1、考研数学三（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编 12 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 对任意两个随机变量 X 和 Y，若 E(XY)E(X).E(Y) ，则（A）D(XY) D(X).D(Y)（B） D(XY)D(X)D(Y)（C） X 与 Y 独立（D）X 与 Y 不独立2 设随机变量 X 和 Y 独立同分布，记 UXY， VXY，则随机变量 U 与 V必然（A）不独立（B）独立（C）相关系数不为零（D）相关系数为零3 将一枚硬币重复掷 n 次，以 X 和 Y 分别表示正面向上和反面向上的次数，则 X和 Y 的相关系数等于（A）1（B） 0（C）
2、（D）14 设随机变量(X，Y) 服从二维正态分布，且 X 与 Y 不相关，f X()，f Y(y)分别表示X，Y 的概率密度，则在 Yy 的条件下，X 的条件概率密度 fXY (y)为（A）f X()（B） fY(y)（C） fX()fY(y)（D）二、填空题5 设随机变量 Xij(i，j1，2，n；n2)独立同分布，EX ij2，则行列式的数学期望 EY_6 设随机变量 X 在区间1，2上服从均匀分布，随机变量则方差 DY_7 设随机变量 X 和 Y 的联合概率分布为则 X2 和 Y2 的协方差 cov(X2，Y 2)_8 设随机变量 X 和 Y 的相关系数为 09，若 ZX04，则 Y
3、与 Z 的相关系数为_9 设随机变量 X 服从参数为 的指数分布，则 PX _10 设随机变量服从参数为 1 的泊松分布，则 PXEX 2_11 设二维随机变量(X，Y)服从正态分布 N(，； 2， 2；0)，则 E(XY2)_12 设随机变量 X 服从标准正态分布 N(0，1)，则 E(Xe2X)_13 设二维随机变量(X，Y)服从正态分布 N(1，0；1，1；0)，则 PXYY0_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 已知随机变量 X 的概率密度为 求随机变量 Y的数学期望 E(Y)15 已知随机变量(X，Y) 的联合密度为 试求：(1)PX Y ； (2)E(XY)；1
4、6 设随机变量(X，Y) 在圆域 2y 2r2 上服从联合均匀分布 (1)求(X，Y) 的相关系数 ； (2)问 X 和 Y 是否独立?17 某设备由三大部件构成在设备运转中各部件需要调整的概率相应为010，020 和 030设各部件的状态相互独立，以 X 表示同时需要调整的部件数，试求 E(X)和 D(X)18 设随机变量 X 和 y 同分布，X 的概率密度为 (1)已知事件 AXa和 BY a独立，且 PAB ，求常数 a； (2)求的数学期望19 设由自动线加工的某种零件的内径 X(毫米)服从正态分布 N(，1)，内径小于 10或大于 12 为不合格品，其余为合格品销售每件合格品获利，销
5、售每件不合格品亏损已知销售利润 T(单位：元 )与销售零件的内径 X 有如下关系：问平均内径 取何值时，销售一个零件的平均利润最大?20 设一部机器在一天内发生故障的概率为 02，机器发生故障时全天停止工作一周五个工作日，若无故障，可获利润 10 万元；发生一次故障仍可获利润 5万元；若发生两次故障，获利润 0 元；若发生三次或三次以上故障就要亏损 2 万元求一周内的利润期望21 游客乘电梯从底层到电视塔的顶层观光电梯于每个整点的第 5 分钟、第 25 分钟和第 55 分钟从底层起行设一游客在早上八点的第 X 分钟到达底层候梯处，且X 在0 ，60 上服从均匀分布，求该游客等候时间的数学期望2
6、2 两台同样的自动记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为 5 的指数分布先开动其中一台，当其发生故障时停用而另一台自动开动试求两台自动记录仪无故障工作的总时间 T 的概率密度 f(t)、数学期望和方差23 一商店经销某种商品，每周的进货量 X 与顾客对该种商品的需求量 Y 是两个相互独立的随机变量，且都服从区间10，20上的均匀分布商店每售出一单位商品可得利润 1000 元；若需求量超过了进货量，可以其他商店调剂供应，这时每单位商品的售出获利润为 500 元试求此商店经销该种商品每周所得利润的期望值24 假设二维随机变量(X，Y)在矩形 G(，y) 02 ，0y1 上服从均匀分布，记 (1)求
7、 U 和 V 的联合分布； (2)求 U 和 V 的相关系数 r25 设 A，B 是二随机事件，随机变量试证明随机变量X 和 Y 不相关的充分必要条件是 A 与 B 相互独立26 假设随机变量 U 在区间2，2上服从均匀分布，随机变量试求(1)X 和 Y 的联合概率分布； (2)D(XY)27 设一设备开机后无故障工作的时间 X 服从指数分布，平均无故障工作的时间(EX)为 5 小时设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作 2小时便关机试求该设备每次开机无故障工作的时间 Y 的分布函数 F(y)28 设 A，B 为两个随机事件，且 P(A) ，P(BA) ，P(AB) ，令求：
