1、考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 18 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 X1，X 2，X n(n1)是来自总体 N(0，1)的简单随机样本，记则2 设 X1，X 2，X 8 是来自总体 N(2，1)的简单随机样本，则统计量服从 ( )（A） 2(2)（B） 2(3)（C） t(2)（D）t(3)3 设 X1，X 2，X n 是来自总体 XN(0，1)的简单随机样本，则统计量服从 ( )（A）y 2(n1)（B） yt(n1)（C） YF(n，1)（D）YF(1，n1)4 设随机变量 XF(n，n)，记 p1=PX1，p 2=PX1 ，则
2、( )（A）p 1p 2（B） p1p 2（C） p1=p2（D）p 1，p 2 大小无法比较5 设 X1，X 2，X 8 和 Y1，Y 2，Y 10 分别是来自正态总体 N(1，4)和N(2，5)的简单随机样本，且相互独立，S 12，S 22 分别为这两个样本的方差，则服从 F(7，9)分布的统计量是 ( )6 设总体 XN(a， 2)，YN(b， 2)相互独立分别从 X 和 Y 中各抽取容量为 9和 10 的简单随机样本，记它们的方差为 SX2 和 SY2，并记，则这四个统计量 SX2，S Y2，S 122，S XY2 中，方差最小者是 ( )（A）S X2（B） SY2（C） S122（
3、D）S XY27 设 x1，x 2，x n 是来自总体 XN(， 2)(， 2 都未知)的简单随机样本的观察值，则 2 的最大似然估计值为 ( )8 设总体 XP()( 为未知参数)，X 1，X 2，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，其均值与方差分别为 与 S2，则为使 +(23a)S 2 是 的无偏估计量，常数 a应为 ( )（A）1（B） 0（C）（D）1二、填空题9 设总体 X 和 Y 相互独立，且分别服从正态分布 N(0，4)和 N(0，7)，X 1 ，X 2 ，X 8 和 Y1 ，Y 2 ，Y 14 分别来自总体 X 和 Y 的简单随机样本，则统计量的数学期望和方差分别为_10
4、 设 X1，X 2，X n 是来自总体 N(0， 2)的简单随机样本，记 U=X1+X2 与V=X2+X3，则(U，V)的概率密度为_11 设 X1，X 2 是来自总体 N(0， 2)的简单随机样本，则查表得概率等于_12 设总体 X 的概率密度为X1，X 2，X n 是来自 X 的样本，则未知参数 的最大似然估计值为_13 设 X1，X 2，X 3，X 4 是来自正态总体 XN(， 2)的样本，则统计量服从的分布是_14 设总体 XN(a，2)，Y N(b，2)，且独立，由分别来自总体 X 和 Y 的容量分别为 m 和 n 的简单随机样本得样本方差 SX2 和 SY2，则统计量 T=服从的分
5、布是_15 设总体 X 的密度函数为 其中 0 为未知函数，又设 x1，x 2，x n 是 X 的一组样本值，则参数 的最大似然估计值为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 设 X1，X 2，X n 为一列独立同分布的随机变量，随机变量 N 只取正整数且 N与X n独立，求证：17 假设你是参加某卫视“相亲节目” 的男嘉宾，现有 n 位女嘉宾在你面前自左到右排在一条直线上，每两位相邻的女嘉宾的距离为 a(米)假设每位女嘉宾举手时你必须和她去握手，每位女嘉宾举手的概率均为 ，且相互独立，若 Z 表示你和一位女嘉宾握手后到另一位举手的女嘉宾处所走的路程，求 EZ18 对于任意二
6、事件 A1，A 2，考虑二随机变量试证明：随机变量 X1 和 X2 独立的充分必要条件是事件 A1 和 A2 相互独立19 假设有四张同样卡片，其中三张上分别只印有 a1，a 2，a 3，而另一张上同时印有a1，a 2，a 3现在随意抽取一张卡片，令 Ak=卡片上印有 ak证明：事件A1，A 2，A 3 两两独立但不相互独立20 某商品一周的需求量 X 是随机变量，已知其概率密度为 假设各周的需求量相互独立，以 Uk 表示 k 周的总需求量，试求： (1)U2 和 U3 的概率密度 fk(x)(k=2，3)；(2)接连三周中的周最大需求量的概率密度 f(3)(x)21 设 X 和 Y 相互独立
7、都服从 01 分布：PX=1=P(Y=1)=06，试证明：U=X+Y，V=XY 不相关，但是不独立22 假设 G=(x，y)x 2+y2r2是以原点为圆心，半径为 r 的圆形区域，而随机变量 X 和 Y 的联合分布是在圆 G 上的均匀分布试确定随机变量 X 和 Y 的独立性和相关性23 假设某季节性商品，适时地售出 1 千克可以获利 s 元，季后销售每千克净亏损t 元假设一家商店在季节内该商品的销售量 X(千克)是一随机变量，并且在区间(a， b)内均匀分布问季初应安排多少这种商品，可以使期望销售利润最大?24 独立地重复进行某项试验，直到成功为止，每次试验成功的概率为 p假设前5 次试验每次
