1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 101 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 xx 0 时，f(x)不是无穷大量，则下述结论正确的是( )（A）当 xx 0 时，g(x) 是无穷小量，则 f(x)g(x)必是无穷小量（B）当 xx 0 时，g(x)不是无穷小量，则 f(x)g(x)必不是无穷小量（C）设在 x=x0 的某邻域 g(x)无界，则当 xx 0 时，f(x)g(x) 必是无穷大量（D）设在 x=x0 的某邻域 g(x)有界，则当 xx 0 时，f(x)g(x)必不是无穷大量2 设函数 f(x)= 则 x=1 是 f(x)的( )（A）连续点
2、（B）可去间断点（C）无穷间断点（D）跳跃间断点3 设 f(x)在点 x0 处不可导，g(x) 在点 x0 处可导，则下列 4 个函数中在点 x0 处肯定不可导的是( )（A）f(x)+g(x)（B） f(x)g(x)（C） f2(x)（D）fg(x) 4 设 f(x)在 x=x0 的某一邻域内具有四阶导数，f(x 0)=f(x0)=f(x0)=0，且 f(4)(x0)0，则下列选项中正确的是( )（A）x 0 是 f(x)的极大值点（B） x0 是 f(x)的极小值点（C） (x0，f(x 0)是曲线 y=f(x)的拐点（D）x 0 不是 f(x)的极值点， (x0，f(x 0)也不是曲线
3、y=f(x)的拐点5 设 f(x)的一个原函数为 arcsinx，则 f(x)的导函数为( )（A）（B） sinx（C） xarcsinx（D）6 等于( )7 曲线 y=sinx 的一个周期的弧长等于椭圆 2x2+y2=2 的周长的( )（A）1 倍（B） 2 倍（C） 3 倍（D）4 倍8 设函数 f(x， y)为可微函数，且对任意 x，y 都有 fx(x，y)0，f y(x，y)0，则使不等式 f(x1， y1)f(x 2，y 2)成立的一个充分条件是( )（A）x 1x 2，y 1y 2（B） x1x 2，y 1y 2（C） x1x 2，y 1y 2（D）x 1x 2，y 1y 29
4、 极坐标下的二次积分 可写成( )10 已知曲线 L：x=y 2(0y )，则 Lyds=( )11 设级数 收敛，则必收敛的级数为( )12 幂级数 的和函数为( )13 已知微分方程 y-6y+9y=e2x 的积分曲线 y=y(x)经过原点，且在原点的切线平行于直线 6x-3y+2=0，则该积分曲线的方程为( )（A）y= x2e2x+sin2x（B） y=(x2cosx+sin 2x)e3x（C） y=sin2x（D）y= (x+4)e3x二、填空题14 =_.15 设 f(x)= ，则 f(x)的连续区间是_ 16 设曲线 y=ax2 与 y=ln2x 相切，则切点坐标为_ 17 曲线
5、 的渐近线的条数为_18 =_.19 设 f(2x+1)=xex，则 =_.20 已知两条直线的方程是 L1： ，则过 L1 且平行于 L2 的平面方程为_21 设 u=f(x-y，y-z ，z-t)，其中 f 具有连续的偏导数，则=_.22 (3x-2y)dxdy=_23 设 L 为上半椭圆 4x2+y2=1 的逆时针方向，则曲线积分=_.24 设级数 an 条件收敛，则幂级数 (x-2)n 的收敛区间为_25 微分方程 xy+y-ex=0 满足条件 y(1)=e 的特解为 _考研数学一（高等数学）模拟试卷 101 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1
6、【正确答案】 D【试题解析】 (反例排除法)取 f(x)= ，当 x0 时，f(x)是无界的，不是无穷大量；取 g(x)=x，当 x0 时，g(x)是无穷小量，但 不存在，排除 A取 f(x)=x2，g(x)= ，当 x0 时，f(x)不是无穷大量，g(x)不是无穷小量，且在 x=0 的某邻域无界，但 ，排除 B、C【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 B【试题解析】 因为所以 x=1 是f(x)的可去间断点【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 A【试题解析】 (推理法) 设 f(x)+g(x)在点 x0 处可导，则 f(x)=f(x)+g(x)-g(x)也在点x0 处可导，与 f(x)在
7、点 x0 处不可导矛盾所以 f(x)+g(x)在点 x0 处肯定不可导【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 B【试题解析】 将 f(x)在 x0 点展开成四阶泰勒公式在 x0 的某一去心邻域内， ，从而 f(x)-f(x0)0，即 f(x)f(x 0)，故 f(x0)是 f(x)的极小值，即 x0 是 f(x)的极小值点，故应选 B【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 D【试题解析】 因为 f(x)的一个原函数为 arcsinx，所以【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 A【试题解析】 本题主要考查凑微分法与分部积分法【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 A【试题解析】 设 s1 为曲
8、线 y=sinx 的一个周期的弧长，s 2 为椭圆 2x2+y2=2 的周长，由弧长计算公式，有 将椭圆2x2+y2=2 化为参数方程 则由参数方程表示下面曲线的弧长计算公式，有从而 s1=s2.【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 D【试题解析】 由 fx(x，y) 0 得当 y 固定时，f(x ，y)对 x 是单调增加的；由fy(x，y)0 得当 x 固定时， f(x，y)对 y 是单调减少的 于是当 x1x 2 时，f(x1，y 1)f(x 2，y 1)；当 y1y 2 时，f(x 2，y 1)f(x 2，y 2). 综上所述，当x1x 2，y 1y 2 时，f(x 1，y 2)f(x
