1、考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 3 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设随机变量 X 在0，1 上服从均匀分布，记事件，则( )（A）A 与 B 互不相容（B） B 包含 A（C） A 与 B 对立（D）A 与 B 相互独立2 设随机变量 x 的密度函数为 f(x)= ，则概率PX+a(a0) 的值 ( )（A）与 a 无关随 的增大而增大（B）与 a 无关随 的增大而减小（C）与 无关随 a 的增大而增大（D）与 无关随 a 的增大而减小3 设随机变量 X 一 N(0，1)，其分布函数为 (X)，则随机变量 Y=minX，0的分布函数为 F
2、(y)=( )4 设随机变量 X 的分布函数为 F(x)，其密度函数为其中 A 为常数，则 的值为( )5 连续型随机变量 X 的分布函数 F(x)= 则其中的常数 a 和 b 为( )6 设随机变量 X 的概率密度为 f(x)= 则 PX2|X1的值为( )（A）e 2（B）一 e-2（C） e-1（D）1 一 e-17 假设 F(x)是随机变量 X 的分布函数，则下列结论不正确的是( )（A）如果 F(a)=0，则对任意 xa 有 F(x)=0（B）如果 F(a)=1，则对任意 xa 有 F(x)=1（C）（D）8 假设 X 为随机变量，则对任意实数 a，概率 PX=a=0 的充分必要条件
3、是( )（A）X 是离散型随机变量（B） X 不是离散型随机变量（C） X 的分布函数是连续函数（D）X 的概率密度是连续函数9 假设 X 是只可能取两个值的离散型随机变量，Y 是连续型随机变量，则随机变量 X+Y 的分布函数( )（A）是连续函数（B）是阶梯函数（C）恰有一个间断点（D）至少有两个间断点10 假设随机变量 X 服从指数分布，则随机变量 Y=minX，2的分布函数( )（A）是连续函数（B）至少有两个间断点（C）是阶梯函数（D）恰好有一个间断点11 设 f(x)是连续型随机变量 X 的概率密度，则 f(x)一定是( )（A）可积函数（B）单调函数（C）连续函数（D）可导函数二、
4、填空题12 袋中有 8 个球，其中 3 个白球、5 个黑球，现随意从中取出 4 个球，如果 4 个球中有 2 个白球、2 个黑球，试验停止否则将 4 个球放回袋中，重新抽取 4 个球，直到出现 2 个白球、2 个黑球为止用 X 表示抽取次数，则 P(X=k)=_(k=1，2，)13 假设 X 服从参数 的指数分布，对 X 作三次独立重复观察，至少有一次观测值大于 2 的概率为 则 =_14 已知 X 的概率密度 ，aX+bN(0，1)(a0)，则常数A=_，a=_，b=_15 设随机变量 X 服从(0，2)上的均匀分布，则随机变量 Y=X2 在(0，4)内的概率分布密度 fY(y)=_。16
5、设随机变量 X 的概率分布 P(X=k)= ， k=1，2，其中 a 为常数，X的分布函数为 F(x)，已知 F(b)= 则 b 的取值应为_17 设 X 是服从参数为 2 的指数分布的随机变量，则随机变量 的概率密度函数 fY(y)=_18 已知随机变量 X 服从参数为 的指数分布， 则PX+Y=0=_；19 已知随机变量 X 的概率分布为 PX=k= (k=1，2，3)，当 X=k 时随机变量 Y在(0， k)上服从均匀分布，即 则PY25=_20 设随机变量 X 的密度函数 f(x)= (00b)，且 EX2=2，则=_21 设随机变量 X 服从参数为 1 的指数分布，随机变量函数 Y=
6、1e-x 的分布函数为FY(y)，则 =_.22 设随机变量 X 服从正态分布 N(， 2)，已知 PX2=0062，PX9 =0025 ，则概率 P|X|4=_(154) =0 938，(1 96) =0975)23 随机变量 X 在 上服从均匀分布，令 Y=sinX，则随机变量 Y 的概率密度函数 fY(y)=_24 已知随机变量 Y 服从0，5上的均匀分布，则关于 x 的一元二次方程4x2+4Yx+Y+2=0 有实根的概率 p=_25 设 X 服从参数为 的泊松分布， PX=1=PX=2，则概率 P0X 23=_.26 设随机变量 X 服从指数分布，EX=5，令 Y=minX，2，则随机
7、变量 Y 的分布函数 F(y)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。27 设随机变量 X 的概率密度为 求随机变量 Y=eX 的概率密度 fY(y)28 从学校乘汽车到火车站的途中有 3 个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是 设 X 为途中遇到红灯的次数，求随机变量 X的分布律、分布函数和数学期望29 随机变量 X 在 上服从均匀分布，令 Y=sinX，求随机变量 Y 的概率密度30 已知连续型随机变量 X 的概率密度 f(x)为 又知E(X)=0，求 a，b 的值，并写出分布函数 F(x)31 设有四个编号分别为 1，2，3，4 的盒子和三只球，
