1、考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 44 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A，B，C 为随机事件，且 A 发生必导致 B 与 C 最多有一个发生，则有( )2 设 A，B 为随机事件，P(B)0，则( )（A）P(AB)P(A)+P(B)（B） P(A 一 B)P(A)一 P(B)（C） P(AB)P(A)P(B)（D）P(A|B)3 设随机事件 A，B，C 两两独立，且 P(A)，P(B)，P(C)(0，1)，则必有( )（A）C 与 AB 独立（B） C 与 AB 不独立（C） AC 与 B 独立（D）A C 与 B 不独立4 某人向同
2、一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为 p(0p1)，则此人第 4 次射击恰好第 2 次命中目标的概率为( )（A）3p(1 一 p)2（B） 6p(1 一 p)2（C） 3p2(1 一 p)2（D）6p 2(1 一 p)25 连续型随机变量 X 的分布函数 F(x)= 则其中的常数 a 和 b 为( )（A）a=1 ，b=1（B） a=1，b=一 1（C） a=一 1，b=1（D）a=0 ，b=16 设随机变量 X 服从正太分布 N(， 2)，则随 的增大，概率 P|X 一 |应该( )（A）单调增大（B）单调减少（C）保持不变（D）增减不定7 已知随机变量(X，Y) 在区域 D=(x
3、，y)|一 1x1，一 1y1 上服从均匀分布，则( )8 设随机变量 X 和 Y 都服从正态分布，则( )（A）X+Y 一定服从正态分布（B） X 和 Y 不相关与独立等价（C） (X，Y)一定服从正态分布（D）(X，一 Y)未必服从正态分布9 已知随机变量 X 与 Y 均 l 服从 0 一 1 分布，且 E(XY)= ，则 PX+Y1=( )10 设随机事件 A 与 B 互不相容，0P(A)1，0P(B) 1，记X 与 Y 的相关系数为 p，则( )（A）p=0（B） p=1（C） P0（D）p011 设随机变量 Xt(n)(n1) ，Y= ，则( )（A）Y 2(n)（B） Y 2(n
4、一 1)（C） YF(n，1) （D）YF(1，n)二、填空题12 袋中有 50 个乒乓球，其中 20 个是黄球，30 个是白球，今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是_。13 设每次射击命中概率为 03，连续进行 4 次射击，如果 4 次均未击中，则目标不会被摧毁；如果击中 1 次、2 次，则目标被摧毁的概率分别为 04 与 06；如果击中 2 次以上，则目标一定被摧毁。那么目标被摧毁的概率 p=_。14 假设 X 是在区间(0，1)内取值的连续型随机变量，而 Y=1 一 X。已知PX029=075，则满足 PYk=025 的常数 k=_。15 设随机变量
5、X 服从参数为 的指数分布，则 =_。16 设 X 是服从参数为 2 的指数分布的随机变量，则随机变量 Y=X 一 的概率密度函数 fY(Y)=_。17 假设随机变量 X1，X 2，X 3，X 4 相互独立且都服从 0 一 1 分布：PX i=1=p，PX i=0=1 一 p(i=1， 2，3，4，0p1)，已知二阶行列式 的值大于零的概率等于 ，则 p=_。18 已知随机变量 X 的概率密度为 f(x)= e|x|，一x+，则 D(X2)=_。19 设随机变量 x 概率分布为 PX=k= (k=0，1，2，)，则 E(X2)=_。20 假设随机变量 X 服从一 1，1上的均匀分布， a 是区
6、间一 1，1上的一个定点，Y 为点 X 到 a 的距离，当 a=_时，随机变量 X 与 Y 不相关。21 D(x)=2，则根据切比雪夫不等式有 P|XE(X)|2_。22 设随机变量 X 和 Y 相互独立，且 XN(0，2)，Y N(0 ，3)，则 D(X2+Y2)=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。23 已知一本书中每页印刷错误的个数 X 服从参数为 02 的泊松分布，写出 X 的概率分布，并求一页上印刷错误不多于 1 个的概率。24 设随机变量 且 P|X|Y|=1。()求 X与 Y 的联合分布律，并讨论 X 与 Y 的独立性；( )令 U=X+Y，V=X Y，讨论 U
