1、考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 2 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 下列事件中与 A 互不相容的事件是( )2 设随机事件 A 与 B 为对立事件，0P(A)1，则一定有( )（A）0P(A B)1 （B） 0P(B)1（C） 0P(AB) 1（D）3 在最简单的全概率公式 P(B)=P(A)P(B|A)+ 要求事件 A 与 B 必须满足的条件是( )（A）0P(A)1，B 为任意随机事件（B） A 与 B 为互不相容事件（C） A 与 B 为对立事件（D）A 与 B 为相互独立事件4 在全概率公式 P(B)= 中，除了要求条件 B 是任意
2、随机事件及P(Ai)0(i=1，2，n)之外，我们可以将其他条件改为 ( )（A）A 1，A 2，A n 两两独立，但不相互独立（B） A1，A 2，A n 相互独立（C） A1，A 2，A n 两两互不相容（D）A 1，A 2，A n 两两互不相容，其和包含事件 B，即5 同时抛掷三枚匀称的硬币，正面和反面都出现的概率为( )6 将一枚匀称的硬币独立地掷三次，记事件 A=“正、反面都出现”；B=“正面最多出现一次”； C=“反面最多出现一次 ”，则下列结论中不正确的是( )（A）A 与 B 独立（B） B 与 C 独立（C） A 与 C 独立（D）B C 与 A 独立7 设当事件 A 与 B
3、 同时发生时，事件 C 必发生，则( )（A）P(C)P(A)+P(B)一 1（B） P(C)P(A)+P(B)一 1（C） P(C)=P(AB)（D）P(C)=P(A B)8 设 A，B 为随机事件，P(A)0，则 P(B | A)=1 不等价于( )（A）P(AB)=0 （B） P(BA)=0（C） P(AB)=P(A)（D）P(A B)=P(B)9 设 A、B、C 为事件，P(ABC)0，则 P(AB|C)=P(A|C)P(B|C)的充要条件是( )（A）P(A|C)=P(A) （B） P(B|C)=P(B)（C） P(AB|C)=P(AB)（D）P(B|AC)=P(B|C)10 设 0
4、P(A)1，0P(B)1，P(A|B)+ =1，则事件 A 和 B( )（A）互不相容（B）相容（C）不独立（D）独立11 袋中有 5 个球，其中白球 2 个，黑球 3 个，甲、乙两人依次从袋中各取一球，记 A=“甲取到白球 ”，B=“ 乙取到白球” 若取后放回，此时记 p1=P(A)，p 2=P(B)；若取后不放回，此时记 p3=P(A)，p 4=P(B) 则 ( )（A）p 1p2p3p4（B） p1=p2p3p4（C） p1=p2=p3p4（D）p 1=p2=p3=p412 已知 0P(B)1，且 P(A1+A2)|B=P(A1|B)+P(A2|B)，则下列选项成立的是( )（A）（B）
5、 P(A1B+A2B)=P(A1B)+P(A2B)（C） P(A1+A2)=P(A1|B)+P(A2|B)（D）P(B)=P(A 1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)13 连续抛掷一枚硬币，第 k 次(kn)正面向上在第 n 次抛掷时出现的概率为( )14 设 A、B 为任意两个事件，且 ，P(B)0，则下列选项必然成立的是( )（A）P(A)P(A|B)（B） P(A)P(A|B)（C） P(A)P(A|B)（D）P(A)P(A|B)15 设 A、B 是两个随机事件，且P(A)1，P(B)0，P(B|A)= ，则必有( )（A）P(A | B)=（B） P(A | B)（C） P(A
6、B)=P(A)P(B)（D）P(AB)P(A)P(B) 16 设 A、B、C 是三个相互独立的随机事件，且 0P(C) 1，则在下列给定的四对事件中不相互独立的是( )17 在电炉上安装了 4 个温控器，其显示温度的误差是随机的在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度 t0，电炉就断电以 E 表示事件“电炉断电”，而 T1T2T3T4 为四个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件E=( )（A）T 1t0（B） T2t0（C） T3t0（D）T 4t018 设 A、B、C 三个事件两两独立，则 A、B、C 相互独立的充分必要条件是( )（A）A 与 BC 独立（B） AB 与
7、 AC 独立（C） AB 与 AC 独立（D）AB 与 AC 独立19 对于任意两事件 A 和 B，与 A B=B 不等价的是( )20 将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A 1=掷第一次出现正面，A 2=掷第二次出现正面 ， A3=正反面各出现一次，A 4=正面出现两次 ，则事件( )（A）A 1，A 2，A 3 相互独立（B） A2，A 3，A 4 相互独立（C） A1，A 2，A 3 两两独立（D）A 2，A 3，A 4 两两独立21 对于任意两事件 A 和 B( )（A）若 AB，则 A，B 一定独立（B）若 AB，则 A，B 有可能独立（C）若 AB=，则 A，B 一定独立（D）若
