1、考研数学三（概率统计）模拟试卷 46 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 0P(C)1，且 P(A+BC)=P(AC)+P(B C)，则下列正确的是( )（A）（B） P(AC+BC)=P(AC)+P(BC)（C） P(A+B)=P(AC)+P(B C)（D）P(C)=P(A)P(CA)+P(B)P(CA)2 设 A，B 是任两个随机事件，下列事件中与 A+B=B 不等价的是( )3 设随机变量 X，Y 的分布函数分别为 F1(x)，F 2(x)，为使得 F(x)=aF1(x)+6F2(x)为某一随机变量的分布函数，则有( )4 若(X，Y) 服从
2、二维正态分布，则 X，Y 一定相互独立；若 XY=0，则 X，Y一定相互独立；X 和 Y 都服从一维正态分布； X，Y 的任一线性组合服从一维正态分布上述几种说法中正确的是( )（A）（B） （C） （D）二、填空题5 设随机变量 X，Y 相互独立，且XN(0，4)，Y 的分布律为则 P(X+2Y4)=_6 设 X，Y 为两个随机变量，且 P(X0，Y0)= P(X0)=P(Y0)= 则P(maxX，Y0)=_7 设随机变量 XP()，且 E(X1)(X2)=1，则 =_8 设 XN(1 ， 2)，YN(2， 2)为两个相互独立的总体，X 1，X 2，X M 与Y1，Y 2，Y n 分别为来自
3、两个总体的简单样本，服从_分布三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 设 A，B 是两个随机事件，P(AB)=04，P(BA)=04， =07，则P(A+B)=_10 随机向区域 D： 内扔一点，该点落在半圆内任何区域的概率与该区域的面积成正比，则落点与原点的连线与 z 轴的夹角小于 的概率为_11 甲、乙两船驶向不能同时停靠两条船的码头，它们一天到达时间是等可能的，如果甲停靠，则停靠的时间为 1 小时，若乙停靠，则停靠的时间为 2 小时，求它们不需要等的概率11 设随机变量 X 满足X1，且 ，在1 X1发生的情况下，X 在(1，1) 内任一子区间上的条件概率与该子区间长度成正
4、比12 求 X 的分布函数；13 求 P(X0)14 设 X 的密度函数为 的密度 fY(y)15 设随机变量 X 与 Y 相互独立，下表列出二维随机变量(X，Y) 的联合分布律及关于 X 和 Y 的边缘分布律的部分数值，试将其余的数值填入表中空白处16 设随机变量(X，Y) 的联合密度函数为(1)求 P(X2Y)； (2)设 Z=X+Y，求 Z 的概率密度函数17 设随机变量 X，Y 相互独立，且 又设向量组1， 2， 3 线性无关，求 +2， 2+X3，Y 1 线性相关的概率18 设每次试验成功的概率为 02，失败的概率为 08，设独立重复试验直到成功为止的试验次数为 X，则 E(X)=_
5、19 设由自动生产线加工的某种零件的内径 X(毫米)服从正态分布 N(，1)，内径小于 10 或大于 12 为不合格品，其余为合格产品销售合格品获利，销售不合格产品亏损，已知销售利润 T(单位：元 )与销售零件的内径 X 有如下关系：问平均内径 取何值时，销售一个零件的平均利润最大 ?19 设随机变量 X 服从参数为 2 的指数分布，令求：20 (U， V)的分布； 21 U，V 的相关系数22 设随机变量(X，Y) 在区域 D=(x，y，)0x2，0y1)上服从均匀分布，令(1)求(U，V) 的联合分布； (2)求 UV23 电信公司将 n 个人的电话资费单寄给 n 个人，但信封上各收信人的
6、地址随机填写，用随机变量 X 表示收到自己电话资费单的人的个数，求 E(X)及 D(X)24 设 X1，X 2，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，已知 E(Xk)=k(k=1，2，3，4)证明：当 n 充分大时，随机变量 近似服从正态分布，并指出其分布参数25 设总体 XN(0，1) ，(X 1，X 2，X m，X m+1， ，X m+n)为来自总体 X 的简单随机样本，求统计量 所服从的分布26 设总体 X 服从正态分布 N(， 2)(0)从该总体中抽取简单随机样本X1，X 2，X 2n(n2) 令的数学期望27 设总体 样本值为1，1，3，2，l，2，3，3，求 的矩估计和最大似然估
