1、考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 37 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A，B，C 为随机事件， A 发生必导致 B 与 C 最多一个发生，则有2 将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A 1=掷第一次出现正面， A2=掷第二次出现正面，A 3=正、反面各出现一次， A4=正面出现两次，则（A）A 1，A 2，A 3 相互独立 （B） A2，A 3，A 4 相互独立（C） A1，A 2，A 3 两两独立（D）A 2，A 3，A 4 两两独立3 设随机变量 X 的概率密度为 f(x)，则下列函数中一定可以作为概率密度的是（A）f(2x)（B）
2、2f(x)（C） f(一 x)（D）f(x )4 设随机变量 X 服从正态分布，其概率密度函数 f(x)在 x=1 处有驻点，且 f(1)=1，则 X 服从分布（A）N(1 ，1)（B）（C）（D）N(0 ，1)5 设随机变量 X1，X 2，X n 相互独立，S n=X1+X2+Xn，则根据列维-林德伯格中心极限定理，当 n 充分大时 Sn 近似服从正态分布，只要 X1，X 2，X n。（A）有相同期望和方差 （B）服从同一离散型分布（C）服从同一均匀分布（D）服从同一连续型分布6 设 Xn 表示将一枚匀称的硬币随意投掷 n 次其“正面”出现的次数，则7 假设总体 X 的方差 DX 存在，X
3、1，X n 是取自总体 X 的简单随机样本，其样本均值和样本方差分别为 ，S 2，则 EX2 的矩估计量是二、填空题8 重复独立掷两个均匀的骰子，则两个骰子的点数之和为 4 的结果出现在它们点数之和为 7 的结果之前的概率为_9 设随机变量 X 服从正态分布 N(，2 2)，已知 3PX15=2PX 15 ，则X 一 12=_10 已知某零件的横截面是一个圆，对横截面的直径进行测量，其值在区间(1，2)上服从均匀分布，则横截面面积的数学期望为_，方差为_11 设试验成功的概率为 ，现独立重复地试验直到成功两次为止，则所需进行的试验次数的数学期望为_12 设随机变量 X1，X n 相互独立同分布
4、，EX i=，DX i=8(i=1，2，n)，则概率 P 一 4 +4_，其中 13 设(2 ，1，5，2，1，3，1)是来自总体 X 的简单随机样本值，则总体 X 的经验分布函数 Fn(x)=_ 14 设总体 X 的密度函数 f(x)= ，S 2 分别为取自总体 X 容量为 n 的样本的均值和方差，则 ；ES 2=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 某人衣袋中有两枚硬币，一枚是均匀的，另一枚两面部是正面()如果他随机取一枚抛出，结果出现正面，则该枚硬币是均匀的概率为多少；()如果他将这枚硬币又抛一次，又出现正面，则该枚硬币是均匀的概率为多少15 设随机变量 X 的概率密
5、度为 f(x)= ，试求：16 常数 C；17 概率 P x1；18 X 的分布函数19 设某地段在一个月内发生交通事故的次数 X 服从泊松分布，其中重大事故所占比例为 (0 1)，据统计资料，该地段在一个月内发生 8 次交通事故是发生 10次交通事故概率的 25 倍，求该地段在一年内最多有一个月发生重大交通事故的概率(假定各月发生交通事故情况互不影响并设 =005)20 设二维正态随机变量(X，Y)的概率密度为 f(x， y)，已知条件概率密度fX Y(xy)= 试求：(I)常数 A 和B；()f X(x)和 fY(y)；()f(x ，y)21 设随机变量 Yi(i=1，2，3)相互独立，并
6、且服服从参数为 P 的 0-1 分布，令 Xk=求随机变量(X 1，X 2)的联合概率分布22 已知随机变量 X 与 Y 相互独立且都服从参数为 的 0-1 分布，即 PX=0=PX=1 = ，定义随机变量 Z=求 Z 的分布；(X，Z) 的联合分布；并问 X 与 Z 是否独立22 假设随机变量 X 与 Y 相互独立，如果 X 服从标准正态分布，Y 的概率分布为PY=一 1= ，求：23 Z=XY 的概率密度 fZ(z)；24 V=XY的概率密度 fV()24 假设随机变量 X 的密度函数 f(x)=cex (0，一x+) ，Y=X25 求常数 c 及 EX，DX；26 问 X 与 Y 是否相
