1、考研数学三（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编 6 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (2000 年) 在电炉上安装了 4 个温控器，其显示温度的误差是随机的。在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度 t0，电炉就断电，以 E 表示事件“电炉断电”，而 T(1)T(2)T(3)T(4)为 4 个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件 E 等于事件( )（A）T (1)t0。（B） T(2)t0。 （C） T(3)t0。（D）T (4)t0。2 (2009 年) 设事件 A 与事件 B 互不相容，则( )（A）（B） P(AB)=P(
2、A)P(B)。（C） P(A)=1-P(B)。（D）3 (2014 年) 设随机事件 A 与 B 相互独立，且 P(B)=05，P(A-B)=03，则 P(B-A)=( )（A）01。（B） 02。（C） 03。（D）04。4 (2015 年) 设 A，B 为任意两个随机事件，则( )（A）P(AB)P(A)P(B) 。（B） P(AB)P(A)P(B)。（C） P(AB)（D）P(AB)5 (2003 年) 将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A 1=掷第一次出现正面，A2=掷第二次出现正面，A 3=正、反面各出现一次，A 4=正面出现两次，则事件( )（A）A 1，A 2，A 3 相互独立。
3、（B） A2，A 3，A 4 相互独立。（C） A1，A 2，A 3 两两独立。（D）A 2，A 3，A A4，A2，A3 两两独立。6 (2016 年) 设 A，B 为两个随机事件，且 0P(A) 1，0P(B)1，如果 P(AB)=1，则 ( )（A）（B）（C） P(AB)=0。（D）P(BA)=1 。7 (2017 年) 设 A，B ，C 为三个随机事件，且 A 与 C 相互独立，B 与 C 相互独立，则 AB 与 C 相互独立的充要条件是 ( )（A）A 与 B 相互独立。（B） A 与 B 互不相容。（C） AB 与 C 相互独立。（D）AB 与 C 互不相容。8 (1998 年)
4、 设 F1(x)与 F2(x)分别为随机变量 X1 与 X2 的分布函数。为使 F(x)=aF1(x)-bF2(x)是某一变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取 ( )9 (2010 年) 设随机变量 X 的分布函数 F(x)= 则 PX=1=( )（A）0。（B）（C） -e-1。（D）1-e -1。10 (2010 年) 设 f1(x)为标准正态分布的概率密度， f2(x)为-1，3上均匀分布的概率密度，若有 为概率密度，则 a，b 应满足( )（A）2a+3b=4。（B） 3a+2b=4。（C） a+b=1。（D）a+b=2。11 设 F1(x)，F 2(x)为两个分布函数，其相应的
5、概率密度 f1(x)，f 2(x)是连续函数，则必为概率密度的是( )（A）f 1(x)f2(x)。（B） 2f2(x)F1(x)。（C） f1(x)F2(x)。（D）f 1(x)F2(x)+f2(x)F1(x)。12 (2004 年) 设随机变量 X 服从正态分布 N(0，1) ，对给定的 a(0，1)，数 ua 满足Pxu a)=a，若 PXx=a，则 x 等于( )13 (2006 年) 设随机变量 X 服从正态分布 N(1， 12)，随机变量 Y 服从正态分布N(2， 22)，且 PX- 11PY- 21，则必有( )（A） 1 2。（B） 1 2。（C） 1 2。（D） 1 2。14
6、 (2007 年)某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p(0p 1) ，则此人第 4 次射击恰好第 2 次命中目标的概率为( )（A）3p(1-p) 2。（B） 6p(1-p)2。（C） 3p2(1-p)2。 （D）6p 2(1-p)2。15 (2013 年) 设 X1，X 2，X 3 是随机变量，且 X1N(0，1)，X 2N(0，2 2)，X3N(5 ，3 2)，p i=P-2Xi2(i=1，2，3)，则( )（A）p 1p 2p 3。（B） p2p 1p 3。（C） p3p 1p 2。（D）p 1p 3p 2。二、填空题16 (2005 年)从数 1，2，3，4 中任取一
