1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 104 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 下列命题中不正确的是( )2 函数 f(x)= 的间断点( )（A）不存在（B）正好 1 个（C）正好 2 个（D）正好 3 个3 设 x=y-sin y(0为常数 )，它的反函数是 y=y(x)，则 等于( )4 使函数 f(x)= 适合罗尔定理条件的区间是 ( )（A）0 ，1（B） -1，1（C）（D）1 ，25 下列等式成立的是( )（A）xdx= x2+C（B）（C） f(2x)dx=f(2x)+C（D）e x =ex +C6 等于( )7 半圆形闸门半径为 R(m)
2、，将其垂直放人水中，且直径与水面齐平设水的密度为 ，如果坐标原点取在圆心，x 轴正向朝下，则闸门所受压力 P 为( )8 已知 z=f(xy，x 2+y2)，其中 f(u，v)具有二阶连续偏导数，则 =( )（A）f 1+xyf11+4xyf22（B） f1+xyf“11+2(x2+y2)f12+4xyf22（C） xyf11+2(x2+y2)f12+4xyf22（D）xyf 11+4xyf229 直角坐标下的二次积分 化为极坐标下的二次积分为( )10 在力 F=xi+yi 的作用下，一质点从点 A(a，0) 沿椭圆 按逆时针方向移动到点 B(0，b)，力 F 所做的功为( )（A） (b2
3、-a2)（B） (a2-b2)（C） (b2-a2)（D） (a2-b2)11 设级数 条件收敛，将其中的正项取出(负项处补为 0)组成的级数记为 ，将其中的负项取出(正项处补为 0)组成的级数记为 ，则( )12 如果 y=cos2x 是微分方程 y+P(x)y=0 的一个特解，则该方程满足初始条件 y(0)=2 的特解为 ( )（A）y=cos2x+2（B） y=cos2x+1（C） y=2cosc（D）y=2cos2x13 在下列微分方程中，以 y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x(C1，C 2，C 3 为任意常数)为通解的是( )（A）y+y-4y-4y=0（B） y+y+4y
4、+4y=0（C） y-y-4y+4y=0（D）y-y+4y-4y=0二、填空题14 设 0a b，则 =_.15 设 f(x)在 x=1 点处连续，且 ，则 f(1)=_16 设 f(x)= 则 f(0)=_17 =_18 =_.19 设由两曲线 y=x2 与 y=ax3(0a1) 所围成图形的面积为 ，则 a=_20 xOy 面上的椭圆 绕 x 轴旋转所得旋转曲面的方程为 _，绕 y 轴旋转所得旋转曲面的方程为_21 函数 f(x， y)=x2+y2 在条件 下的极值为_22 设平面区域 D 由直线 x=1，y= 及曲线 x2+y2=1 围成，则二重积分 f(x，y)dxdy在极坐标下的二次
5、积分为_23 设 为平面 z=2x+3y(x0，y0，x+y2)，则曲面积分 (x+y+z)dS=_24 幂级数 xn 的收敛半径为_25 已知 f(x)在(-，+) 内有定义，且对任意 x，y 满足 f(x+y)=eyf(x)+exf(y)，又 f(x)在点 x=0 处可导，且 f(0)=e，则 f(x)=_考研数学一（高等数学）模拟试卷 104 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 因为增加或去掉有限项不改变数列的敛散性，故 A 正确由数列与子数列之间的关系 ，B 正确由收敛数列必是有界数列，C 正确故应选 D事实上，取
6、，显然xnanyn，且【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 C【试题解析】 由 f(x)的表达式或图形知，f(x)正好有两个间断点【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 C【试题解析】 (反函数求导法) 再由复合函数求导法，得【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 A【试题解析】 本题主要考查罗尔定理的条件函数 f(x)在(-，+)上连续因为所以 f(x)在点 x=0 处不可导，排除 B、C 由于 f(x)在1 ，2 的端点处的函数值不相等，故应选 A【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 B【试题解析】 选项 A，当 x0 时，xdx=xdx= x2+C；当 x0 时，x dx=-xdx=
7、 x2+C，排除 A选项 B，故 B 正确选项 C，排除 C选项 D，当 x0 时，e x dx=exdx=ex+C；当 x0 时，e x dx=e-xdx=-e-xd(-x)=-e-x+C，排除 D【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 A【试题解析】 因为被积函数 是周期为兀的周期函数，由周期函数的积分特点，有【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 C【试题解析】 建立如图 18 所示的坐标系，取 x 为积分变量，x0，R 对于0，R上的任一微元 x， x+dx，其上所受压力微元为故闸门所受压力为【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查二元复合函数的二阶偏导数的计算
