1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 105 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 下列命题中正确的是( )（A）有界函数乘无界函数仍是无界函数（B）无界函数乘无穷大量仍是无穷大量（C）无穷小量乘任一个实数仍是无穷小量（D）两个无穷大量之和仍是无穷大量2 函数 f(x)= 的可去间断点的个数为( )（A）1（B） 2（C） 3（D）无穷多个3 已知函数 y=y(x)由方程 ey+6xy+x2-1=0 确定，则 f(0)等于( )（A）-2 （B） 2（C） -3（D）34 设 f(x)在0，1二阶可导，且 f(x)0，则下列命题正确的是( )-（A）f(1)f
2、(0)f(1)-f(0)（B） f(1)f(1)-f(0)f(0)（C） f(1)-f(0)f(1)f(0)（D）f(1)f(0)-f(1)f(0)5 设 f(lnx)=x+ln2x，则f(x)dx 等于( )（A）e x+ x3+C（B） ex+22+C（C） lnx+ x3+C（D）lnx+x 2+C6 等于( )7 设 a，b，c 均为单位向量，且 a+b+c=0，则 a.b+b.c+c.a 等于( )（A）1（B）（C）（D）-1 8 设函数 z=z(x，y)由方程 确定，其中 F 为可微函数，且 Fz0，则=( )（A）x（B） z（C） -x（D）-z9 设 f(x，y)是连续函数
3、，则二次积分 可写成( )10 设 L 为曲线 y=1-1-x(0x2)，则沿 x 增长方向，曲线积分 L(x2+y2)dx+(x2-y2)dy=( )11 设 an0， n=1，2，且 ( )（A）必发散（B）必收敛，且其和为 0（C）必收敛，且其和为（D）所给条件尚不足以确定敛散性12 设 y1，y 2 是一阶线性非齐次微分方程 y+P(x)y=Q(x)的两个特解，如果常数 a，b使 ay1+by2 是该方程的解，ay 1-by2 是该方程对应的齐次方程的解，则 ( )13 某商品的需求量 Q 对价格 P 的弹性的绝对值为 Pln3，已知该商品的最大需求量为 1000，则需求量 Q 关于价
4、格 P 的函数关系是( )（A）Q=1000e -P（B） Q=10003-P（C） Q=1000e-2P（D）Q=10003 -3P二、填空题14 设 f(x)在点 x=0 处连续，如果 =_.15 设曲线 f(x)=x2n 在点(1，1)处的切线与 x 轴的交点为(x n，0)，则=_16 d(arctan e2x)=_dex17 =_.18 设可导函数 x=x(t)由方程 确定，其中可导函数 (u)0，且 (0)-(0)=1，则 x(0)=_19 由曲线 y=e2x 与该曲线过原点的切线及 x 轴所围成的平面图形的面积为_20 空间曲线 ： 的参数方程为_ 21 函数 z=x2+y3-3
5、xy 的极小值为_22 设 f(x，y)= 其中 D=(x，y)x 2+y22x，则f(x，y)dxdy=_23 均匀曲面 的质心的竖坐标为_24 已知 fn(x)满足微分方程 fn(x)=fn(x)+xn-1ex(n 为正整数)，且 fn(1)= ，则级数fn(x)的和为_25 已知连续函数 f(x)满足条件 ，则 f(x)=_考研数学一（高等数学）模拟试卷 105 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 (反例排除法) 取 f(x)= ，g(x)=x，则当 x时 f(x)是有界函数，g(x)是无界函数，但 ，排除 A取 f(
6、x)=xsinx，g(x)=x，则当 x时 f(x)是无界函数，g(x)是无穷大量，但不是无穷大量，排除 B取 f(x)=x，g(x)=-x ，则当x时 f(x)，g(x)都是无穷大量，但 f(x)+g(x)= (x-x)=0，排除 D【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 C【试题解析】 由 f(x)的表达式知，x=0，1，2，是间断点，由于当x0=2，3 ， 时， ，所以只需考虑 x=0，-1，1 三点即可，因为所以 x=0，-1，1 都是 f(x)的可去间断点故应选 C【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 A【试题解析】 这是一个二元方程所确定的一元隐函数的二阶导数问题将 x=0 代入