8、的试验费用为 10 元，从第 6 次起每次的试验费用为 5 元试求这项试验的总费用的期望值 a25 利用列维一林德伯格定理，证明：棣莫弗拉普拉斯定理26 某保险公司接受了 10 000 辆电动自行车的保险，每辆车每年的保费为 12元若车丢失，则赔偿车主 1 000 元假设车的丢失率为 0006，对于此项业务，试利用中心极限定理，求保险公司：(1)亏损的概率 ；(2)一年获利润不少于 40 000 元的概率 ；(3)一年获利润不少于 60 000 元的概率 27 将 n 个观测数据相加时，首先对小数部分按“四舍五入” 舍去小数位后化为整数。试利用中心极限定理估计：(1)试当 n=1 500 时求
9、舍位误差之和的绝对值大于 15 的概率；(2)估计数据个数 n 满足何条件时，以不小于 90的概率，使舍位误差之和的绝对值小于 10 的数据个数 n28 设 X 是任一非负(离散型或连续型)随机变量，已知 的数学期望存在，而0 是任意实数，证明：不等式29 设事件 A 出现的概率为 p=05，试利用切比雪夫不等式，估计在 1 000 次独立重复试验中事件 A 出现的次数在 450 到 550 次之间的概率 30 设来自总体 X 的简单随机样本 X1，X 2，X n，总体 X 的概率分布为其中 01分别以 v1，v 2 表示 X1，X 2，X n中 1，2 出现的次数，试求(1)未知参数 的最大
10、似然估计量；(2)未知参数 的矩估计量；(3)当样本值为 1，1，2，1，3，2 时的最大似然估计值和矩估计值31 假设一批产品的不合格品数与合格品数之比为 R(未知常数)现在按还原抽样方式随意抽取的 n 件中发现 k 件不合格品试求 R 的最大似然估计值考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 18 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 ，Q 2 2(n)因此本题选(C)【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 C【试题解析】 T= N(0，1)，且它们相互独立，所以所以由 T 与 X 相互独立得，因此本题选(C)【知识
11、模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 B【试题解析】 由总体 XN(0，1)知 X1N(0 ，1)， 2(n1)，且它们相互独立，所以 因此本题选(B)【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 C【试题解析】 由 XF(n，n)知 Y= F(n，n)，所以 p1=Px1=P 1=PY1)=PX1)=p2因此本题选(C)【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 D【试题解析】 由 F(7，9)因此本题选(D)【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 D【试题解析】 所以，方差最小者为 SXY2因此本题选(D) 【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 B【试题解析】
12、在 未知时， 2 的最大似然估计值为 因此本题选(B)【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 C【试题解析】 要使 是 的无偏估计量，应有 E =，即 aE +(23a)E(S 2)= 由于 E =EX=，E(S 2)=DX=，将它们代入得 a+(23a)=，即 a= 因此本题选(C) 【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 由 于是【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 f(u，v)=【试题解析】 由(X 1，X 2，X 3)服从三维正态分布知，X 1，X 2，X 3 的线性函数组成的二维随机变量(U，V) 也服从二维正态分布，记为 N(1，
13、 2， 12， 22，)，其中1=EU=E(X1+X2)=EX1+EX2=0， 12=DU=D(X1+X2)=DX1+DX2=22， 2=EV=E(X2X 3)=EX2EX 3=0， 22=DV=D(X2X 3)=DX2+DX3=22，= 所以(U ，V)的概率密度为【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 09【试题解析】 (X 1，X 2)服从二维正态分布，所以(X 1+X2，X 1X 2)也服从二维正态分布，并且由 X1+X2N(0，2 2)，X 1X 2N(0，2 2)知 Cov(X1+X2，X 1X 2)=D(X1)D(X 2)=0，即 X1+X2 与 X1X 2 相互独立此
14、外，所以，Z= F(1，1)于是，【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 【试题解析】 似然函数为解似然方程得 的极大似然估计值为【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 t(2)【试题解析】 因为 XN(， 2)，所以 X3X 4N(0 ，2 2)， N(0 ，1)，又 N(0，1)(i=1 ， 2)，故 2(2)，所以【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 2(m+n 2)【试题解析】 因为T= =T1+T2，由题设条件知，T1 和 T2 分别服从自由度为 m1 和 n1 的 2 分布且相互独立，所以 T 服从自由度为(m1)+(n1)=m+n2 的 2 分布【