7、关? 为什么 ?27 问 X 与 Y 是否独立? 为什么 ?28 ()设 X 与 Y 相互独立，且 XN(5 ，15)，Y 2(5)，求概率 PX 一 5；( )设总体 XN(25，6 2)，X 1，X 2， X3，X 4，X 5 是来自 X 的简单随机样本，求概率 P(13 35)(63S 296)考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 37 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 B 与 C 最多有一个发生就是 B 与 C 不可能同时发生，即 BC=，故选(C) 【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 C【试题解析】
8、 试验的样本空间有 4 个样本点，即 =(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反 )，显然 A1 A4，A 2 A4 且 A3 与 A4 互不相容，依古典型概率公式，有 P(A1)=P(A2)=P(A3)= ， P(A 4)= ，P(A 1A2)=P(A1A3)=P(A2A3)= ， P(A 3A4)=0计算可见 P(A1A2)=P(A1)P(A2)， P(A 1A3)=P(A1)P(A3)，P(A 2A3)=P(A2)P(A3)， P(A3A4)=0， P(A1A2A3)=0因此，A 1，A 2，A 3 两两独立但不相互独立，而A2，A 3，A 4 中由于 A3 与 A4 不独立，从而不
9、是两两独立，更不可能相互独立，综上分析，应选(C) 【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 C【试题解析】 根据概率密度的充要条件逐一判断对于(A)： f(2x)dx=1，故(A)不对对于(B)： 2f(x)dx=2 f(x)dx=21，故(B)不对对于(C) ： f(一 x)=f(一 x)0，且 f(x) dx= f(x)dx= f(t)dt= f(t)dt=1，故(C) 满足概率密度的充要条件，选 (C)对于(D)： f(x)dx= 0f(x)dx 0 f(x)dx= 0f(t)dt 0 f(x)dx=20 f(x)dx，由于 20 f(x)dx 不一定等于 1，故不选【知识模块】
10、 概率论与数理统计4 【正确答案】 B【试题解析】 正态分布 N(， 2)的概率密度函数为 f(x)= ，x：由于 f(x)的驻点是 x=，且 f()=，所以X ，故选(B)【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 C【试题解析】 因为列维一林德伯格中心极限定理的条件是，X 1，X 2，X n 独立同分布而且各个随机变量的数学期望和方差存在，显然 4 个选项中只有选项(C)满足此条件：均匀分布的数学期望和方差都存在，选项(A)不成立，因为X1，X 2，X n 有相同期望和方差，但未必有相同的分布，所以不满足列维-林德伯格中心极限定理的条件；而选项(B)和(D)虽然满足同分布，但数学期望和
11、方差未必存在，因此也不满足列维-林德伯格中心极限定理的条件，故选项(B)和(D)一般也不能保证中心极限定理成立【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 C【试题解析】 由于 Xn ，因此根据“二项分布以正态分布为极限分布”定理，有=(x)故选(C) 【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 D【试题解析】 按定义，EX 2 的矩估计量是 ，由于 s2=，所以为 EX2 的矩估计量，选 (D)【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题8 【正确答案】 【试题解析】 设 A 表示“点数之和 4 出现在点数之和 7 之前”；B 表示“第一次试验出现点数之和 4”；C 表示“第一次试验出现点
12、数之和 7”；D 表示“第一次试验没出现点数之和 4 与点数之和 7”，则 B，C，D 构成一个完备事件组，且A=A(B+C+D)，易知，总样本数为 62=36，P(B)= (因 B 中有 3 个样本点：(1，3)，(2，2)，(3，1) ，P(C)= (因 C 中有 6 个样本点)，P(D)= ，且P(AB)=1， P(A C)=0 ， P(A D)=P(A)由全概率公式，得 P(A)=P(B)P(AB)+P(C)P(AC)+P(D)P(A D)=P(B)+P(D)P(A)= ，所以，P(A)= 【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 0.6826【试题解析】 求正态分布随机变量 X