7、已知方程，得 y=0已知方程两边对 x 求导，得 e yy+6y+6xy+2x=0，所以于是 y(0)=0进一步，故 y(0)=-2【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 B【试题解析】 f(x)在0， 1上用拉格朗日中值定理，得f(1)-f(0)=f()(1-0)，即 f(1)-f(0)=f()，其中 01因为 f(x)0，所以 f(x)单调减少由 01 得f(1)f()f(0)， 即 f(1)f(1)-f(0)f(0)【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 B【试题解析】 令 lnx=t，则 x=et，从而 f(t)=et+t2，故 f(x)dx=f(x)+C=ex+x2+C【知识模块】
8、高等数学6 【正确答案】 A【试题解析】 本题既是无界函数的反常积分，又是无穷限的反常积分【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 B【试题解析】 由 a+b+c=0，有(a+b+c).(a+b+c)=0 ，即 a.a+b.b+c.c+2(a.b+ b.c+c.a)=0，由于 a，b ，c 均为单位向量，所以 a.a=b.b=c.c=1，故 a.b+b.c+c.a=【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 B【试题解析】 这是一个三元方程所确定的二元隐函数的变形问题，本题采用公式法【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 C【试题解析】 这是一个直角坐标下交换积分次序问题，其方法是根据所给定的积分次
9、序，画出积分区域图，根据积分区域图，写出另一种积分次序 由已知二次积分知，积分区域 D 由直线 x=-1，x=0，y=x+1 及曲线 y= 围成，如图 24所示，其 Y 型区域由两部分构成(x，y) 0y1 ， -1xy-1，【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 D【试题解析】 本题主要考查第二类曲线积分的计算方法(利用直接计算法) 曲线L 可写成： 如图 29 所示，根据曲线积分对积分曲线的可加性，有 L(x2+y2)dx+(x2-y2)dy=L1(x2+y2)dx+(x2-y2)dy +L2(x2+y2)dx+(x2-y2)dy=(x2+x2)dx+ (x2+(2-x)2-x2-(2-
10、x)2dx【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 C【试题解析】 级数 的部分和【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 A【试题解析】 因为 y1，y 2 是微分方程 y+P(x)y=Q(x)的两个特解，所以 y i+P(x)yi=Q(x) (i=1，2)，因为 ay1+by2 是该方程的解，所以(ay 1+by2)+P(x)(ay1+by2)=Q(x)，即 ay 1+P(x)y1+by2+P(x)y2=Q(x)， aQ(x)+bQ(a)=Q(x)，于是a+b=1又因为 ay1-by2 是该方程对应的齐次方程的解，所以(ay 1-by2)+P(x)(ay1-by2)=0，即 ay 1+P(
11、x)y1-by2+P(x)y2=0， aQ(x)-bQ(x)=0，于是 a-b=0解关于a，b 的方程组，得【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 B【试题解析】 由已知条件知 ，即等式两边积分，得 lnQ=-Pln3+lnC，即 Q=C.3-P由于已知商品的最大需求量为 1000，即 Q(0)=1000，由此得 C=1000，于是 Q=10003-P【知识模块】 高等数学二、填空题14 【正确答案】 2【试题解析】 这是已知一个极限，求另一个极限问题由【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 e -1【试题解析】 f(x)=2nx 2n-1，由导数的几何意义知，曲线 f(x)=x2n 在点