7、与 Y 的独立性。25 设二维随机变量(X，Y)的联合概率密度为求：()系数 A；()(X ，Y)的联合分布函数；()边缘概率密度； ()(X，Y)落在区域 R：x0，y0，2x+3y 6 内的概率。26 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为()求 PX2Y；()求 Z=X+Y 的概率密度。27 设随机变量 U 服从二项分布 ，随机变量求随机变量 XY 与 X+Y 的方差和 X 与 Y 的协方差。28 设总体 X 的概率密度为 其中 一 1 是未知参数，X 1，X 2，X n 是来自总体 X 的一个容量为 n 的简单随机样本，分别用矩估计法和极大似然估计法求 的估计量。29 设 X 服从a，b
8、上的均匀分布， X1，X n 为简单随机样本，求 a，b 的最大似然估计量。考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 44 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 B 与 C 最多有一个发生(即 B 与 C 同时发生的反面)等价于事件BC。当 A 发生时必导致 B 与 C 最多有一个发生，说明 ，故选 C。【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 B【试题解析】 根据概率运算性质可知，P(AB)=P(A)+P(B)一 P(AB)P(A)+P(B)，选项 A 不成立。P(A B)=P(A)一 P(AB)P(A)一 P(B)，故
9、正确选项为 B。而P(A|B)= ，所以选项 D 不成立。至于选项 C，它可能成立也可能不成立，如果 AB= ， P(A)0，P(B)0，则 P(AB)=0P(A)P(B)；如果 A B，则 P(AB)=P(A)P(A)P(B)。【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 D【试题解析】 对于选项 A、B：P(C(AB)=P(A C)=P(AC)一 P(ABC)=P(A)P(C)一 P(ABC)， P(C)P(AB)=P(C)P(A)一 P(AB)=P(A)P(C)一 P(A)P(B)P(C)。尽管A，B，C 两两独立，但未知 A，B，C 是否相互独立，从而不能判定 P(ABC)=P(A)
10、P(B)P(C)是否成立，故选项 A、B 均不正确。如果 AC 与 B 独立，则与题设 P(A)，P(B) ，P(C)(0 ，1)矛盾，所以排除 C 选项，故选 D。【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 C【试题解析】 根据题干可知 p=前三次仅有一次击中目标，第 4 次击中目标 =C31p(1 一 P)2p=3p2(1 一 p)2， 故正确答案为 C。【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 B【试题解析】 (a+bex)=a=1。F(x)为连续型随机变量 X 的分布，故 F(x)必连续，那么 F(x)在 x=0 连续。所以 F(x)=0，即 a+b=0，b=一1，故选项 B
11、 正确。【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 C【试题解析】 若 XN(， 2)，则 N(0 ，1) ，因此 P|X 一 |=P 1=2(1)一 1。该概率值与 无关，故选项 C 正确。【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 D【试题解析】 根据题设知(X，Y)的概率密度函数为因Pmax(X，Y)0=1 一 Pmax(X，Y)0=1 一 PX0，Y0所以选项 A、B、C 都不正确。故选 D。【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 D【试题解析】 选项 A 不成立，例如，若 Y=一 X，则 X+Y=0 不服从正态分布。选项 C 不成立，(X，Y) 不一定服从正态分布，因
12、为边缘分布一般不能决定联合分布。选项 B 也不成立，因为只有当 X 和 Y 的联合分布是二维正态分布时“X 和 Y独立”与“X 和 Y 不相关”二者等价。故应选 D。虽然随机变量 X 和一 Y 都服从正态分布，但是因为边缘分布一般不能决定联合分布，故(X，一 Y)未必服从正态分布。【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 C【试题解析】 因为 X 与 Y 均服从 01 分布，所以可以列出(X，Y) 的联合分布如下： 又已知 E(XY)= ，即 P22= ，从而PX+Y1=P11+P12+P21=1 一 P22= ，故选项 C 正确。【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 C【试