15、知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 【试题解析】 似然函数为 L(x1，x 2，x n；)= (0x i1，0，i=1，2，n)，取对数得 lnL(x1，x 2，x n；)=(0x i1，0，i=1，2，n)，令【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 设按从左到右的顺序将女嘉宾编号为 1，2，nX 为“ 已经握手的女嘉宾的编号” ，Y 表示“ 将要去握手的女嘉宾的编号” ，则 PX=i= ，PY=j= ，i，j=1，2，nPX=i， Y=j=PX=iP Y=j= ，Z= i
16、ja于是【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 记 Pi=P(Ai)(i=1，2)，p 12=P(A1A2)，而 是 X1 和 X2 的相关系数易见，随机变量 X1 和 X2 都服从 0-1 分布，并且 PX i=1=P(A i)，PX i=0=P( )，P X 1=1，X 2=1=P(A 1A2)(1) 必要性设随机变量 X1 和 X2 独立，则P(A1A2)=PX1=1，X 2=1=PX 1=1P(X 2=1)=P(A1)P(A2)从而，事件 A1 和 A2 相互独立(2)充分性设事件 A1 和 A2 相互独立，则 和 A2，A 1 和 也都独立，故 PX1=0，X 2=0= =
17、PX 1=0P X 20，PX 1=0，X 2=1= =PX 1=0PX 2=1，PX 1=1，X 2=0= =PX 1=1PX 2=0， PX 1=1，X 2=1=P(A1A2)=P(A1)P(A2)=PX 1=1PX 2=1从而，随机变量 X1和 X2 相互独立【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 P(A k)= (k=1，2，3)，P(A kAj)= (k，j=1，2，3；kj) ，P(A 1A2A3)= 由于对任意 k，j=1 ，2，3 且 kj，有 P(AkAj)= =P(Ak)P(Aj)，可见事件 A1，A 2，A 3 两两独立但是，由于 P(A1A2A3)= =P(A
18、1)P(A2)P(A3)，可见事件 A1，A 2，A 3 不相互独立【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 以 Xi(i=1，2，3)表示“第 i 周的需求量”，则 Xi 的概率密度均为而 U2=X1+X2，U 3=U2+X3三周中周最大需求量为 X(3)=maxX 1，X 2，X 3(1)当 x0 时，显然 f2(x)=f3(x)=0；对于 x0，有 f2(x)= f(t)f(xt)dt=e x 0xt(xt)dt= x3ex ；f 3(x)= f2(t)f(xt)dt= ex 0xt3(xt)dt= 于是，两周和三周的总需求量 U2 和 U3 的概率密度(2)设 F(x)是随机变
19、量 X 的分布函数由题意知连续三周中的周最大需求量 X(3)的分布函数为 G(x)=F(x)3于是，有【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 (1)由协方差的定义和性质，以及 X 和 Y 相互独立，可见 Cov(U，V)=E(UV)EUEV=E(X 2Y 2)E(X+Y)E(XY)=E(X 2)E(Y 2)=0 于是，U=X+Y，V=XY 不相关 (2)现在证明 U=X+Y，V=XY 不独立事实上，由 PU=0=PX=0，Y=0=PX=0)PY=0=016， PV=0=PX=0，Y=0+PX=1，Y=1 =P(X=0PY=0+PX=1PY=1=052， PU=0，V=0=PX=0，Y
20、=0=PX=0PY=0 =016016052=PU=0PV=0 ， 可见 U和 V 不独立【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 (1)X 和 Y 的联合密度为 那么，X 的密度函数 f1(x)和 y 的密度函数 f2(y)相应为由于f(x，y)f 1(x)f2(y)，可见随机变量 X 和 Y 不独立 (2)证明 X 和 Y 不相关，即 X 和Y 的相关系数 =0EX= xf1(x)dx= =0 因此，有Cov(X，Y)=E(XY)= xyf(x，y)dxdy= xyfdxdy=0于是，X 和 Y的相关系数 =0这样，X 和 Y 虽然不相关，但是不独立【知识模块】 概率论与数理统计2
