1、考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编 7 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 u(x，y)=(x+y)+(x y)+ ，其中函数 具有二阶导数， 具有一阶导数，则必有2 设有三元方程 xyzlny+exz=1，根据隐函数存在定理，存在点(0，1，1)的一个邻域，在此邻域内该方程（A）只能确定一个具有连续偏导数的隐函数 z=z(x，y)（B）可确定两个具有连续偏导数的隐函数 y=y(x，z)和 z=z(x，y)（C）可确定两个具有连续偏导数的隐函数 z=z(y， z)和 z=z(x，y)（D）可确定两个具有连续偏导数的隐函数 x=x(y，z)
2、和 y=y(x，z) 3 若 f(x，y)与 (x，y) 均为可微函数，且 y(x，y)0 已知(x 0，y 0)是 f(x，y)在约束条件 (x，y)=0 下的一个极值点，下列选项正确的是（A）若 fx(x0，y 0)=0，则 fy(x0，y 0)=0（B）若 fx(x0，y 0)=0，则 fy(x0，y 0)0（C）若 fx(x0，y 0)0，则 fy(x0，y 0)=0（D）若 fx(x0，y 0)0，则 fy(x0，y 0)0 4 函数 f(x，y)=arctan 在点(0，1)处的梯度等于（A）i（B）一 i（C） j（D）-j5 设函数 z=z(x，y)由方程 确定，其中 F 为可
3、微函数，且 F20，则=（A）x（B） z（C）一 x（D）一 z6 设函数 f(x)具有二阶连续导数，且 f(x)0，f(0)=0 ，则函数 z=f(x)lnf(y)在点(0，0)处取得极小值的一个充分条件是（A）f(0)1，f“(0)0（B） f(0)1 ，f“(0)0（C） f(0)1 ，f“(0)0（D）f(0)1，f“(0)07 如果 f(x， y)在(0，0)处连续，那么下列命题正确的是（A）若极限 存在，则 f(x，y)在(0 ，0)处可微（B）若极限 存在，则 f(x，y)在(0，0)处可微（C）若 f(x，y) 在(0，0)处可徽，则极限 存在（D）若 f(x， y)在(0，
4、0)处可微，则极限 存在8 曲面 x2+cos(xy)+yz+z=0 在点(0，1，一 1)处的切平面方程为（A）xy+z=一 2（B） x+y+z=0（C） x 一 2y+z=一 3（D）xyz=09 设有空间区域 1：x 2+y2+z2R2，z0；及 2：x 2+y2+z2R2，x0，y0，z0，则二、填空题10 设函数 u(x，y，z)= ，单位向量 ，则=_11 设 f(u，v)为二元可微函数，z=f(x y，y x)，则 =_12 设函数 =_13 =_14 曲面 z=x2(1 一 siny)+y2(1 一 sinx)在点(1，0，1)处的切平面方程为_15 若函数 z=z(x，y)
5、由方程 ex+xyz+x+cosx=2 确定，则 dz (0，1) =_16 设 L 为取正向的圆周 x2+y2=9，则曲线积分 的值是_17 向量场 u(x，y，z)=xy 2+yezj+xln(1+z2)k 在点 P(1，1，0)处的散度divu=_18 设平面曲线 L 为下半圆周 ，则曲线积分=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 设 z=z(x，y)是由 x2 一 6xy+10y2 一 2yz 一 z2+18=0 确定的函数，求 z=z(x，y)的极值点和极值19 设函数 f(u)在(0，+)内具有二阶导数，且 满足等式20 验证 ；21 若 f(1)=0，f(1)
6、=1 ，求函数 f(u)的表达式22 求函数 f(x，y)=x 2+2y2 一 x2y2 在区域 D=(x，y) x 2+y24，y0)上的最大值和最小值23 已知曲线 ，求 C 上距离 xOy 面最远的点和最近的点24 设函数 f(u，v)具有二阶连续偏导数，z=f(x，xy)，则 =_25 求二元函数 f(x，y)=x 2(2+y2)+ylny 的极值26 设函数 z=f(xy，yg(x)，其中函数 f 具有二阶连续偏导数，函数 g(x)可导且在x=1 处取得极值 g(1)=1求27 求函数 f(x，y)= 的极值28 求函数 的极值29 设函数 f(u)具有 2 阶连续导数，z=f(e
7、xcosy)满足 若f(0)=0，f(0)=0 ，求 f(u)的表达式30 已知函数 f(x，y)=x+y+xy，曲线 C：x 2+y2+xy=3，求 f(x，y)在曲线 C 上的最大方向导数31 计算曲面积分 其中 S 是由曲线(1y3)绕 y 轴旋转一周所形成的曲面，它的法向量与 y 轴正向的夹角恒大于32 设 S 为曲面 x2+y2+z2=1 的外侧，计算曲面积分33 设位于点(0，1) 的质点 A 对质点 M 的引力大小为 (k0 为常数，r 为质点 A与 M 之间的距离)，质点 M 沿曲线 自 B(2，0)运动到 O(0，0)，求在此运动过程中质点 A 对质点 M 的引力所作的功34
8、 设曲线积分 与路径无关，其中 (x)具有连续导数，且 (0)=0计算 的值35 计算三重积分 ，其中 是由曲面所围成的区域36 设半径为 R 的球面的球心在定球面 x2+y2+z2=a2(a0)上，问当 R 取何值时，球面在定球面内部的哪部分面积最大?考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编 7 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 D【试题解析】 令 F(x，y， z)=xyzlny+exz 一 1 显然，F(x，y，z) 在点(0 ，1，1)的邻域内有连续一阶偏导数，且 F(0，1，
9、1)=0，F x(0，1，1)=20，F y(0，1，1)=一10，由隐函数存在定理知方程 xyzlny+exz=1 可确定两个具有连续偏导数的隐函数 x=x(y，z)和 y=(x，z)，故应选(D)【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 D【试题解析】 由拉格朗日乘数法知，若(x 0，y 0)是 f(x，y)在约束条件 (x，y)=0 下的极值点，则必有 若 fx(x0，y 0)0，由 式知，0，加之原题设 y(x，y)0，由 式知， y(x0，y 0)0，从而必有fy(x0，y 0)0，故应选 (D)【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 A【试题解析】 由 f(x，y)= 知则 fx(0