13、 在某一范围内取值的概率，要知道分布参数 与 ，题设中已知 =2，需先求出 ，由于【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 【试题解析】 设横截面的直径为 X，则 X 在区间(1，2)上服从均匀分布，概率密度为 fX(x)= 设横截面的面积为S，则 S= ，根据随机变量的数学期望的性质与方差的计算公式，可得 E(S)=由于D(S)=E(S2)一E(S) 2，而 E(S2)= ，由随机变量函数的数学期望的定义式(44) 可知，随机变量 Z=g(X)=X4 的数学期望为 E(X4)= x4fX(x)dx=12x4dx= ，于是 E(S2)= 故 D(S2)=E(S2)一E(S) 2=【知识
14、模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 【试题解析】 设 X 表示试验成功两次时所进行的试验次数， Y 表示第一次试验成功所进行的试验次数，Z 表示从第一次成功之后到第二次成功所进行的试验次数，则 X=Y+Z，且 Y 与 Z 都服从同一几何分布，其概率分布为 PY=k=PZ=k=(k=1，2，)，从而有 E(Y)=E(Z)= ，于是 E(X)=E(Y+Z)=E(Y)+E(Z)= 【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 【试题解析】 由于 X1，X n 相互独立同分布，因此有 ，应用切比雪夫不等式，有【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 【试题解析】 将各观测值按从小到
15、大的顺序排列，得 1，1，1，2，2，3，5，则经验分布函数为【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 【试题解析】 由于 ，ES 2=DX，由题设有 EX= xf(x)dx=1 1xx dx=0DX=EX 2(EX) 2= x2f(x)dx=1 1x2xdx=2 01x3dx= ，所以 【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 两小题都是求条件概率，因此需用贝叶斯公式，设 B=“取出的硬币是均匀的” ，A i=“第 i 次抛出的结果是正面” ，i=1 ，2，则( )所求概率为P(BA 1)，( )所求概率为 P(BA1A2)(
16、)由贝叶斯公式得 P(BA 1)=()由贝叶斯公式得 P(BA 1A2)=【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 由 1= f(x)dx=2044Cxdx=8C 【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 分布函数 F(x)= xf(t)dt，由于 f(x)是分段函数，该积分在不同的区间上被积函数的表达式各不相同，因此积分要分段进行，要注意的是不管 x 处于哪一个子区间，积分的下限总是“一”，积分 xf(t)dt 由(一，x)的各个子区间上的积分相加而得当 x0 时，F(x)= xf(t)dt= x
17、0dt=0；当 0x2 时，F(x)= xf(t)dt= 00dt+ ；当 x2 时：F(x)= xf(t)dt= 00dt+02 dt+2x0dt=1，因此 F(x)=【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 先确定 X 的分布参数 ，由于 P X=8=2 5PX=10，即=36，=6(负根舍去)我们可以计算出 Y 服从参数为 的泊松分布，即 PY=m = e03 (m=0，1，2，)一个月内无重大交通事故的概率p=PY=0=e03 一年内最多有一个月发生重大交通事故就是一年内至少有 11 个月无重大交通事故，其概率为 PZ=11+Pz=12=C1211e33 (1 一 e03 )+
