学38 【正确答案】 【知识模块】 高等数学39 【正确答案】 【知识模块】 高等数学