8、AB=，则 A，B 一定不独立22 某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为 p(0p1)，则此人第 4 次射击恰好第 2 次命中目标的概率为( )（A）3p(1 一 p)2（B） 6p(1 一 p)2（C） 3p2(1 一 p)2（D）6p 2(1 一 p)223 设事件 A 与事件 B 互不相容，则( )（A）（B） P(AB)=P(A)P(B)（C） P(A)=1 一 P(B)（D）二、填空题24 设工厂 A 和工厂 B 的产品的次品率分别为 1和 2，现从由 A 和 B 的产品分别占 60和 40的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品属 A 生产的概率是_25 袋中
9、有 50 个乒乓球，其中 20 个是黄球，30 个是白球，今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是_。26 设两两相互独立的三事件 A，B 和 C 满足条件：ABC= ，P(A)=P(B)=P(C)且已知 P(A B C)= ，则 P(A)=_27 设两个相互独立的事件 A 和 B 都不发生的概率为 A 发生 B 不发生的概率与 B发生 A 不发生的概率相等，则 P(A)=_28 在区间(0 ，1) 中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于 的概率为_29 设 10 件产品有 4 件不合格品，从中任取两件，已知所取的两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不
10、合格品的概率为_30 已知 X，Y 为随机变量且 PX0，Y0= ，PX0=PY0= 设A=max(X，Y)0，B=max(X，Y) 0，min(X，Y) 0 ，C=max(X，Y)0，min(X，Y)0 ，则 P(A)=_，P(B)=_，P(C)=_ 31 假设盒内有 10 件产品，其正品数为 0，1，10 个是等可能的，今向盒内放入一件正品，然后从盒内随机取出一个产品发现它是正品，则原来盒内有 7 个正品的概率 =_32 统计资料表明，男性患色盲的概率为 5，现有一批男士做体检则事件“发现首例患色盲的男士已检查了 30 名男士”的概率 为_33 口袋中有 n 个球，从中取出一个再放入一个白
11、球，如此交换进行 n 次，已知袋中自球数的期望值为 a，那么第 n+1 次从袋中取出一个白球的概率为_34 已知随机变量 X 服从参数为 的指数分布，则概率=_35 如果用 X，Y 分别表示将一枚硬币连掷 8 次正反面出现的次数，则 t 的一元二次方程 t2+Xt+Y=0 有重根的概率是 _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。36 已知 P(A)=05，P(B)=07，则(I)在怎样的条件下，P(AB)取得最大值? 最大值是多少?()在怎样的条件下， P(AB)取得最小值?最小值是多少?37 袋中有 a 个白球与 b 个黑球每次从袋中任取一个球，取出的球不再放回去，求第二次取出的
12、球与第一次取出的球颜色相同的概率38 证明：如果 P(A|B)= 则事件 A 与 B 是独立的考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 2 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 由于 不可能事件 与任何一个事件 A 都相互不相容，即 A=，而综上分析，选项 D 正确【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 B【试题解析】 因 A、B 为对立事件，即 A B=，AB=， 所以P(AB)=0， =0，且 P(A)+P(B)=P(AB)=1因此选项 A、C 、D 均不成立，故选 B【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】
13、A【试题解析】 故选项A 正确【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 D【试题解析】 如果 A1，A 2，A n 两两互不相容，则 A1B，A 2B，A nB 亦两两互不相容，且因 故 应用加法与乘法两个公式可得出全概率公式，即 应选D【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 D【试题解析】 设 Bk 表示三枚硬币中出现正面硬币个数，k=0，1，2，3，P(A)为所求概率，根据题意应选 D【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 B【试题解析】 试验的样本空间有 8 个样本点，即 =(正，正，正)，(正，反，反)，(反，反，反)显然 B 与 C 为对立事件，且依古典型概率公
14、式有P(BC)=P()=0，P(BC)=P()=1由于 P(A)P(B)= 即 P(AB)=P(A)P(B)因此 A与 B 独立，类似地 A 与 C 也独立，又因必然事件与任何事件都独立，因此 BC与 A 也独立，用排除法应选 B【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 B【试题解析】 由题设条件可知 ，于是根据概率的性质、加法公式，有P(C)P(AB)=P(A)+P(B)一 P(A B)P(A)+P(B)一 1 故 B 正确【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 B【试题解析】 ，然而 P(B 一 A)=P(B)一 P(AB)，所以选项 B 正确容易验证其余三个选项与已知条件是