8、=yf1+2xf2， =(xf11+2yf12)y+f1+(xf21+2yf22).2x，由于 f(u，v)具有二阶连续偏导数，所以 f12=f21，于是 =f1+xyf11+2(x2+y2)f12+4xyf22【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 A【试题解析】 由已知二次积分知，积分区域 D 由直线 x=0，y=x 及曲线 y=1+围成，如图 23 所示于是，在极坐标下，积分区域为再将被积表达式转化为极坐标下的表达式，有【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 A【试题解析】 本题主要考查第二类曲线积分的物理意义与计算方法椭圆的参数方程为 (02)根据第二类曲线积分的物理意义，力 F 所
9、做的功为【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 B【试题解析】 由已知条件知 bn= (an+a n)， c n= (an-a n)，因为级数条件收敛，所以都发散【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 D【试题解析】 因为 y=cos2x 是微分方程 y+P(x)y=0 的一个特解，将其代入微分方程，得 -2sin2x+P(x)cos2x=0所以 P(x)=2tan 2x原微分方程为 y+2tan2x.y=0 ，这是一个一阶线性齐次微分方程或可分离变量的微分方程，分离变量得 =-2tan 2xdx等式两边积分，得 =-2tan2xdx，即 lny=lncos2x+ln C ，于是 y=Cc
10、os 2x由 y(0)=2，得 C=2故所求特解为 y=2cos2x【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 D【试题解析】 这是一个由三阶线性常系数齐次微分方程的通解求微分方程的问题根据通解的结构可知，r 1=1，r 2,3=2i 是其特征根，从而特征方程为 (r-1)(r+2i)(r-2i)=0， 即 r3-r2+4r-4=0， 故所求微分方程为 y-y+4y-y=0 【知识模块】 高等数学二、填空题14 【正确答案】 b【试题解析】 【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 2【试题解析】 由 及 f(x)在 x=1 点处连续，得 =f(1)=0，于是由导数的定义有【知识模块】 高等数学
11、16 【正确答案】 0【试题解析】 利用导数的定义求分段函数在分段点的导数【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 abc【试题解析】 这是一个 1型未定式的极限，用对数恒等式转化计算【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 【试题解析】 这是一个积分上限函数求导问题，可直接利用公式计算【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 【试题解析】 由 解得两曲线的交点为(0，0)与 ，于是两曲线围成图形的面积可表示为 由题设知【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 【试题解析】 一般地，xOy 面上的曲线 f(x，y)=0 绕 x 轴旋转所得旋转曲面的方程为 绕 y 轴旋转所得旋转曲面的方程为由上
12、面公式，得 xOy 面上的椭圆 绕 x 轴旋转所得旋转曲面的方程为 =1；绕 y 轴旋转所得旋转曲面的方程为【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 【试题解析】 (用条件极值的拉格朗日乘数法) 作拉格朗日函数解得是 f(x，y)=x 2+y2 在条件下唯一可能的极值点把条件 代入目标函数，得 f(x，y)=x2+y2=x2+ ，将目标函数看作一元函数，利用一元函数极值的充分条件判断，可知 是 f(x，y)=x 2+y2 在条件 下的极小值故当 时，f(x，y)的极值为【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 【试题解析】 直线 x=1 的极坐标方程为 r=sec，直线 y=1 的极坐标方程为
13、r=csc，曲线(圆)x 2+y2=1 的极坐标方程为 r=1，平面区域 D 如图 50 所示，直线y=x 将积分区域 D 分成两部分，在极坐标下积分区域D=(r，) 0 ，1rsec(r，) ，1rcsc ，于是，二重积分 在极坐标下的二次积分为【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 【试题解析】 本题考查第一类曲面积分的计算利用“一代二换三投影”将其转化为二重积分进行计算【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 【试题解析】 记 an= (n=1，2，)，则故幂级数 的收敛半径R=【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 xe x1【试题解析】 这是一个已知函数方程求函数问题，其一般方法
14、是将已知函数方程两边求导数，得到微分方程，解微分方程得到所求函数但由于本题 f(x)仅已知其在(-，+)内有定义，条件太弱，方程两边不能求导数，所以考虑用导数的定义建立微分方程 在已知等式中，取 x=y=0，得 f(0)=0由导数的定义，得=f(x)+exf(0)=f(x)+ex+1于是，f(x)满足的微分方程为 这是一阶线性微分方程，可以利用一阶线性微分方程的通解公式求解，也可以用下面简便方法求解 因为 f(x)-f(x)=ex+1，将方程两边乘以 e-x，得 e -xf(x)-e-xf(x)=e， 即e-xf(x)=e，等式两边积分，得 e -xf(x)=ex+C，所以 f(x)=Ce x+xex+1，由 f(0)=0，得C=0，故 f(x)=xex+1【知识模块】 高等数学