8、()二维随机变量(X，Y) 的概率分布； ()X 与 Y 的相关系数 (X，Y)； ( )XX 2Y 2 的概率分布29 设随机变量 X 的概率密度为 令YX 2，F( ，y) 为二维随机变量(X ，Y)的分布函数求 ()Y 的概率密度 FY(y)； ()Cov(X ， Y)； ()F( ，4)30 箱中装有 6 个球，其中红、白、黑球的个数分别为 1，2，3 个现从箱中随机地取出 2 个球，记 X 为取出的红球个数，Y 为取出的白球个数()求随机变量 (X，Y)的概率分布；()求 Cov(X，Y)31 设随机变量 X 与 Y 的概率分布分别为且 PX2Y 21 ()求二维随机变量(X，Y)
9、的概率分布； () 求 ZXY 的概率分布； ()求 X 与 Y 的相关系数 XY32 设二维离散型随机变量(X，Y)的概率分布为()求 PX2Y； ()求Cov(XY，Y)33 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且都服从参数为 1 的指数分布记UmaxX，Y， minX，Y ()求 V 的概率密度 fv(v)； ()求 E(UV)考研数学三（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编 12 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 D(XY)D(X) D(Y)2E(XY)E(X)E(Y)，可见选项 B 与E(XY)E(X)E(Y)是等价
10、的【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 D【试题解析】 X 与 Y 同分布，DXDY得 cov(U，V)cov(XY，XY)cov(X ，X) cov(X ，Y) cov(YX)cov(Y，Y)DXDY=0相关系数 0【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 A【试题解析】 XYn， Yn X 故 DYD(n X) DX，cov(X，Y)cov(X，nX) cov(XX)DX X 和 Y 的相关系数 (X，Y) 1【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 A【试题解析】 由(X，Y) 服从二维正态分布，且 X 与 Y 不相关故 X 与 Y 独立，(X，Y)的概率密度 f(
11、，y) f X().fY(y)， (，y) R2 得 fXY (XY) f X() 故选 A【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题5 【正确答案】 0【试题解析】 由 n 阶行列式的定义知 Y ，p 1，p n 为(1，n) 的排列，(p1p2pn)为排列 p1p2pn 的逆序数 而 Xij(i，j1，2，n)独立同分布且EXij2，故【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 【试题解析】 由题意，X 的概率密度为： 则P(X0) 0 f()d P(X0) 0 ，而P(X0)0 故 EY1.P(X0)0.P(X0)(1)P(x0) E(Y2)1 2.P(X0)0 2.P(X0)(1)
12、2P(X0) 1 DYE(Y) 2(EY) 21【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 002【试题解析】 E(X 2Y2)0 2(1) 20070 2020180 2120151 2(1)2008 1 2020321 212020028 而关于 X 的边缘分布律为：关于 Y 的边缘分布律为： EX20 2041 20606， EY 2(1) 20150 2051 203505 故 cov(X2，Y 2)E(X 2Y2)EX 2.EY20280605002【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 09【试题解析】 因为 D(Z)D(X04) DX， 且 cov(Y，Z)cov(Y
13、，X 04)cov(Y，X)cov(X，Y) 故 (Y，Z) (X，Y)09【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 【试题解析】 由题意，DX ，而 X 的概率密度为 故 e -1【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 【试题解析】 由 EX2DX(EX) 211 22，故 PXEX 2PX2【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 3 2【试题解析】 由题意知 X 与 Y 独立同分布，且 XN( ， 2)， 解：由题意知 X与 Y 独立同分布，且 XN(， 2)， 故 EX，E(Y 2)DY(EY) 2 2 2 E(XY2)EX.E(Y 2)( 2 2) 3 2【知