21、3 【正确答案】 根据条件随机变量 X 的概率密度为 以Y=P(h)表示“ 销售利润”，它与季初应安排商品的数量 h 有关由条件知为求使期望利润最大的 h，我们计算销售利润Y=P(h)的数学期望为此，首先注意到：a hb，销售利润 Y=P(h)的数学期望为EY=EP(h)=ahsx(h x)tf(x)dx+ hbshf(x)dx=ah(s+t)xhtf(x)dx+sh hbf(x)dx=(s+t)ahxf(x)dxht ahf(x)dx+sh1 ahf(x)dx=(s+t)ahxf(x)dxh ahf(x)dx+sh对 h 求导并令其等于 0，得 =(s+t)hf(h)hf(h) ahf(x)
22、dx+s=(s+t) ahf(x)dx+s=0， ahf(x)dx=于是，季初安排 h0 千克商品，可以使期望销售利润最大【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 以 X 表示“试验的总次数” ，首先求 X 的概率分布设 Ak=第 k次试验成功(k=1，2，)，则 P(Ak)=p，X 的概率分布为 PX=n=P( An)=pqn1 (n=1，2，)，其中 q=1p于是试验的总次数 X 服从参数为 p 的几何分布现在求试验的总费用的期望值 a由条件知，试验的总费用为该项试验的总费用 Y 是一随机变量，其期望值为例如，设p=08 ，q=02，得 a=12498 元；设 p=q=05 ，得
23、a=19687 5 元；设p=02 ，q=08，得 a=41808 元；设 p=01，q=0 9，得 a=70475 5 元【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 设随机变量 X1，X 2，X n 相互独立，同服从 0-1 分布； EXi=p，DX i=pq (i=1，2， ，n)， S n=X1+X2+Xn，ES n=np，DS n=npq， 其中q=1p X 1，X 2，X n 满足列维一林德伯格定理的条件：X 1，X 2，X n 独立同分布且数学期望和方差存在，当 n 充分大时近 m 似地 S nN(np ，npq) 【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 设 X 为
24、“需要赔偿的车主人数” ，则需要赔偿的金额为Y=01X(万元)；保费总收入 C=12 万元易见，随机变量 X 服从参数为 72，p 的二项分布，其中 n=10 000，p=0 006；EX=np=60，DX=np(1p)=5964由棣莫弗-拉普拉斯定理知，随机变量 X 近似服从正态分布 N(60，5964)，随机变量 Y近似服从正态分布 N(6，0596 4)(1) 保险公司亏损的概率 =PY 12=1(777)0(2)保险公司一年获利润不少于 4 万元的概率 =P12Y4=P Y8= (259)=0995 2(3)保险公司一年获利润不少于 6万元的概率 =P12Y6=PY6= (0)=05【
25、知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 设 Xi 是“ 第 i 个数据的舍位误差”，由条件可以认为 Xi 独立且都在区间 05，05 上服从均匀分布，从而 EXi=0，DX i=112记Sn=X1+X2+Xn 为 n 个数据的舍位误差之和，则 ESn=0，DS n=n12根据列维-林德伯格中心极限定理，当 n 充分大时 Sn 近似服从 N(0，n12)记 (x)为N(0，1)的分布函数 (1)由于 近似服从标准正态分布，且 n=1500，可见PS 150015)= 1(134)2=0180 2(2)数据个数 n 满足条件：PS n10= =090由于近似服从 N(0，1) ，可见 于是
26、，当 n721时，才能使误差之和的绝对值小于 10 的概率不小于 90【知识模块】 概率论与数理统计28 【正确答案】 (1)设 X 是离散型随机变量，其一切可能值为 xi，则(2)设 X 是连续型随机变量，其概率密度为 f(x)，则【知识模块】 概率论与数理统计29 【正确答案】 设 vn 是“1000 次独立重复试验中事件 A 出现的次数”，则 vnB(1 000，05) ，EX=10000 5=500，DX=100005 2=250利用切比雪夫不等式，知 =P450v n550=Pv n500501 =09【知识模块】 概率论与数理统计30 【正确答案】 (1)求参数 的最大似然估计量样
27、本 X1，X 2，X 3 中 1，2 和3 出现的次数分别为 v1，v 2 和 nv 1v 2，则似然函数和似然方程为 L()=lnL()= +(2v1+v2)ln+(2n2v 1v 2)ln(1)， =0似然方程的唯一解就是参数 的最大似然估计量 (2)求参数 的矩估计量总体 X 的数学期望为 EX=2+4(1)+3(1) 2在上式中用样本均值 估计数学期望 EX，可得 的矩估计量 (3)对于样本值 1，1，2，1，3，2，由上面得到的一般公式，可得最大似然估计值 矩估计值【知识模块】 概率论与数理统计31 【正确答案】 设 a 是这批产品中不合格品的件数，b 是合格品的件数从而，a=Rb，合格品率为 p= 设 X 是“随意抽取的一件产品中不合格品的件数” ，则 X 服从参数为 p 的 0-1 分布对于来自总体 X 的简单随机样本X1，X 2，X n，记 vn=X1+X2+Xn，则似然函数和似然方程为 L(R)=1nL(R)=vnlnRnln(1+R)，=0由条件知 vn=X1+X2+Xn=k，于是似然方程的唯一解即是 R 的最大似然估计值【知识模块】 概率论与数理统计