7、个数，记为 X，再从 1，2，X 中任取一个数，记为 Y，则 PY=2=_。17 (2016 年)设袋中有红、白、黑球各 1 个，从中有放回地取球，每次取 1 个，直到三种颜色的球都取到时停止，则取球次数恰好为 4 的概率为_。18 (2007 年) 在区间 (0，1)中随机地取两个数，这两数之差的绝对值小于 的概率为_。19 (2012 年) 设 A，B ，C 是随机事件，A 与 C 互不相容，P(AB)= ，P(C)= ，则=_。20 (2000 年) 设随机变量 X 的概率密度为 若 k 使得PXk= ，则 k 的取值范围是_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 (1
8、998 年)设有来自三个地区的各 10 名、15 名和 25 名考生的报名表，其中女生的报名表分别为 3 份、7 份和 5 份。随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份。()求先抽到的一份是女生表的概率 p；()已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率 q。22 (2014 年) 设随机变量 X 的分布为 P(X=1)=P(X=2)= ，在给定 X=i 的条件下，随机变量 Y 服从均匀分布 U(0，i)，i=1 ，2。 ()求 Y 的分布函数； ()求期望 E(Y)。23 (2002 年)假设一设备开机后无故障工作的时间 X 服从指数分布，平均无故障工作的时间 E(X)为 5
9、小时。设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作 2 小时便关机。试求该设备每次开机无故障工作的时间 Y 的分布函数F(y)。24 (2003 年) 设随机变量 X 的概率密度为 F(x)是 X的分布函数。求随机变量 Y=F(X)的分布函数。25 (2016 年) 设二维随机变量(X，Y) 在区域 D=(x，y)0x1，x 2y 上服从均匀分布，令 U= ()写出(X，Y)的概率密度；()问 U 与 X 是否相互独立?并说明理由； () 求 Z=U+X 的分布函数 F(z)。26 (1999 年) 假设二维随机变量(X，Y) 在矩形 G=(x，y)0x2，0y1上服从均匀分布。记
10、 ()求 U 和 V 的联合分布； ()求 U 和 V 的相关系数 r。27 (2002 年) 设随机变量 U 在区间-2 ，2服从均匀分布，随机变量试求：()X 和 Y 的联合概率分布；()D(X+Y)。28 (2004 年) 设 A，B 为两个随机事件，且 P(A)= ，P(BA)= ，P(AB)= ，令求：()二维随机变量(X，Y) 的概率分布；()X 与 Y 的相关系数 XY；()Z=X 2+Y2 的概率分布。29 (2005 年) 设二维随机变量(X，Y) 的概率分布为若随机事件X=0与X+Y=1相互独立，则a=_，b=_。30 (2009 年)袋中有 1 个红球、2 个黑球与 3
11、个白球，现有放回地从袋中取两次，每次取一个球。以 X、Y、Z 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数。()求 PX=1Z=0；()求二维随机变量 (X，Y) 的概率分布。31 (2010 年)箱中装有 6 个球，其中红、白、黑球的个数分别为 1，2，3 个，现从箱中随机地取出 2 个球，记 X 为取出的红球个数， Y 为取出的白球个数。()求随机变量 (X，Y)的概率分布；()求 Cov(X，Y)。32 (2011 年) 设随机变量 X 和 Y 的概率分布分别为且 PX2=Y2=1。 ()求二维随机变量(X， Y)的概率分布； () 求 Z=XY 的概率分布； ()求 X 与 Y 的相