7、计28 设总体 X，Y 相互独立且都服从 N(， 2)分布，(X 1，X 2，X m)与(Y1，Y 2，Y n)分别为来自总体 X，Y 的简单随机样本证明：为参数 2 的无偏估计量考研数学三（概率统计）模拟试卷 46 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由 P(A+BC)=P(AC)+P(BC)，因为 P(A+BC)=P(AC)+P(BC) P(AB C)，所以 P(ABC)=0，从而 P(ABC)=0，故 P(AC+BC)=P(AC)+P(BC)P(ABC)=P(AC)+P(BC)，选 B【知识模块】 随机事件与概率2 【
8、正确答案】 D【试题解析】 A+B=B 等价于 AB=A，AB=A 等价于AAB，则 等价于 AB=A，选 D【知识模块】 随机事件与概率3 【正确答案】 D【试题解析】 根据性质 F(+)=1，得正确答案为 D.【知识模块】 随机变量及其分布4 【正确答案】 B【试题解析】 因为(X，Y)服从二维正态分布，所以 X，Y 都服从一维正态分布，aX+bY 服从一维正态分布，且 X，Y 独立与不相关等价，所以选 B【知识模块】 多维随机变量及其分布二、填空题5 【正确答案】 0.46587【试题解析】 P(X+2Y4) =P(Y=1)P(X42Y Y=1)+P(Y=2)P(X42Y Y=2) +P
9、(Y=3)P(X42YY=3)【知识模块】 多维随机变量及其分布6 【正确答案】 【试题解析】 令X0)=A，Y0)=B，则有故 P(maxX，Y)0)=1P(maxX ，Y) 0)=1 P(X0，Y0)=1 =P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB)=【知识模块】 多维随机变量及其分布7 【正确答案】 =1【试题解析】 因为 XP()，所以 E(X)=，D(X)=，故 E(X2)=D(X)+E(X)2=2+ 由 E(X1)(X2)=E(X 23X+2)=E(X 2)3E(X)+2= 22+2=1 得 =1【知识模块】 随机变量的数字特征8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 数理统计
10、的基本概念三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 【正确答案】 【试题解析】 因为 P(AB)=0 4， P(BA)=04，所以 P(A)=P(B)且 P(AB)=04P(A)，于是 P(A+B)=P(A)+P(B)=P(AB)=【知识模块】 随机事件与概率10 【正确答案】 【试题解析】 半圆的面积为 落点与原点的连线与 x 轴的夹角小于 的区域记为 D1，所求概率为【知识模块】 随机事件与概率11 【正确答案】 设甲、乙两船到达的时刻分别为 x，y(Qx24 ，0y24)，则两船不需要等待的充分必要条件是 令 D=(x，y)0x24，0Y24，则D1=(x，y) yx1 ，x
11、y2，(x，y)D)，则两船不需要等待的概率为【知识模块】 随机事件与概率【知识模块】 随机变量及其分布12 【正确答案】 当 x1 时，F(x)=0 ：当 x=1 时， 因为P(1X1)= 所以在1X1(1x1)发生下，P(1Xx1X1)= 于是当1x1 时，P(1Xx)=P(1Xx，1x1)=P( 1X1).P(1Xx1x1)=F(x)=P(Xx)=P(X1)+P(1Xx)=当 x1 时，F(x)=1 ，故【知识模块】 随机变量及其分布13 【正确答案】 P(X0)=F(0)=【知识模块】 随机变量及其分布14 【正确答案】 F Y(y)=P(Yy)= =PX(1y) 3)=1PX(1y)
12、 3)=1 (1y)3 fX(x)dx= fY(y)=FY(y)=(y+) 【知识模块】 随机变量及其分布15 【正确答案】 由 p11+P21=p.1 得 p11= 因为 X，Y 相互独立，所以 p1.p.1=p11 于是 P.1= 由 p1.P.2=p12 得 p.2= ，再由 p12+p22=p.2 得 p22= 由 p11+P12+p13=p1.得p13= 再由 P1.P.3=P13 得 p.3= 由 p13+p23=p.3 得 p23= 再由 p1.+p2.=1 得 P2.=【知识模块】 多维随机变量及其分布16 【正确答案】 FZ(z)=P(Zz)=P(X+Yz)= f(x，y)d