8、现将每个球随机地放人四个盒子，记 X 为至少有一只球的盒子的最小号码(I)求 X 的分布律；()若当 X=k 时，随机变量 Y 在0，k上服从均匀分布， k=1，2，3，4，求PY232 设离散型随机变量 X 服从参数 p(0p1)的 0 一 1 分布(I)求 X 的分布函数 F(x)；()令 Y=F(X)，求 Y 的分布律及分布函数 G(y)33 已知随机变量 X 的概率密度 (I)求分布函数F(x)() 若令 Y=(X)，求 Y 的分布函数 FY(y)考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 3 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试
9、题解析】 由图 21 可立即得到正确选项为 D，事实上，根据题设可知【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 C【试题解析】 概率 PX+a(a0)，显然与 a 有关，固定 随 a 的增大而增大，因而选 C事实上，由于 1=-+f(x)dx=A+e-xdx=Ae-;A=e，概率PX+a=A A+ae-xdx=e(e一 e-a)=1 一 e-a，与 无关随 a 的增大而增大，故选项 C 正确【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 B【试题解析】 F(y)=PYY=Pmin(X ，0)Y=1 一 Pmin(X，0)Y=1PXy，0y 当 y0 时，PXy，0y=PXY ，F(y)=1
10、 一 PXy=PXy=(y)当 y0时，PXY，0 y=0，F(y)=1，故选项 B 正确【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 B【试题解析】 F(x)为连续型 X 的分布，故 F(x)必连续，那么 F(x)在 x=0 连续所以 即 a+b=0，b=一1，故选项 B 正确【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 D【试题解析】 PX2 | X1=1PX2 | X1=1 一 PX2 | X1 =PX1=1一 e-1， 故选项 D 正确【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 D【试题解析】 由于 F(x)是单调
11、不减且 0F(x)1， F(x)=PXx，因此选项A、B、C 都成立，而选项 D 未必成立，因此选 D【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 C【试题解析】 对任意实数 有 PX=a=0 是连续型随机变量的必要条件但非充分条件，因此选项 B、D 不能选，又离散型随机变量必有 a 使 PX=a0，选项 A 不能选，故正确选项是 C事实上，PX=a=0 F(a)一 F(a 一 0)=0 对任意实数a，F(a)=F(a 一 0) F(x)是 x 的连续、函数【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 A【试题解析】 对任意实数 t，根据全概率公式及概率性质得 0PX+Y=t=PX+Y=t
12、，X=a+P|X+Y=t ，X=b =PY=t 一 a，X=a+PY=t 一 b，X=b PY=t一 a+PY=t 一 b=0， (因为 P(AB)P(A)，又 Y 是连续型随机变量，所以对任意实数 c，有 PY=c=0)故对任意实数 t，PX+Y=t=0 X+Y 的分布函数是连续函数，因此选 A【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 D【试题解析】 由于 Y=minX，2= 所以 Y 的分布函数为计算得知 FY(y)只在 y=2 处有一个间断点，应选 D【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 A【试题解析】 根据概率密度的定义，f(x)满足对任何实数 x，F(x)=PXx
13、= -tf(t)dt，因此 f(x)一定是可积函数，但是 f(x)可以是分段函数，比如，a，b上的均匀分布随机变量 X 属连续型，而其概率密度 f(x)在( 一，+)内不是单调函数，且在x=a，b 两点不连续，当然亦不可导，因此不能选 B、C、D ，选项 A 正确【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题12 【正确答案】 【试题解析】 若设事件 Ai=“第 i 次取出 4 个球为 2 个白球、2 个黑球”，由于是有放回取球，因此 Ai 相互独立，根据超几何分布知 P(Ai)= 所以【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 【试题解析】 根据独立试验序列概型，可求得结果事实上，已知记 A