15、等价的，事实上，【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 D【试题解析】 P(AB|C)=P(A|C)P(B|C)，指在 C 发生的条件下，A 与 B 独立，所以“在 C 发生的条件下，A 发生与否不影响 B 发生的概率”，即 P(B | AC)=P(B|C)，故选 D选项 A、B、C 分别是 A 与 C、B 与 C、AB 与 C 独立的充要条件【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 D【试题解析】 根据 得由上式解得 P(AB)=P(A)P(B)故选项 D 正确【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 D【试题解析】 依据取球方式知 p1=p2=p3，又因为“抽签结果
16、与先后顺序无关”，得p3=p4，所以正确答案是 D【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 B【试题解析】 将题设条件两边乘以 P(B)，得 P(A 1+A2)|BP(B)=P(A1|B)P(B)+P(A2|B)P(B);P(A1+A2)B=P(A1B)+ P(A2B) P(A1B+A2B)=P(A1B)+P(A2B)， 由乘法公式可知，上式即为选项 B，故选项 B 正确【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 D【试题解析】 依据题意，总共抛掷 n 次，其中有 k 次出现正面，余下的为 n 一 k 次反面第 n 次必是正面向上，前 n 一 1 次中有 n 一 k 次反面，k
17、一 1 次正面(如上图所示)根据伯努利公式，所以概率为【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 B【试题解析】 由于 可得 A=AB，于是 P(A)=P(AB)=P(B)P(A|B)P(A|B)故选项 B 正确【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 C【试题解析】 由 P(B|A)= 可得 化简整理上式可得 P(AB)=P(A)P(B) 即 A，B 相互独立，故选项 C 正确【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查多个随机事件间的独立性的关系由 A、B 、C 相互独立可知，事件 A、B 的和、差、积(或其逆)与事件 C 或 C 必相互独立，因
18、此选项A、C、D 均被排除，选项 B 正确【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 C【试题解析】 由于 T1T2T3T4，因此，当有两个温控器显示温度大于等于 t0 时，E 发生，即当T 3t0和T 4t0发生时，E 发生又因为T 3t0发生时，T 4t0必发生，故选 C【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 A【试题解析】 经观察，即可知由选项 A 能够推得所需条件事实上，若 A 与 BC独立，则有P(ABC)=P(A)P(BC)而由题设知 P(BC)=P(B)P(C)从而 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)故选 A【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 D
19、【试题解析】 选项 A、B、C 均与 AB=B 等价，当 AB 时，由 AB=B 不能推得选项 D这表明 AB=B 与 不等价，故选 D【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 C【试题解析】 显然 P(A1)=P(A2)= 且 A1 与 A2 相互独立故选项 C 正确【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 B【试题解析】 由 AB 不能推得 P(Ab)=P(A)P(B)，因此推不出 A、B 一定独立，排除选项 A若 AB，则 P(AB)=0，但 P(A)P(B)是否为零不能确定，因此选项C、D 也不正确，故正确选项为选项 B【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】
20、C【试题解析】 根据题干可知 p=前三次仅有一次击中目标，第 4 次击中目标 =C31p(1 一 p)2p=3p2(1 一 p)2，故正确答案为 C【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 D【试题解析】 由于事件 A，B 互不相容，则 P(AB)=0因为 P(AB)不一定等于 1，A 项错误；B 项：当 P(A)，P(B) 不为 0 时，B 不成立，B 项排除；C 项：只有当 A，B 互为对立事件的时候才成立，C 项排除；故选项 D 正确【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题24 【正确答案】 【试题解析】 设事件 A=抽到的产品为工厂 A 生产的，事件 B=抽到的产品为工厂 B