12、关系数 XY。考研数学三（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编 6 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 随机变量 T(1)，T (2)，T (3)，T (4)为 4 个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，事件 E 表示事件“电炉断电”，即有两个温控器显示的温度不低于 t0，此时必定两个显示较高的温度大于等于 t0，即 T(4)T(3)t0。所以说断电事件就是T(3)t0。2 【正确答案】 D【试题解析】 因为 A，B 互不相容，所以 P(AB)=0。选项 A：=1-P(AB)，因为 P(AB)不一定等于 1，所以 A 不正确；
13、选项 B：当 P(A)，P(B) 不为 0 时，选项 B 不成立，故排除 B；选项 C：只有当A、B 互为对立事件的时候才成立，故排除 C；选项 D： =1-P(AB)-1，故 D 正确。3 【正确答案】 B【试题解析】 P(A-B)=03，则 P(A)-P(AB)=03，又随机事件 A 与 B 相互独立，则有 P(AB)=P(A)P(B)。因此有 P(A)-P(A)P(B)=0 3，又 P(B)=05，故 P(A)=0 6，且 P(AB)=P(A)P(B)=03。因此 P(B-A)=P(B)-P(AB)=P(B)-P(A)P(B)=0 2。答案为 B。4 【正确答案】 C【试题解析】 P(A
14、)+P(B)=P(A B)+P(AB)2P(AB)，故选 C。5 【正确答案】 C【试题解析】 因为 P(A1)= ，P(A 2)= ，P(A 3)= ，P(A 4)= 且 P(A1A2)= ， P(A1A3)= ，P(A 2A3)= ，P(A 2A4)= ，P(A 1A2A3)=0，可见有 P(A1A2)=P(A1)P(A2)，P(A 1A3)=P(A1)P(A3)，P(A 2A3)=P(A2)P(A3)，P(A 1A2A3)P(A1)P(A2)P(A3)，P(A2A3)P(A2)P(A4)。故 A1，A 2，A 3 两两独立但不相互独立；A 2，A 3，A 4 不两两独立更不相互独立，应选
15、 C。6 【正确答案】 A【试题解析】 P(A B)= =1，可知 P(AB)=P(B)， =P(B)-P(AB)=0。可知7 【正确答案】 C【试题解析】 由 AB 与 C 独立可得P(A+B)C)=P(A+B)P(C)，其中 P(A+B)C)=P(AC+BC)=P(AC)+P(BC)-P(ABC)，P(A+B)P(C)=(P(A)+P(B)-P(AB)P(C)=P(A)P(C)+P(B)P(C)-P(AB)P(C)，又因为 A 与 C，B 与 C 独立，故由上两式可得 P(ABC)=P(AB)P(C)。经验证，只有 C 选项满足 P(ABC)=P(AB)P(C)。8 【正确答案】 A【试题
16、解析】 根据分布函数的性质 ，即 1= =F(+)=aF1(+)-bF2(+)=a-b。在所给的四个选项中只有 A 满足 a-b=1，故应选 A。9 【正确答案】 C【试题解析】 PX=1=PX1-PX -1- -e-1。10 【正确答案】 A【试题解析】 标准正态分布的概率密度函数 f1(x)= 是 x 的偶函数，即利用概率密度的性质 1=-+f(x)dx=-0af1(x)dx+0+bf2(x)ds= -+f1(x)dx+b03 所以 2a+3b=4。11 【正确答案】 D【试题解析】 根据概率密度的性质： f 1(x)F2(x)+f2(x)F1(x)0， -+f1(x)F2(x)+f2(x
17、)F1(x)dx=F1(x)F2(x) -+=1。 可知 f1(x)F2(x)+f2(x)F1(x)为概率密度，故选 D。12 【正确答案】 C【试题解析】 由标准正态分布概率密度函数的对称性知，PX-u a=a，于是 1-a=1-PX x=PXx=PXx+PX-x=2PXx ，即有 PXx= ，可见根据定义有 x= ，故应选 C。13 【正确答案】 A【试题解析】 由题设可得 则。其中 (x)是标准正态分布。又(x)是单调不减函数，则 1 21 2，即 1 2，故选 A。14 【正确答案】 C【试题解析】 p=前三次仅有一次击中目标，第 4 次击中目标 =C 31p(1-p)2p=3p2(1