9、 2，y 2)【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 C【试题解析】 这是一个将极坐标下的二次积分转化为直角坐标下的二次积分问题，应根据极坐标下的二次积分画出积分区域图，根据积分区域图化为直角坐标下的二次积分由 r=2sin，得 r2=2rsin，其直角坐标方程为 x2+y2=2y，又 0 ，故积分区域 D 为以(0，1) 为圆心，半径为 1 的右半圆在直角坐标下， X 型区域可表示为 Y 型区域可表示为 D=(x ，y)0y2，0x ，故应选 C【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 A【试题解析】 这是一个平面曲线上对弧长的曲线积分的计算问题，其计算方法是转化为定积分利用计算公式，有【知
10、识模块】 高等数学11 【正确答案】 D【试题解析】 (推理法) 因为级数 收敛，由级数的性质知，收敛故应选 D【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 A【试题解析】 令 s(x)= ，s(0)=1，等式两边求导得所以和函数 s(x)满足 方程 s(x)+s(x)=ex 两边乘以 ex，得 s(x)ex=e2x，两边积分，得 s(x)e x= e2x+C，由 s(0)=1，得 C=【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 D【试题解析】 因为积分曲线 y=y(x)过原点，所以 y(0)=0；又在原点处的切线平行于直线 6x-3y+2=0，由导数的几何意义知，y(0)=2故本题就是求微分方程
11、y-6y+9y=e2x 满足初始条件 y(0)=0，y(0)=2 的特解 首先求 y-6y+9y=0 的通解特征方程为 r2-6r+9=0，特征根为 r1=r2=3，所以其通解为 y=C1e3x+C2xe3x 其次求 y-6y+9y=e3x 的一个特解因为 3 为特征方程的二重根，所以设 y*=Ax2e3x 为其特解形式，求导得 y*=2Axe3x+3Ax2e3x，y *=2Ae3x+12Axe3x+9Ax2e3x，将y*，y *，y *代入到 y-6y+9y=e3x 并化简，得 A= x2e3x写出 y-6y+9y=e3x 的通解，为 y=C1e3x+C2xe3x+ x2e3x求导得 y=3
12、C1e3x+C2e3x+3C2xe3x+xe3x2+ x2e3x，由 y(0)=0，y(0)=2 得 从而 C1=0，C 2=2故所求积分曲线方程为 y=2xe3x+ x2e3x= (x+4)e3x【知识模块】 高等数学二、填空题14 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 (-，0)(0，+)【试题解析】 其连续区间为(-，0)(0，+)【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 【试题解析】 设切点坐标为(x 0，y 0)，则则 y0=ln2x0=故所求切点坐标为(x 0，y 0)=【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 2【试题解析】 因为 所以 y=1 是
13、曲线的水平渐近线，从而无斜渐近线因为 所以 x=-1 是曲线的铅直渐近线【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 【试题解析】 由于被积函数中的 arctan ex 不易积出，故可考虑用变量代换方法令 arctan ex=t，则 ex=tan t，x=ln tan t从而【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 【试题解析】 令 t=2x+1，则【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 x-3y+z+2=0【试题解析】 过 L1 平行于 L2 的平面的法向量 n 同时垂直于 L1，L 2，即 n 同时垂直于 L1 的方向向量 s1=(1，0，-1)与 L2 的方向向量 s2=(2，1，1)，故
14、 n=s1s2=i-3j+k=(1， -3，1)在 L1 上取一点 (1，2，3) ，由平面的点法式方程知，所求平面方程为 (x-1)-3(y-2)+(z-3)=0， 即 x-3y+2+2=0【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 0【试题解析】 这是一个复合函数的偏导数计算的延伸题目由复合函数的链式法则，有【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 35【试题解析】 无论在直角坐标下还是极坐标下计算该二重积分，都将比较烦琐，可考虑用下面简便方法积分区域 D=(x，y)x 2+y22x-4y)=(x，y)(x-1) 2+(y+2)25，所以区域 D 的面积 = =5，形心坐标 =(1，-2)，
15、故【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 【试题解析】 本题考查参数方程表示下第二类曲线积分的计算或考查格林公式应用的条件由于曲线积分被积表达式的分母中含 4x2+y2，故不能直接补曲线构成封闭曲线用格林公式，而是先代入再补曲线于是 I= Lxdy-ydx=L(-y)dx+xdy补曲线 L1： y=0，从 ，则 L 与 L1 构成封闭曲线的正向，所以I=L+L1(-y)dx+xdy-L1(-y)dx+xdy【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 (1，3)【试题解析】 级数 an 条件收敛，即幂级数 anxn 在 x=1 点处条件收敛，故它的收敛半径 R=1因为如果 R1，则幂级数 anxn 在 x=1 点处应发散，矛盾；如果 R1，则幂级数 anxn 在 x=1 点处应绝对收敛，矛盾由于逐项积分所得幂级数与原幂级数有相同的收敛半径，故幂级数 (x-2)n 与幂级数 an(x-2)n+1的收敛半径均为 1，所以所求收敛区间为(2-1，2+1)=(1，3)【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 【试题解析】 原微分方程可写成 这是一阶线性微分方程，可利用一阶线性微分方程求解公式求解，但用观察法更简捷 xy+y=e x， (xy)=e x，等式两边积分，得 xy=ex+C，由 y(1)=e，得 C=0，所以 xy=ex，即 y= ex【知识模块】 高等数学