14、识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 2e 2【试题解析】 E(Xe 2X) 而 22 (2444) (2) 22 E(Xe 2X)2e 2【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 【试题解析】 由题意可知 XN(1，1)，YN(0 ， 1)，且 X 与 Y 独立可得X1N(0 ，1) ，于是 P(Y0)P(Y0) ，P(X10)P(X10) ，可得 P(XY Y0)PY(X1)0PY 0，X10PY0，X10 P(Y0)P(X10) P(Y0)P(X 10) 【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 【知识模块】 概率
15、论与数理统计15 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 由题意，(X，Y)的联合概率密度为 f(，y) ，若 2y 2r2(别处为 0) 则关于 X 的边缘密度为 fX() f(，y)dy 当r 时，f X()0； 当r 时， 完全同理类似，得关于 Y 的边缘概率密度为同理，EY0 而E(XY)以上积分为 0 可由被积函数为奇函数而积分区间对称且积分是收敛的得到 于是cov(X，Y) E(XY)E(X)E(Y)0，故 X 与 Y 不独立【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 设这三个部件依次为第 1、2、3 个部件，记 Ai(第 i 个部件需调整)，i1，2
16、，3则 A1，A 2，A 3 相互独立 则 P(A1)01，P(A 2)02，P(A 3)03或 P(Ai) ，i1，2，3，引显然，X 1，X 2，X 3 相互独立 则 E(Xi)1.P(A i) ，i1，2，3且 XX 1X 2X 3 D(Xi)E(X i2)E(X i)21 2.P(Ai)，i1，2，3 故 EXEX 1EX 2EX 306 DX 046【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 (1)由题意，P(A)P(B) a f()d 显然 a(0，2)否则，若a0，则 P(A) 02 2d1； 若 a2，则 P(A)0，都与 P(AB) 矛盾 故P(A)P(B) P(A B
17、)P(A)P(B)P(AB)P(A)P(B)P(A)P(B) 解得 a (舍负) (2)【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 ET( 1)P(X10) 20.P(10X12) 5.P(X12) (1).P(X10 )20P(10X(12) 5P(X12) (1)(10)20(12)(10)51(12) 25(12)21(10) 5 (ET)25(12).(1)21.(10).(1) 其中 () 为标准正态分布的概率密度 令(ET) ，得 两边取对数，得011 可以验证， 故 ET 在 0。处取得唯一极值且为极大值，所以 ET 在 0 处取最大值 故答：当 11 时，平均利润最大【知
18、识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 设这部机器一周内有 X 天发生故障，这一周的利润为 Y 万元由题意可知 XB(5，02)且 故 EY10.P(X0)5P(X1)0.P(X2)(2).P(X3) 10C 50.0 20.08 55C 51.02 108 421 C 50.02.08 5C 51.02 1.08 4 C 52.02 2.08 3 520896【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 设 Y(分钟)为该游客的等候时间，由题意知：而 X 的概率密度为：则 EYEg(X) g()F()d 060g()d 05(5)d 525(25)d 2555(55)d 5560(
19、65)d 5525205530655 060d 【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 设第 i 台自动记录仪无故障工作的时间为 Xi，(i 1，2)，由题意，X1 与 X2 独立同分布，概率密度为 且知EX1EX 2 DX 1DX 2 ，T X 1X 2 故ETEX 1EX 2 ，DTDX 1DX 2 下而求 f(t) 用卷积公式知： f(t) fX(1)fX(t 1)di 0 5e5 f(t)d当 t0 时，f(t)0(积分中0，t ，f(t )0)； 当 t0 时，f(t) 0t5e5 .5e5(t ) d25 0ye5t d25te 5t 故 f(t)【知识模块】 概率论与数
20、理统计23 【正确答案】 设此商店经销该种商品每周所得利润为 元，则由题意得：而 X 和 Y 的概率密度均为： 故(X，Y) 的联合密度为 f(，y) f 1().f1(y)G1、G 2 见下图【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 G 的面积为 SG2如图 47 所示： 分得 GD 1D2D3 其中，D 1 的面积： ； D 3 的面积：211； D 2 的面积： 由题意，(X，Y) 的概率密度为： 而(U，V) 可能取的值为(0 ，0) ， (0，1)，(1， 0)，(1，1) 于是(1)P(U0，V 0)P(XY ，X2Y)P(U0，V1) P(xY ，X2Y)f(，y)ddy