14、=x2，Y 为对 X 作三次独立重复观察事件 A 发生的次数，则 YB(3，p)，其中 p=P(X 2)=2+e-xdx=e-2，依题意P(Y1)=1一 P(Y=0)=1 一 (1 一 p)3=【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 【试题解析】 首先求出在(0，4)上 Y 的分布函数 FY(y)当 0y4 时，有【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 3b4【试题解析】 首先确定 a，由解得 a=1故 i=3，3b4【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率论与数理统计
15、18 【正确答案】 【试题解析】 PX+Y=0=PY=一 X =P|X|1=PX 1+PX一 1=1e-xdx=e-根据全概率公式，可得【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 02946【试题解析】 要计算正态分布随机变量在某范围内取值的概率，首先必须求出分布参数 与 ,根据题意有由题意已知，可得 于是 P|X|4=P一 4X4【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 【试题解析】 首先
16、求出 Y 的分布函数 FY(y)由于 X 在 上服从均匀分布，因此 X 的概率密度函数 fX(x)与分布函数 FX(x)分别为FY(y)=PYy=PsinXy当一 1y1 时，F Y(y)=PXarcsiny=FX(arcsiny)=当 y一 1 时，F Y(y)=0；当 y1时，F Y(y)=1 因此 Y 的概率密度函数 fY(y)为【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 【试题解析】 已知 Y 一 f(x)= 所以所求的概率为 p=P方程有实根=P0=P16Y216(Y+2)0 =P16(Y 一 2)(Y+1)0 =P(Y2)(Y一 1) =PY2+PY一 1 =【知识模块】 概
17、率论与数理统计25 【正确答案】 2e -2【试题解析】 已知 PX=k= (k=0，1，)，由于 PX=1=PX=2，即解得 =2，所以 P0X 23=PX=1=2e -2【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 【试题解析】 当 X2 时，Y=X2；当 X2时，Y=2因此随机变量 Y 的取值为0Y2，则 P0Y2=1，由于 X 服从参数 的指数分布，因此当 x0 时，PXx= 当 0y2 时，PYy=Pmin(X，2)y=PXy= 于是，Y 的分布函数为 F(y)=【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。27 【正确答案】 根据分布函数的定义
18、，有 fY(Y)=PYy=P(e Xy)=于是当 y1 的时候，满足 fY(y)=Pxlny|= 0lny e-xdx 因此所求概率密度函数为【知识模块】 概率论与数理统计28 【正确答案】 根据题意 X 服从二项分布 ，因此 X 的分布律为因此，X 的分布函数为X 的数学期望是 E(X)=【知识模块】 概率论与数理统计29 【正确答案】 根据用分布函数法先求 Y 的分布函数 FY(y)由于 X 在上服从均匀分布，因此 X 的概率密度 fX(x)与分布函数 Fx(X)分别为FY(y)=PYy=PsinXy当一 1x1时， 当 y一 1 时，FY(y)=0；当 y1 时，F Y(y)=1 因此
19、Y 的概率密度为 fY(y)为【知识模块】 概率论与数理统计30 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计31 【正确答案】 (I)随机变量 X 可能取值为 1，2，3，4，设事件 Ai 表示第 i 个盒子是空的(k=1，2，3，4)，则于是 X的分布律为 ()由于当X=k 时，随机变量 Y 在0，k上服从均匀分布，故 PY2| X=1=PY2 | X=2=1，PY2 | X=3= 由全概率公式即得【知识模块】 概率论与数理统计32 【正确答案】 PY=0=PX0=0，PY=1 一 p=P0X1=PX=0=1 一 p，PY=1=PX1=PX=1=P ，于是Y 的分布律与分布函数分别为【知识模块】 概率论与数理统计33 【正确答案】 直接根据 F(x)=PXx，F Y(y)=PF(X)y求解()令Y=F(X)，则由 0F(x)1 及 F(x)为 x 的单调不减连续函数知 (如图 26 所示)，当y0 时 FY(y)=0；当 y1 时，F Y(y)=1；当 0y 时，【知识模块】 概率论与数理统计