13、题解析】 选项 B 不能选，否则选项 D 必成立。因此仅能在选项 A、C、D 中考虑，即考虑 P 的符号，而相关系数符号取决于 Cov(X，Y)=E(XY)一 E(X)E(Y)，根据题设知 E(X)=P(A)，E(Y)=P(B) ，XY (因为 P(AB)=0)，所以 coV(C，Y)=一 E(X)E(Y)0，故选 C。【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 C【试题解析】 因 Xt(n)，故根据 t 分布定义知 X= 其中 UN(0 ，1)，V 2(n)。于是 Y= F(n，1)(F 分布定义)。故选 C。【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题12 【正确答案】 【试题解析】 设
14、事件 A=第一个人取出的球是黄色的，事件 B=第一个人取出的球是白色的 ，事件 C=第二个人取出的球是黄色的，则有根据全概率公式可得P(C)=P(A) P(C|A)+P(B)P(C|B)【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 0407 1【试题解析】 设事件 Ak=“射击 4 次命中 k 次”，k=0，1，2，3，4，B=“ 目标被摧毁”，则根据 4 重伯努利试验概型公式，可知 P(Ai)=C4i03 i07 4i，i=0，1，2 ，3，4，则 P(A0)=07 4=0240 1， P(A1)=04116，P(A 2)=0264 6，P(A 3)=0 075 6，P(A 4)=000
15、8 1。由于 A0，A 1，A 2，A 3，A 4 是一完备事件组，且根据题意得 P(B|A0)=0， P(B|A1)=04，P(B|A 2)=06，P(B|A 3)=P(B|A4)=1。应用全概率公式，有 P(B)= P(Ai)P(B|Ai)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)+P(A4)=0 407 1。【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 0.71【试题解析】 由于 PYk=P1 一 Xk=PX1 一 k=1 一 PX1 一 k=0 25，所以 PX1 一 k=1025=0 75。又因 PX029=075，得 1 一k=029，即 k=071。【知
16、识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 【试题解析】 由题设，可知【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 【试题解析】 XE(2)，所以其概率密度函数为 fY(x)= 令 Y=X 一 ，所以 FY(y)=PYy=PX 一所以 fY(y)=FY(y)=FX(y+【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 【试题解析】 记= =X1X4 一 X2X3，则 p 应使 P0=PX 1X4 一X2X30=PX 1X4X 2X3= ，因为 Xi 仅能取 1 或 0，且相互独立，故事件X1X4X 2X3=X1X4=1，X 2X3=0，所以 =PX1=1，X 4=1，X 2=0，X 3=
17、0+PX1=1，X 4=1，X 2=0， X3=1+PX1=1，X 4=1，X 2=1，X 3=0=p2(1 一 p)2+p3(1 一p)+p3(1 一 p)=p2(1 一 p2)=p2 一 p4，则 p4 一 p2+不符合题意，故舍去)【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 20【试题解析】 由于 D(X2)=E(X4)一 E2(X2)。E(X 2)=+x2f(x)dx=20+x2. e|x|dx=0+x2exdx=2!，E(X)= +x4f(x)dx=20+x4. e|x|dx=0+x4e1dx=4!，所以D(X2)=4 1 一(2!) 2=244=20。【知识模块】 概率论与数
18、理统计19 【正确答案】 2【试题解析】 由概率密度的性质 PX=k=1，有 即 PX=k= k=0，1，2，为参数为 1 的泊松分布，则有 E(X)=1，D(X)=1，故 E(X2)=D(X)+E2(X)=2。【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 0【试题解析】 已知 Xf(x)= E(X)=0，依题意 Y=|Xa|，a 应使 E(XY)=E(X)E(Y)=0。其中 E(XY)=E(XX 一 a|)=11x|x 一 a| = 1ax(ax)dx+a1x(x 一 a)dx 令E(XY)= (a2 一 3)=0，解得 a=0(a= 舍去)。【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答