12、(1，1)处的切线斜率 k=f(1)=2n于是切线方程为 y-1=2n(x-1)令 y=0，得 xn= 从而【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 【试题解析】 直接求 d(arctan e2x)=_dex 空中的表达式非常困难，但如果将问题转化为 =_，即转化为求两个函数的微分的商，问题迎刃而解【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 【试题解析】 这是一个 型未定式的极限，可先考虑用等价无穷小替换化简，然后再进行计算因为当 x0，arctanx x，e-e cosx=ecosx(e1-cosx-1)e cosx(1-cosx)e cosx.x2所以【知识模块】 高等数学18 【正确答案】
13、 -3【试题解析】 这是一个隐函数求导问题，只要注意到方程表达式中积分上限函数的导数与方程中各个变量的含义，不要弄混淆就行了方程两边对 t 求导，得 cost-x(t)x(t)+(t)=0，所以进一步当 t=0 时，由已知方程得 ，因为 (u)0，所以 x(0)=0从而 x(0)=2， x(0)=-3【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 【试题解析】 如图 36 所示，要求平面图形的面积，应先求切线方程设切点为 A(x0，e 2x0)，由导数的几何意义有于是 x0= ，从而切线方程为 y-e= 即 y=2ex所以所求平面图形的面积为【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 【试题解析】 将
14、 y=z 代入到方程 x2+y2+z2=9 中，得 x2+2y2=9， 即令 x=3cos，y= ，则空间曲线 的参数方程为【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 -1【试题解析】 本题考查二元函数 z=f(x，y) 的极值问题首先求出二元函数的驻点，在每一个驻点处，用极值的充分条件判断驻点是否是极(大、小)值点令解得驻点为(0，0)，(1，1) 在驻点(0，0)处，B 2-AC-90，故驻点(0，0)不是极值点在驻点(1，1) 处，B 2-AC=-270，而A=6 0，故驻点(1，1)是极小值点，极小值为 z(1，1)=-1 【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 【试题解析】 积分区域
15、 D 是圆 x2+y2=2x 之外的无界区域，但是在区域D1=(x，y)1x2 ，0yx之外，被积函数 f(x，y)=0，所以二重积分的有效积分区域应是 D 与 D1 相交部分，设其为 D2，如图 51 所示，则 D2=(x，y 1x ，yx这是一个 X 型区域，于是【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 【试题解析】 本题考查曲面的质心坐标公式与第一类曲面积分的计算由曲面的质心坐标公式知，所求曲面质心的竖坐标为【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 -e xln(1-x)，x-1，1)【试题解析】 本题主要考查一阶微分方程的解与幂级数的和函数首先求一阶微分方程的解由已知条件知 fn(x)
16、满足的微分方程可写成这是一阶线性微分方程的初值问题，可以用一阶线性微分方程的通解公式求其通解，也可以用下面简便方法： 将方程两边乘以 e-x，得 fn(x)e-x-e-xfn(x)=xn-1，于是 fn(x)e-x=xn-1，等式两边积分，得 f n(x)e-x=xn-1dx，即 fn(x)ex= xn+C，f n(x)=ex 由 fn(1)= ，得 C=0故 fn(x)= xnex其次求级数 fn(x)的和 令 s(x)= ，则等式两边从 0 到 x 积分，得 即 s(x)=-ln(1-x)， x(-1，1)因为当 x=-1 时，s(x)=-ln(1-x)连续，而 收敛，所以【知识模块】 高
17、等数学25 【正确答案】 3e 3x-2e2x【试题解析】 因为 f(x)是连续函数，所以积分上限函数+e2x 知 f(x)可导将已知方程两边对 x 求导数，得 f(x)=3f(x)+2e 2x，即 f(x)-3f(x)=2e 2x，这是一个一阶线性微分方程，可以利用一阶线性微分方程通解公式求解，也可以用下面的简便方法求解 将方程f(x)-3f(x)=2e2x 两边乘以 e-3x，得 f(x)e -3x=2e-x，等式两边积分，得 f(x)e -3x=-2e-x+C，所以 f(x)=Ce3x-2e2x，在已知等式中，取 x=0，得 f(0)=1，代入上式得 C=3，于是 f(x)=3e 3x-2e2x【知识模块】 高等数学