21、0 P(U1，V0)P(XY，X2Y) P(U1，V1)P(Xy，X2Y) 于是写出(U， V)的分布列 (附带写出边缘分布列) 如下：DUE(U 2)(EU) 2DVE(V 2)(EV) 2 E(U.V)00 01010 11 得(U，V)的相关系数为【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 由已知得： EX1.P(A)(1)P( )P(A)P( )2P(A)1 EY1.P(B)(1)P( )P(B)P( )2P(B)1 E(XY)11P(AB)1( 1)P( )1(1)P( )(1)(1)P( ) P(AB) P(AB)P(A)P(AB)P(B)P(AB)1P(A)P(B)P(AB
22、) 4P(AB)2P(A)2P(B)1 cov(X，Y)E(XY)EX.EY4P(AB)2P(A)2P(B)12P(A)12P(B) 1 4P(AB)P(A)P(B) 故，X 与不相关 cov(X，Y)0 P(AB)P(A)P(B) A 与 B 独立这儿“ ”表示“当且仅当” 或“等价于”证毕【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 二维随机变量可能取的值为(1，1)，(1，1)，(1，1)，(1，1)由题意，可设 U 的概率密度为 (1)P(X1，Y1)P(U1，U1)P(U1) 1 f()d ， P(X1，Y1)P(U1，U1)0， P(X1，Y1)P(U1，U1)P(1U1) 1
23、 1f()d， P(X1，Y1)P(U1，U1)P(U1) 1 f()d， 故(X，Y)的分布律为： (2)由(X，Y) 的联合分布律可得 XY 的分布律为： 进而(XY) 2 的分布律为： 可得 E(XY)( 2) 0， E(XY) 20 2 故 D(XY)D(XY) 2E(XY) 220 22【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 设 X 的分布参数为 ，由已知，5EX ， 即知 X 的概率密度为 由题意知 Y min(X ，2) 则 Y 的分布函数 F(y)P(Yy)Pmin(X ，2)y 显然，Y0 时， F(y)0；y2 时，F(y)1； 而当 0y2 时， F(y)P(X
24、Y) yf()d 即 F(y)【知识模块】 概率论与数理统计28 【正确答案】 ()P(X1，Y1)P(AB) ， P(X0，Y1)P( B)P(B) P(AB)， P(X1，Y0)P(A )P(A)P(AB) ， P(X0，Y0)P( )1P(AB)1P(A)P(B) P(AB)1故(X，Y)的概率分布为： ()由()易得关于 X、Y 的概率分布(列)分别为：而由(X，Y) 的概率分布可得：E(XY)00 01 10 11 故得：p (X，Y) ()Z 可能取得值为：0，1，2 PZ0 PX 2Y 20PX 0，Y0 ， PZ1PX 2Y 21PX0，Y1PX1，Y0 ， PZ2 PX 2Y
25、 22PX1，Y1 故 Z 的分布(列)为：【知识模块】 概率论与数理统计29 【正确答案】 ()Y 的分布函数为 Fy(y)P(Yy)P(X 2y) y0 时，F Y(y)0，f Y(y)F Y(y)0； y0 时，F Y(y)若 1 即 0y1时，F Y(y) fY(y)F Y(y) 若1 2 即 1y4 时，F Y(y) fY(y)F Y(y) 若 2 即 y4 时，F Y(y) 1，f Y(y)F Y(y)0，故 ()cov(X，Y)cov(X，X 2)E(X 3)EX.E(X 2)，而代入得cov(X，Y) ()F( ，4) P(X ，Y4)P(X ，X 24)P(X ，X2) P(
26、X ，2X2)P( 2X)【知识模块】 概率论与数理统计30 【正确答案】 ()(X ， Y)的概率分布为：()可求得关于 X，Y 的边缘分布列分别为： 可得 EX0， EY0 而由(X，Y) 的联合分布可得 E(XY)00 01 02 10 11 120 故Cov(X，Y)E(XY)EXEY【知识模块】 概率论与数理统计31 【正确答案】 () 由 P(X2Y 2)1，可得： P(X 0，Y1)P(X1，Y0)P(X0，Y1)0 由联合分布律、边缘分布律之间的关系，可得(X ，Y)的联合(含边缘) 分布列如表所示 ()由(X，Y)的联合分布列易知 ZXY 可能取的值为1，0，1，易得：()由
27、(X，Y) 的分布 (及 X，Y 的分布)，易知：E(XY)0(1)000 0101( 1) 10011 0 而 E(X2)0 2， E(Y 2)( 1) 2 ， DXE(X 2)(EX) 2 ， DYE(Y 2)(EY) 2 故 XY0【知识模块】 概率论与数理统计32 【正确答案】 ()PX 2Y PX 0，Y0PX2，Y1() 由(X， Y)的分布可得 X，Y 及 XY 的分布分别为：故DYE(Y 2)(EY) 2 ， Cov(X，Y)E(XY) EX.EY 10 得 Cov(XY，Y)Cov(X，Y)DY0 【知识模块】 概率论与数理统计33 【正确答案】 由题意，可得 X，Y 的概率密度为 X，Y 的分布函数为 ()设 V 的分布函数为 FV(v)，则 F V(v)PVvPmin(X ，Y)v 1Pmin(X，Yv 1PXv，Yv1PXvPY v1PXv 2 11P(Xv)211 F(v) 2 fV(v) FV(v) ()UVmax(X，Y)min(X ，Y)X Y， E(U V)E(XY) EXEY112【知识模块】 概率论与数理统计