19、案】 【试题解析】 根据切比雪夫不等式，有 P|XE(X)| 于是可得 P|XE(X)|2【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 26【试题解析】 因 XN(0，2)，故 2(1)，所以 D(X2)=8，同理D(Y2)=18。又由于 X 和 Y 相互独立，故 D(X2+Y2)=8+18=26。【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。23 【正确答案】 由题意可知，Xp(02)，X 的概率函数为将 x=0，1，2，3代入函数，可得 p(0)0818 7，P(1)0163 7，p(2)0016 4，p(3)0001 1，p(4)0000 1，P(5
20、)0。X 的概率分布表如下：一页上印刷错误不多于 1 个的概率 p=p(0)+P(1)0982 4。【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 () 由 P|X|Y|=1 知，P|X|=|Y|=0。由此可得 X 与 Y 的联合分布律为因为PX=一 1，Y=一 1PX=一 1PY=一 1，所以 X 与 Y 不独立。()由(X，Y) 的联合分布律知 PU=V=一 1=PX=一 1，Y=0= PU=一 1，V=1=PX=0，Y=一 1= PU=1，V= 一 1=PX=0，Y=1= PU=V=1=PX=1，Y=0= 所以U 与 V 的联合分布律与边缘分布律为即可验证 U 与 V 独立。【知识模块
21、】 概率论与数理统计25 【正确答案】 () 根据分布函数的性质 +f(x，y)dxdy= 0+0+Ae(2x+3y)=1，解得 A=6。()将 A=6 代入得(X ， Y)的联合概率密度为所以当 x0，y0 时，F(x，y)= 0x0x6e(2x+3y)dud=60xe2udu0ye3d=(1 一 e2x)(1 一 e3y)，而当 x 和 y 取其它值时，F(x，y)=0。综上所述，可得联合概率分布函数为()当 x0 时，X 的边缘密度为fX(x)=0+6e(2x+3y)dy=2e2x，当 x0 时，f X(x)=0。因此 X 的边缘概率密度为同理可得 Y 的边缘概率密度函数为()根据公式
22、已知R：x 0，y0，2x+3y 6，将其转化为二次积分，可表示为 P(X，Y) R= 6e(2x+3y)dxdy=603e2x e3ydy=203(e2xe6)dx=1 一 7e60983。【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 () 已知 X，Y 的概率密度，所以()先求 Z 的分布函数：F Z(z)=P(X+YZ)= (1)当 z0 时，F Z(0)=0；(2)当 0z1 时，F Z (z)= 0 z dy 0 zy (2 一 x 一 y)dx=z 2 一 (3)当 1z2 时，F Z (z)=1P(X+YZ)=1 一 z1 1 dy zy 1 (2 一 x 一 y)dx=1
23、一 (2 一 z) 3；(4) 当 z2 时，F X (z)=1。故 Z=X+Y 的概率密度为 f Z (z)=F Z (z)=【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 先求出 X 与 Y 的概率分布及 XY 的概率分布。即 PX=一 1=PU0=PU=0= PY=一 1=PU2=1 一 PU=2=pXY=一 1=PX=一 1，Y=1+PX=1，Y=一 1=0+ PXY=1=1 一 PXY=一 1= 其次计算 E(X)，E(Y) ，D(X)，D(Y)与 E(XY)。即E(XY)=一PXY=一 1+PXY=1=0。最后应用公式可得 Cov(X，Y)=E(XY) 一 E(X)E(Y)= ，
24、D(X+Y)=D(X)+2Cov(X，Y)+D(Y)=2 ，D(X Y)=D(X)一 2Cov(X，Y)+D(Y)=1。【知识模块】 概率论与数理统计28 【正确答案】 总体 X 的数学期望是 E(X)=+xf(x)dx=01(+1)x+1dx= 令得到参数 的矩估计量为 设 x1，x 2，x n 是相对于样本X1，X 2，X n 的一组观测值，所见似然函数为当0x i1(i=1，2，3，n)时，L0 且 lnL=nln(+1)+ 令lnxi=0，解得 的极大似然估计为【知识模块】 概率论与数理统计29 【正确答案】 设 X 的样本观测值为 x1，x n，则似然函数显然 0，且 b 一 a 越小 L 值越大，但是bx i，i=1， ，n=bmax(x 1，x n)，同理ax i，i=1，n=a (x1，x n)，所以只有当 b=maxxi，a=min x i时，L 才达到最大值，所以 a，b 的最大似然估计值为 最大似然估计量是【知识模块】 概率论与数理统计