18、e36 =0142【试题解析】 此题首先应该计算一个月内该地段发生重大交通事故次数 Y 的概率分布，据此可求出概率 p=PY=0，如果用 Z 表示一年内无重大交通事故的月份数，显然各个月是否有重大交通事故互不影响，因此 Z 服从二项分布 B(12，p)【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 ()f(x，y)=f XY (xy) fY(y)=【试题解析】 () 由性质 fXY (xy)dx=1 可以定出常数 A，也可以更简单地把 看成形式()由于，从而将 x，y 的函数分离()由 f(x，y)=f XY (xy)f Y(y)即可求得 f(x，y)【知识模块】 概率论与数理统计21 【正
19、确答案】 易见随机变量(X 1，X 2)是离散型的，它的全部可能取值为(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1) ，现在要计算出取各相应值的概率，注意到事件Y1，Y 2，Y 3 相互独立且服从同参数 P 的 0-1 分布，因此它们的和 Y1+Y2+Y3 Y服从二项分布 B(3，P)，于是 PX1=0，X 2=0=PY1+Y2+Y31，Y 1+Y2+Y32=PY=0+PY=3=q3+P3，(q 1 一 p)PX1=0，X 11 =PY1+Y2+Y31，Y 1+Y2+Y3=2=PY=2=3p2q，PX 1=1，X 2=0=PY1+Y2+Y3=1，Y 1+Y2+Y32=PY=1=3pq2，PX
20、1=1，X 2=1=PY1Y2+Y3=1，Y 1+Y2+Y3=2=P =0由上计算可知(X 1，X 2)的联合概率分布为【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 由于(X，Y)是二维离散随机变量，故由边缘分布及相互独立可求得联合分布；应用解题一般模式，即可求得 Z 及(X，Z)的分布，进而判断 X、Z 是否独立由题设知(X，Y) ，则 Z(X，Z)的分布为 由此可知 Z 服从参数 = 的 0-1 分布；(X，Z)的联合概率分布为因 PX=i，Z=j= =PX=iPZ=j(i，j=0，1)，故 X 与 Z 独立【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】
21、 依题意 PY=一 1= ，XN(0，1)且 X 与 Y相互独立，于是 Z=XY 的分布函数为 FZ(z)=PXYz=PY=一 1PXYzY=一1+PY=1PXYzY=1=PY=一 1P一 XzY=一 1+PY=1PXzY=1=PY=一 1PX一 z+PY=1PXz即 Z=XY 服从标准正态分布，其概率密度为 fZ(z)=(z)= 【试题解析】 由于 Y 为离散型随机变量，X 与 Y 独立，因此应用全概率公式可得分布函数，进而求得概率密度【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 由于 V=XY只取非负值，因此当 0 时，其分布函数FV()=PXY=0；当 0 时，F V()=P一 XY
22、=PY=一 1P一XYy=一 1+PY=1P一 X 一 Yy=1综上计算可得 FV()= 由于 FV()是连续函数，且除个别点外，导数存在，因此 V 的概率密度为 fZ(z)=【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 应用 f(x)dx=1 求 c；应用公式及充要条件解答其他问题由于 f(x)dx=1，所以 c ex dx=2c0 ex dx= 又f(x)是偶函数，且反常积分 xf(x)dx 收敛，所以 EX= xf(x)dx=0， DX=DX2= x2f(x)dx=2 0 x2ex dx= (应用指数分布某些结果)【知识模块】 概率论与数理统计26 【正
23、确答案】 由于 f(x)是偶函数，故 EXY=EXX = xxf(x)dx=0，而EX=0，所以 EXY=EXEY，故 X 与 Y 不相关【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 下面我们应用事件关系证明 X 与 Y=X不独立，因为X 1 X1，又 PX1= 1 1f(x)dx0，PX1= 1f(x)dx1，所以X 1与X1不独立(包含关系不独立)，故 X 与 Y=X 不独立【知识模块】 概率论与数理统计28 【正确答案】 ()()因 与 S2 相互独立，故有 P=P(13 35)(6 3S 296)=P13 35P63S 296 ，而 N(25，6 25)，即有P63S 296= =P07 2(4)1067=P 2(4)07一 P2(4)1067=0 95090=0 05于是所求概率为P=03179005=00159 【知识模块】 概率论与数理统计