21、生产的 ，事件 C=抽到的产品是次品，则 P(A)=06，P(B)=04，P(C|A)=0 01，P(C|B)=0 02，根据贝叶斯公式可知【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 【试题解析】 设事件 A=第一个人取出的球是黄色的，事件 B=第一个人取出的球是白色的 ，事件 C=第二个人取出的球是黄色的，则有根据全概率公式可得 P(C)=P(A).P(C|A)+P(B).P(C|B)=【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 【试题解析】 根据加法公式有 P(A B C)=P(A)+P(B)+P(C)一 P(AC)一 P(AB)一 P(BC)+P(ABC)，由题 A，B 和
22、C 两两独立，ABC=，P(A)=P(B)=P(C) 所以有 P(AB)=P(AC)=P(BC)=P 2(A)；P(ABC)=P()=0，从而【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 【试题解析】 由题设，有即 P(A)1 一 P(B)=1 一 P(A)P(B)，可得 P(A)=P(B)【知识模块】 概率论与数理统计28 【正确答案】 【试题解析】 这是一个几何概型，设 x，y 为所取的两个数，则样本空间=(x，y)|0 x，y1 ，记 A=(x，y)|(x ，y) ，|xy| 所以其中 SA，S 分别表示 A 与 的面积【知识模块】 概率论与数理统计29 【正确答案】 【试题解析】
23、设事件 A：所取的两件产品中至少有一件是不合格品事件 B：所取的两件都是不合格品【知识模块】 概率论与数理统计30 【正确答案】 【试题解析】 首先分析事件的关系，用简单事件运算去表示复杂事件，后应用概率性质计算概率由于 A=max(X，Y)0=X，Y 至少有一个大于等于 0=X0Y0，所以 P(A)=PX0+PY0一 PX0，Y0= 又max(X，Y)0 min(X，Y)0 ，则 B=max(X，Y)0，min(X ，Y)0=max(X，Y)0= 从而 P(B)= 根据全集分解式知：A=max(X，Y)0=max(X，Y)0，min(X ，Y)0+max(X，Y)0，min(X，Y)0=C+
24、X0，Y0 ，故【知识模块】 概率论与数理统计31 【正确答案】 【试题解析】 设事件 Ai=“盒内原有 i 件正品”，i=0，1，10；事件 B=“取出的产品是正品”，所以 A0，A 1，A 10 构成一个完备事件组，依题意有所求概率 P(A7|B)可直接应用贝叶斯公式： 或先应用全概率公式求出 P(B)= 再根据条件概率定义计算出 P(A7|B)【知识模块】 概率论与数理统计32 【正确答案】 0785【试题解析】 设事件 X 表示发现首例色盲患者时已检查过的男士数，则 X 服从参数为 005 的几何分布【知识模块】 概率论与数理统计33 【正确答案】 【试题解析】 本题主要考查事件的设定
25、、全概概率，题中有一个完备事件组：n次交换后袋中存有白球数 X(X=1，2，n)，因此是全概概型设 B 为第 n+1 次从袋中取白球，A k(k=1，2，n)表示 n 次交换后袋中的白球数，则 n 次交换后袋中的白球数的期望值为【知识模块】 概率论与数理统计34 【正确答案】 【试题解析】 根据题设知 PX0=1，PX0=0，应用全概率公式得【知识模块】 概率论与数理统计35 【正确答案】 【试题解析】 PX2=4Y=PX2=4(8 一 X)=PX2+4X 一 32=0=P(X+8)(X 一 4)=0=PX=4=【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。3
26、6 【正确答案】 (I)由于 因此 P(AB)P(A)，P(AB)P(B)，即P(AB)minP(A)，P(B) 已知 P(A)=05，P(B)=07，所以 P(AB)minP(A)，P(B)=P(A)=05，P(AB)的最大值是 05，P(AB)=P(A)=05 成立的条件是AB=A，即 ()根据概率运算的加法原理， P(A B)=P(A)+P(B)一 P(AB)=05+07 一 P(AB)=12 一 P(AB)，因此可得 P(AB)=12 一 P(A B) 因为P(A B)1，所以 P(AB)=12 一 P(A B)12 一 1=02，即 P(AB)取得的最小值是 02，故 P(AB)=02 成立的条件是 P(A B)=1，即 AB=【知识模块】 概率论与数理统计37 【正确答案】 设事件 A1 表示第一次取出的是白球，事件 A2 表示第二次取出的也是白球，事件 B1 表示第一次取出的是黑球，事件 B2 表示第二次取出的也是黑球如果两次取出的球颜色相同，则用 A1A2+B1B2 表示 不放回抽取属于条件概率，根据概率运算的加法原理，有【知识模块】 概率论与数理统计38 【正确答案】 利用互逆事件概率和为 1 可证明如果 A 与 B 是独立的，则满足P(A|B)=P(A)因此 P(A|B)=P(A)，所以事件 A 与 B 是独立的【知识模块】 概率论与数理统计