18、-p)2 故选 C。15 【正确答案】 A【试题解析】 p 1=P-2X12=(2)-(-2)=2(2)-1；p 2=P-2X22=(1)-(-1)=2(1)-1；p 3=P-2X32=由下图可知正确选项为 A。二、填空题16 【正确答案】 【试题解析】 PY=2= PX=kPY=2X=k17 【正确答案】 【试题解析】 运用古典概型的方法求解：有放回地取 4 次，样本空间中总的结果数量为 34。取球次数为 4，意味着前 3 次恰好取到两种颜色并且最后一次取到剩下一种颜色，要计算这里的方法数，需要先从 3 种颜色中挑选两种颜色，有 C32 种情况；再不放回地从这两种颜色的球中取 3 次，有 2
19、3 种情况，由于 3 次有可能取到一种颜色的球，还需要把这两种情况减去；所以前三次恰好取到两种颜色对应的方法数为 C32(23-2)。前 3 次取到 3 种颜色之后，最后一次只能取剩下的一种颜色，所以 C32(23-2)也就是整个事件中所包含的结果数。所以概率为C 32(23-2)3 4=18 【正确答案】 【试题解析】 利用几何概型计算，如图：所求概率为 SAS= 。19 【正确答案】 【试题解析】 因为 AC= ，所以 ABC=，所以20 【正确答案】 1，3【试题解析】 根据随机变量 X 的概率密度可求得其分布函数为因为 PXk= ，所以PXk=1- ，即 F(k-0)= 。观察分布函数
20、可知 k 的取值范围是1，3。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 【正确答案】 记事件 Bj=“第 j 次抽到的报名表是女生表”(j=1，2)，A i=“报名表是第 i 个地区的”(i=1 ，2，3)。易见，A 1，A 2，A 3 构成一个完备事件组，且 P(Ai)=(i=1，2，3)，P(B 1A 1)= ，P(B 1A 2)= ，P(B 1A 3)= ()应用全概率公式，知 p=P(B1)= P(Ai).P(B1A i)= ()q=P(B 1再次用全概率公式：由“抽签原理”可知22 【正确答案】 ()Y 的分布函数 FY(y)=PYy=PYy，X=1+PYy，X=2=P
21、YyX=1PX=1+PYyX=2PX=2= PYyX=1+PayYX=2，因为 y(X=i)U(0 ，i)，i=1，2，故作如下分析：当 y0 时，F T(y)=0；当0y1 时，F Y(y)= ；当 1y2 时，F Y(y)=；当 y2时，F Y(y)=1。所以 Y 的分布函数为()由() 的结果得 Y 的概率密度函数为故23 【正确答案】 设 X 的分布参数为 。由于 E(X)= =5，故 = 。显然Y=minX，2。对于 y0，F(y)=0 ；对于 y2，F(y)=1。设 0y2，有 F(y)=PYyy =Pmin(X，2y =PXy =1- 。于是，Y 的分布函数为24 【正确答案】
22、易知，当 x1 时，F(x)=0 ；当 x8 时，F(x)=1 。对于 x1，8，有 设 G(y)是随机变量 Y=F(X)的分布函数。显然，当y0时，G(y)=0 ；当 y1时，G(y)=1。对于 y(0，1)，有 G(y)=PYy=PF(X)y= -1y=PX(y+1)3 =F(y+1)3=y。因此，Y=F(X)的分布函数为25 【正确答案】 () 区域 D 的面积 S=01 ，则(X ，Y)的概率密度为 ()PU=0)=PXY= 01dxx2x3dy= ，PU=1=1-PU=0= ，PU=0 ，X =PXY，X 因为 PU=0，X PU=0).PX ，所以 U 与 X 不独立。() 由全概
23、率公式可得 F(z)=PZz=PX+Uz =PX+Uz，XY+PX+Uz，XY =PXz-1，XY+PXz，XY。 当 0z1 时，F(z)=PX2，X Y= 0zdxx2x3dy= z2-23；当1z2 时， F(z)=PXz-1，XY+PXz，XY所以26 【正确答案】 () 由题知 U 和 V 均服从 0-1 分布，PU=0=PXY，PU=1=PXY，PV=0=PX2Y，PV=1=PX2Y。二维随机变量(X ，Y)在矩形G=(x，y) 0x2 ，0y1上服从均匀分布(根据二维均匀分布的性质，各部分所占的概率是其面积与总面积之比)。所以，如图所示。PXY=SD1S 总 = PX2Y=S D