10、，1)=1 ，f y(0，1)=0，所以gradf(0，1)=i【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 B【试题解析】 由隐函数求导公式得【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 A【试题解析】 令 F(x，y， z)=x2+cos(xy)+yz+x，则 n=2xysin(xy)+1 ，一 xsin(xy)+z,y (0,1，-1) =1，一 1， 1 则所求切平面方程为 x-(y 一 1)+(z+1)=0 即 x 一 y+z=一2【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 C【试题解析】
11、 由于(C) 选项中的被积函数 f(x，y，z)=z 既是 x 的偶函数，也是 y 的偶函数，而积分域 1 既关于 yOz 坐标面前后对称，又关 xOz 坐标面左右对称，则【知识模块】 高等数学二、填空题10 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 yx y-1f1+yxInyf2【试题解析】 由复合函数求导法知【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 4【试题解析】 【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 (1，1，1)【试题解析】 【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 2xy 一 z=1【试题解析】 由 z=x2(1 一 siny)+y2(1 一 sin
12、x)得 zx=2x(1 一 siny)一y2cosx， zx(1，0)=2z y=一 x2cosy+2y(1 一 sinx)，z y(1，0)= 一 1 所以，曲面 z=x2(1一 siny)+y2(1 一 sinx)在点(1 ，0，1)处的法向量为 =(2，一 1，一 1)，该点处切平面方程为 2(x 一 1)一 y 一(z 一 1)=0 即 2xyz=1【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 一 dx【试题解析】 将 x=0，y=1 代入 ez+xyz+x+cosx=2 中得 ez+1=2，则 z=0 方程ez+xyz+x+cosx=2 两端微分得 e zdz+yzdx+xzdy+xyd
13、z+dxsinxdx=0 将x=0，y=1，z=0 代入上式得 dx+dz=0 则 dz (0，1) =一 dx【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 一 18【试题解析】 由格林公式可知【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 2【试题解析】 由散度计算公式【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 【正确答案】 因为 x2 一 6xy+10y2 一 2yz 一 z2+18=0，类似地，由【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 由()
14、及 f(1)=1，得 ，所以 f(u)=lnu+C由 f(1)=0，得C=0，因此 f(u)=lnu【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 (1)求 f(x，y)在 D 内的驻点，由 得 f(x，y)在 D 内的驻点为 (2)考察边界 y=0(一 2x2) f(x，0)=x 2 一2x2 最大值 f(士 2，0)=4 ，最小值 f(0，0)=0(3)考察边界 x2+y2=4，y0 由x2+y2=4 知， y2=4 一 x2 f(x，y)=x 2+2y2 一 x2y2=x2+2(4 一 x2)一 x2(4 一 x2)=x4 一5x2+8 (一 2x2)令 (x)=x4 一 5x2+8，(x)=
15、4x 3 一 10x=0 得 x=0，比较可知，f(x，y)在 D 上的最大值为fmax(0，2)=8，最小值为 f(0，0)=0【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 点(x，y，z) 到 xOy 面的距离为x，故求 C 上距离 xOy 面最远点和最近点的坐标，等价于求函数 H=z2 在条件 x2+y2 一 2z2=0 与 x+y+3z=5 下的最大值点和最小值点 令 L(x，y，z ， ，)=z 2+(x2+y2 一 2z2)+(x+y+3z 一 5)由根据几何意义，曲线 C 上存在距离 xOy 面最远的点和最近的点，故所求点依次为 (一 5，一 5，5)和(1，1， 1)【知识模块】
16、高等数学24 【正确答案】 f 2+xf12“+xyf22“【试题解析】 【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 由题意 g(1)=0因为【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 【知识模块】 高等数学29 【正确答案】 令 excosy=u，则【知识模块】 高等数学30 【正确答案】 因为函数在每一点沿梯度方向的方向导数最大，且最大值等于该点梯度向量的模，而 grad f(x ，y)=(1+x，1+y) 令F(x，y，)=(1+x) 2+(1+y)2+(x2+y2+xy 一 3)，由式(2)减式(1)得 (
17、y 一 x)(2+)=0 若 y=x，代入式(3)得 若 =一 2，代入式(1)和式(2)得 x+y=1，将此代入式(3)得 将以上四组值代入 grad f(x，y)=(1+x，1+y) 得 f(x，y)在曲线 C 上的最大方向导数为 3【知识模块】 高等数学31 【正确答案】 【知识模块】 高等数学32 【正确答案】 由高斯公式知【知识模块】 高等数学33 【正确答案】 引力方向与向量 方向一致，而【知识模块】 高等数学34 【正确答案】 由线积分 与路径无关可知(x)=2x， (x)=x 2+C 由 (0)=0 知C=0，代回原积分得【知识模块】 高等数学35 【正确答案】 利用球坐标进行计算【知识模块】 高等数学36 【正确答案】 设的方程为 x2+y2+(z 一 a)2=R2 则两球面交线在 xOy 平面上的投影曲线方程为【知识模块】 高等数学