13、xdy当 z0 时，F Z(z)=0；当 0z1 时，F Z(z)=0zdy0zy (2z y)dx=z 2 当 1z2 时，F Z(z)=1 z1 1dyzy 1(2zy)dx=当 z2 时，F Z(z)=1因此【知识模块】 多维随机变量及其分布17 【正确答案】 令 k1(1+2)+k2(2+X3)+k3Y1=0，整理得 (k 1+Yk3)1+(k1+k2)2+Xk23=0 因为 1， 2， 3 线性无关，所以有 又1+2， 2+X3，Y 1 线性相关的充分必要条件是上述方程组有非零解，即从而 XY=0，即 1+2， 2+X3，Y 1 线性相关的充分必要条件是 XY=0注意到 X，Y 相互
14、独立，所以 1+2， 2+X3，Y 1 线性相关的概率为【知识模块】 多维随机变量及其分布18 【正确答案】 X 的分布律为 P(X=k)=020 8 k1 ，k=1，2，【知识模块】 随机变量的数字特征19 【正确答案】 E(T)=1P(X10)+20P(10X12) 5P(X12) =(10)+20F(12)(10)=51(12 ) =25(12)21(10) 5 令解得 所以当 109 时，销售一个零件的平均利润最大【知识模块】 随机变量的数字特征【知识模块】 随机变量的数字特征20 【正确答案】 因为 X 服从参数为 2 的指数分布，所以 X 的分布函数为(U，V)的可能取值为(0，0
15、)，(0，1)，(1 ，0)，(1，1)P(U=0，V=0)=P(X1，X2)=P(X1)=F(1)=1e 2 ；P(U=0，V=1)=P(X1，X 2)=0；P(U=1，V=1)=P(X 1，X2)=P(X2)=1F(2)=e4 ；P(U=1，V=0)=P(X1，X2)=e 2 e 4 (U，V)的联合分布律为【知识模块】 随机变量的数字特征21 【正确答案】 由 得 E(U)=e2 ，E(V)=e 4 ，E(UV)=e 4 ，E(U 2)=e2 ，E(V 2)=e4 ，则 D(U)=E(U2)E(U)2=e2 e 4 ，D(V)=E(V 2)E(V) 2=e4 e 8 ，Cov(U ，V)
16、=E(UV) E(U)E(V)=e4 e 6 ，于是【知识模块】 随机变量的数字特征22 【正确答案】 (U，V) 的可能取值为(0 ，0) ， (0，1)，(1， 0)，(1，1)P(U=0，V=1)=P(XY，X2Y)=0；P(U=1，V=0)=P(XY，X2Y)=P(YX2Y)= P(U=0，V=0)=P(XY，X2Y)=P(XY)= P(U=1，V=1)= (U，V)的联合分布律为 (2)由(1)得【知识模块】 随机变量的数字特征23 【正确答案】 令 Ai=第 i 个人收到自己的电话资费单)，i=1，2，n，i=12，n，则 X=X1+X2+Xn当 ij 时，P(Xi=1，X j=1
17、)=P(AiAj)=P(Ai)P(AjA i)=Cov(XiXj)=E(XiXj)E(X i)E(Xj)=【知识模块】 随机变量的数字特征24 【正确答案】 因为 X1，X 2，X n 独立同分布，所以 X12，X 22，X n2 也独立同分布且 E(X i2)=2，D(x i2)=4 22，当 n 充分大时，由中心极限定理得近似服从标准正态分布，故 Zn 近似服从正态分布；两个参数为 =2【知识模块】 大数定律和中心极限定理25 【正确答案】 显然 且U，V 相互独立，于是【知识模块】 数理统计的基本概念26 【正确答案】 令 Yi=Xi+Xn+i(i=1，2，n)，则 Y1，Y 2，Y n
18、 为正态总体N(2，2 2)的简单随机样本，(n1)S2，其中 S2 为样本 Y1，Y 2，Y n 的方差，而 E(S2)=22，所以统计量 U=的数学期望为 E(U)=E(n1)S 2=2(n1) 2【知识模块】 数理统计的基本概念27 【正确答案】 X 为离散型随机变量，其分布律为 E(X)=33 令 33=2 得 0 的矩估计值为 L(1，1，3，2， 1，2，3，3；)=P(X 一=)P(X=1)P(X=3)= 32(12)3，lnL()=51n+31n(12)，令 得 的最大似然估计值为【知识模块】 参数估计28 【正确答案】 令 因为E(S12)=E(S22)=2，所以即为参数 2 的无偏估计量【知识模块】 参数估计