24、3S总 = PYX2Y=1-PXY)-PX 2Y= (U，V)有四个可能值：(0，0) ，(0 ，1) ，(1，0)，(1，1)。 PU=0，V=0=PXY ，X2Y=PXY= PU=0，V=1=PXY，X2Y)= =0，PU=1，V=0)=PXY，X2Y=PYX2Y= PU=1，V=1)=PXY ，X 2Y)=PX2Y=因此可得 U 和 V 的联合分布为 ()由第()问可得 U 和 V 的分布律分别为PUV=0=PU=0，V=0+PU=1，V=0)+PU=0，V=1因此可得 UV 的分布律为所以 D(U)=E(U2)-EE(U)2= D(V=E(V2)-E(V)2= 故27 【正确答案】 (
25、) 随机变量(X，Y) 有四个可能值： (-1，-1) ，(-1，1)，(1，-1)，(1，1)。PX=-1 ，Y=-1=PU-1，U1= PX=-1，Y=1=PU-1，U1=0，PX=1 ， Y=-1：PU-1，U1= PX=1， Y=1-PU-1，U 1= 于是，得 X 和 Y 的联合概率分布为()X+Y 和(X+Y) 2 的概率分布相应为 由此可见 E(X+Y)= =0：E(X+Y)2=0+2=2；D(X+Y)=E(X+Y) 2-E(X+Y)2=2。28 【正确答案】 () 由于 P(AB)=P(A)P(BA)= ，所以，PX=1，Y=1=P(AB)= PX=1，Y=0= PX=0，Y=
26、1=PX=0，Y=0=故(X，Y) 的概率分布为 ()X，Y 的概率分布分别为()Z 的可能取值为：0， 1，2。PZ=0=PX=0 ，Y=0= PZ=1=PX=1，Y=0+PX=0，Y=1= PZ=2=PX=1，Y=1= 则 Z 的概率分布为：29 【正确答案】 04；01【试题解析】 由题设，知 a+b=05。又事件X=0与X+Y=1相互独立，于是有PX=0，X+Y=1=PX=0PX+Y=1，即 a=(04+a)(a+b)，由此可解得 a=04，b=0 1。30 【正确答案】 () 在没有取白球的情况下取了一次红球，利用压缩样本空间则相当于只有 1 个红球，2 个黑球，有放回摸两次，其中摸
27、了一个红球的概率P=X=1Z=0=(C 212)(C 31C31)= 。( )X，Y 取值范围为 0，1，2，故P=X=0，Y=0=(C 31.C31)(C 61.C61)= ，P=X=1，Y=0=(C 21.C31)(C 61.C61)= P=X=2，Y=0=1(C 61.C62)= ，P=X=0，Y=1=(C 21.C21.C31)(C 61.C61)= P=X=1，Y=1=(C 21.C21)(C 61.C61)= ，P=X=2，Y=1=0，P=X=0，Y=2=(C21.C21)(C 61.C61)= P=X=1，Y=2=0，P=X=2，Y=2=0。因此可得(X ，Y)的概率分布如下表：
28、31 【正确答案】 ()X 的所有可能取值为 0，1， Y 的所有可能取值为0，1，2。PX=0 ，Y=0=C 62C 62= (取到的两个球都是黑球)；PX=0，Y=1=C 21C31C 62= (取到的一个是白球，一个是黑球)；PX=0，Y=2=C 22C 62= (取到的两个都是白球)；PX=1，Y=0=C 11C31C 62=(取到的一个是红球，一个是黑球)；PX=1，Y=1=C 11C21C 62= (取到的一个是红球，一个是白球)；PX=1，Y=2=0C 62=0。因此可得(X，Y) 的联合分布律为 ()根据协方差公式Cov(X，Y)=E(XY)-E(X)E(Y) ，Cov(X，
29、Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=32 【正确答案】 () 由于 P(X2=Y2)=1，因此 P(X2Y2)=0。故 P(X=0，Y=1)=0，因此，P(X=1， Y=1)=P(X=1，Y=1)+P(X=0，Y=1)=P(Y-1)= 再由 P(X=1，Y=0)0 可知P(X=0，Y=0)=P(X=1，Y=0)+P(X=0，Y=0)=P(Y=0)= 同样，由 P(X=0，Y=-1)=0可知 P(X=1， Y=-1)=P(X=1，Y=-1)+P(X=0，Y=-1)=P(Y=-1)= 这样，可以写出(X， Y)的联合分布如下：()Z=XY 可能的取值有-1，0，1，其中 P(Z=-1)=P(X=1，Y=-1)= P(Z=1)=P(X=1，Y=1)= 则有 P(Z=0)=因此，Z=XY 的分布律为E(XY)=(-1) =0，Cov(X，Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0，
